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專題08有理數乘方及混合運算(3大考點+11種題型)思維導圖核心考點與題型分類聚焦考點一:乘方考點二:有理數的混合運算考點三:科學記數法題型一:有理數冪的概念理解題型二:有理數的乘方運算題型三:有理數乘方逆運算題型四:乘方運算的符號規(guī)律題型五:乘方的應用題型六:有理數四則混合運算題型七:有理數四則混合運算的實際應用題型八:算“24”點題型九:含乘方的有理數混合運算題型十:用科學記數法表示絕對值大于1的數題型十一:將用科學記數法表示的數變回原數考點一:乘方(1)一般地,我們把n個相同因數a相乘,記作,即.(2)定義:求n個相同因數的積的運算,叫做乘方.乘方的運算結果叫做冪,在中,a叫做底數,n叫做指數.讀作a的n次方(“2次方”又可以讀作“平方”,“3次方”又可以讀作“立方”).(3)讀法:讀作a的n次方,看作運算結果時,讀作a的n次冪.(4)特別地:,,(n為正整數)正數的任何次冪都是正數;負數的奇數次冪是負數,負數的偶數次冪是正數.考點二:有理數的混合運算(1)運算順序:先乘方,后乘除,再加減;同級運算從左到右;如果有括號,先算小括號,后算中括號,再算大括號.(2)去括號:括號前帶負號,去括號后括號內各項要變號,即,.(3)各種運算定律和運算法則都適用于有理數運算.考點三:科學記數法把一個數寫成(其中,是正整數),這種形式的記數方法叫做科學記數法.題型一:有理數冪的概念理解【例1】.(2022下·上海徐匯·六年級位育中學??计谥校┑牡讛凳牵咀兪?】.(2022下·上海楊浦·六年級統(tǒng)考期中)5.24中底數是,乘方結果的符號為.【變式2】.(2023下·上海寶山·六年級校考期中)底數是,指數是的冪可寫成.【變式3】.(2021下·上海奉賢·六年級??计谥校?014個相乘用冪的形式可表示為.【變式4】.(2021下·上海靜安·六年級上海市靜安區(qū)教育學院附屬學校??计谥校懗沙朔降男问绞?,結果是.題型二:有理數的乘方運算【例2】.(2021下·上海徐匯·六年級上海市西南模范中學??计谥校咀兪?】.(2021下·上海松江·六年級??茧A段練習)計算:.【變式2】.(2021下·上海寶山·六年級??计谥校┯嬎悖海咀兪?】.(2021下·上海靜安·六年級上海市靜安區(qū)教育學院附屬學校校考期中)列式計算:的相反數與它的倒數的積的2021次冪是多少?【變式4】.(2021下·上海青浦·六年級校聯考期末)計算:.【變式5】.(2023下·上海黃浦·六年級統(tǒng)考期中)已知x、y為有理數,且,(1)求的值;(2)求的值;(3)求的值.題型三:有理數乘方逆運算【例3】.(2023上·廣東汕尾·七年級??计谥校M足等式的x的值為.【變式1】.(2023上·江蘇無錫·七年級??茧A段練習)若,則.【變式2】.(2022下·上海楊浦·七年級??计谀┤绻粋€數的平方是,那么這個數是.【變式3】.(2023上·湖北恩施·七年級校聯考期中)若a的平方是4,則a的值是.題型四:乘方運算的符號規(guī)律【例4】.(2023上·河南信陽·七年級統(tǒng)考期中)在,,,0中,非負數有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【變式1】.(2023下·上?!ち昙墝n}練習)任何一個有理數的偶次冪必是()A.負數 B.正數 C.非正數 D.非負數【變式2】.(2023上·河南漯河·七年級校考階段練習)如果一個數的15次冪是負數,那么這個數的2021次冪是.(填“正數”或“負數”)【變式3】.(2023上·河南漯河·七年級??茧A段練習)當整數為時,;若是正整數,則.【變式4】.(2023上·新疆烏魯木齊·七年級統(tǒng)考期中)已知有理數n、m滿足,則.題型五:乘方的應用【例5】.(2023上·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期中)某種霉菌的生長速度是每天增加1倍,若經過14天,霉菌能長滿整個缸面,請問長滿半個缸面所用的時間是()A.10 B.11 C.12 D.13【變式1】.(2021上·廣東佛山·七年級??茧A段練習)如圖,將一個邊長為1的正方形紙片分割成7個部分,部分②是下部分①面積的一半,部分③是部分②面積的一半,受此啟發(fā),則.【變式2】.(2021下·上海楊浦·六年級??计谀┤簦瑒t,.【變式3】.(2022下·上海徐匯·六年級位育中學??计谥校┤簦敲?;【變式4】.(2023上·山東淄博·六年級統(tǒng)考期中)在日常生活中,我們用十進制來表示數,如.計算機中采用的二進制,即只需要0和1兩個數字就可以表示數,如二進制中的,可以表示十進制中的10,那么二進制中的表示十進制中的.題型六:有理數四則混合運算【例6】.(2021下·上海徐匯·六年級上海市西南模范中學校考期中).【變式1】.(2021下·上海浦東新·六年級上海中學東校??计谥校┮阎硎緝蓚€有理數,規(guī)定一種新運算“*”為:,那么的值為.【變式2】.(2021下·上海嘉定·六年級??茧A段練習)計算:.【變式3】.(2021下·上海長寧·六年級上海市延安初級中學校考期中)計算:.題型七:有理數四則混合運算的實際應用【例7】.(2023下·上海靜安·六年級上海市回民中學??计谥校┧拇蟀l(fā)明之一的黑火藥,它所用原料硝酸鉀、硫磺、木炭的重量比為.要配制這種火藥180千克,則需硫磺千克【變式1】.(2021下·上海徐匯·六年級??计谥校┤鐖D,初次見面通常以握手示禮.我們可以用點來表示每個人,連接兩點的線段數量表示握手的次數.如果握手的人數是9,那么握手的總次數是.握手圖標握手人數握手次數21

3346【變式2】.(2021下·上海楊浦·六年級??计谥校┱埬憷眉訙p乘除將數字,,,連接起來使得運算的結果為:(數字的順序由你自己來定)題型八:算“24”點【例8】.(2023下·上海·六年級專題練習)“巧算24點”是一種數學游戲,游戲方式簡單易學,能健腦益智.比如給出四個數字3、8、8、9,就可用加、減、乘、除(可加括號)把這四個數算成24,而且每個數字必須用一次且只能用一次,那么算式是或者,下面給出數字1、3、4、6,請你用加減乘除列出算式,算出24,此算式是.【變式1】.(2023下·上海徐匯·六年級上海市西南位育中學校考階段練習)對1,3,5,5四個數進行“加、減、乘、除、乘方”混合運算(每個數只能使用一次),其計算結果為24,請列出算式:(填一個算式即可)【變式2】.(2023下·上?!ち昙墝n}練習)樂樂有5張寫著以下數字的卡片.請你按要求抽出卡片,解決下列問題.(1)從中取出2張卡片,使這2張卡片上的數字相乘的積最大,求出最大值;(2)從中取出2張卡片,使這2張卡片上的數字相除的商最小,求出最小值;(3)從中取出4張卡片.用學過的運算方法,使計算結果為24,請寫出一種符合要求的運算式子.(注:每個數字只能用一次)【變式3】.(2023下·上海·六年級專題練習)現有5張卡片寫著不同的數字,利用所學過的加、減、乘、除、乘方運算按要求解答下列問題(每張卡片上的數字只能用一次).

(1)從中取出2張卡片,使這2張卡片上數字的和最小,則和的最小值為_________.(2)從中取出2張卡片,使這2張卡片上數字的差最大,則差的最大值為________.(3)從中取出2張卡片,使這2張卡片上數字相除的商最大,則商的最大值為_________.(4)從中取出3張卡片,使這3張卡片上數字的乘積最大,乘積的最大值為__________.(5)從中取出4張卡片,使這4張卡片上的數字運算結果為24.寫出兩個不同的等式,分別為,.題型九:含乘方的有理數混合運算【例9】.(2021下·上海松江·六年級??茧A段練習)計算:.【變式1】.(2021下·上海閔行·六年級上海上師初級中學??计谥校┯嬎悖?【變式2】.(2021下·上海靜安·六年級上海市靜安區(qū)教育學院附屬學校校考期中).【變式3】.(2023下·上?!ち昙墝n}練習)計算:.【變式4】.(2021下·上海松江·六年級??茧A段練習)計算:.【變式5】.(2022下·上海楊浦·六年級??计谀┯嬎悖海咀兪?】.(2021下·上海徐匯·六年級上海市西南模范中學??计谥校┮蟮闹档扔诙嗌?,直接求非常困難,因為是一個非常大的數.因此,我們可以用方程的方法來做.設,則有,即,作簡單的變形:,則.請你在理解基礎上,模仿上述方法求下式的值:(1).(2).題型十:用科學記數法表示絕對值大于1的數【例10】.(2021下·上?!ち昙壭?茧A段練習)青浦區(qū)第六次全國人口普查主要數據顯示,全區(qū)鎮(zhèn)街道(含青東農場)常住人口約為萬人.人口數用科學記數法表示為(

)A.人 B.人 C.人 D.人【變式】.(2021下·上海松江·六年級校考階段練習)用科學記數法表示:上海的面積約為平方千米平方千米.題型十一:將用科學記數法表示的數變回原數【例11】.(2024上·河北石家莊·七年級校聯考期末)的整數位數是(

)A.5 B.6 C.7 D.8【變式1】.(2024上·河北廊坊·七年級??茧A段練習)一個整數用科學記數法表示為,那么原數中“0”的個數是(

)A.3 B.4 C.5 D.6【變式2】.(2021下·上海嘉定·六年級??计谥校┯每茖W記數法表示的數有個整數位.一、單選題1.(2023上·甘肅定西·七年級統(tǒng)考期末)世界文化遺產長城總長約米,將數用科學記數法可表示為()A. B. C. D.2.(2021下·上海松江·六年級??茧A段練習)若,則下列結論中不成立的是(

)A. B. C. D.3.(2023上·四川宜賓·七年級??茧A段練習)樂樂在數學學習中遇到了神奇的“數值轉換機”,按如圖所示的程序運算,若輸入一個有理數x,則可相應的輸出一個結果.若輸入的值為,則輸出的結果為()A.6 B.7 C.10 D.124.(2023上·浙江寧波·七年級??茧A段練習)在,,,,,中,是非負數的有(

)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個5.(2023上·遼寧撫順·七年級統(tǒng)考期末)下列各組數互為相反數的是()A.和 B.和C.和 D.和6.(2021下·上海閔行·六年級??计谥校?,0,,,,,中是負數的個數有(

)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題7.(2024上·河北保定·七年級校聯考期中)有個填寫運算符號的游戲:在“”中的每個□內,填入“”,“”,“”,“”中的某一個(可重復使用),然后計算結果,若,則□內填寫的符號為;8.(2023上·湖北荊州·七年級校聯考階段練習)定義一種新運算“☆”,規(guī)則如下:.例如:,則的值為.9.(2021下·上海徐匯·六年級??计谥校┤鐖D,數軸上表示三個數的點的位置,用“<”、“>”或“=”比較大?。海?/p>

10.(2021下·上海松江·六年級??茧A段練習)若,則.11.(2023上·吉林四平·七年級統(tǒng)考期末)2023年杭州舉辦了第19屆亞運會,杭州亞運會售出約3050000張門票,3050000這個數據用科學記數法表示為.12.(2023上·江蘇無錫·七年級??茧A段練習)計算.13.(2023上·河南南陽·七年級統(tǒng)考階段練習)比較大?。海ㄌ睢啊薄啊被颉啊保?4.(2023上·吉林松原·七年級統(tǒng)考期末)定義一種新運算▽:對任意有理數a、b都有,如,則.15.(2023下·上海松江·六年級統(tǒng)考期中)根據如圖所示的程序計算,若輸入x的值為,則輸出y的值為.

16.(2022下·上海楊浦·六年級??计谀┮阎?、表示兩個有理數,規(guī)定新運算“”為:(其中為有理數),如果,那么的值為.三、解答題17.(2021下·上?!ち昙壭?茧A段練習)計算:.18.(2021下·上?!ち昙壭?计谥校┯嬎悖海?9.(2023上·湖南長沙·七年級雨花外國語學校校聯考階段練習)計算:(1);(2).20.(2021下·上海寶山·六年級統(tǒng)考期中)計算:.21.(2021下·上海·六年級??茧A段練習)計算:.22.(2023上·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期中)我們的家鄉(xiāng)——臨沂,大力實施公交優(yōu)先發(fā)展戰(zhàn)略,逐步建立以公共汽車為主體的公共交通運輸系統(tǒng),年全市實現公交客運量約萬人次.為鼓勵市民綠色出行,更多地選擇乘坐公交,經市委、市政府研究決定,實施國家法定節(jié)假日及雙休日在臨

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