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專題04一元一次方程思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦1.判斷是否是一元一次方程2.根據(jù)一元一次方程的定義求參數(shù)問題3.等式的基本性質(zhì)4.解一元一次方程5.解一元一次方程中錯解復(fù)原6.已知一元一次方程的解求參數(shù)的值7.已知含參數(shù)的一元一次方程的解為整數(shù),求參數(shù)的值8.已知含參數(shù)的一元一次方程的解,求其他一元一次方程的解9.一元一次方程中新定義運(yùn)算型問題10.利用一元一次方程解決銷售利潤問題11.利用一元一次方程解決數(shù)軸上的追及問題12.解一元一次方程的拓展問題一、一元一次方程的概念1.方程:含有未知數(shù)的等式叫做方程.2.一元一次方程:只含有一個未知數(shù)(元),未知數(shù)的次數(shù)都是1,這樣的方程叫做一元一次方程.細(xì)節(jié)剖析:判斷是否為一元一次方程,應(yīng)看是否滿足:①只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)為1;②未知數(shù)所在的式子是整式,即分母中不含未知數(shù).3.方程的解:使方程的左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做這個方程的解.4.解方程:求方程的解的過程叫做解方程.二、等式的性質(zhì)與去括號法則1.等式的性質(zhì):等式的性質(zhì)1:等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),結(jié)果仍相等.等式的性質(zhì)2:等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),結(jié)果仍相等.2.合并法則:合并時,把系數(shù)相加(減)作為結(jié)果的系數(shù),字母和字母的指數(shù)保持不變.3.去括號法則:(1)括號外的因數(shù)是正數(shù),去括號后各項(xiàng)的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號相同.(2)括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù),去括號后各項(xiàng)的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號相反.三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟:(1)去分母:在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù).(2)去括號:依據(jù)乘法分配律和去括號法則,先去小括號,再去中括號,最后去大括號.(3)移項(xiàng):把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊,常數(shù)項(xiàng)移到方程另一邊.(4)合并:逆用乘法分配律,分別合并含有未知數(shù)的項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng),把方程化為ax=b(a≠0)的形式.(5)系數(shù)化為1:方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解(a≠0).(6)檢驗(yàn):把方程的解代入原方程,若方程左右兩邊的值相等,則是方程的解;若方程左右兩邊的值不相等,則不是方程的解.四、列方程解應(yīng)用題的步驟:①審:審題,分析題中已知什么,求什么,明確各數(shù)量之間關(guān)系;②設(shè):設(shè)未知數(shù)(一般求什么,就設(shè)什么為x);③找:找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的一個相等關(guān)系;④列:根據(jù)這個相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式,進(jìn)而列出方程;⑤解所列出的方程,求出未知數(shù)的值;⑥答:檢驗(yàn)所求解是否符合題意,寫出答案(包括單位名稱).五、用一元一次方程解決實(shí)際問題的常見類型1.行程問題:路程=速度×?xí)r間2.利潤問題:商品利潤=商品售價-商品進(jìn)價3.工程問題:工作量=工作效率×工作時間,各部分勞動量之和=總量4.銀行存貸款問題:本息和=本金+利息,利息=本金×利率×期數(shù)5.數(shù)字問題:多位數(shù)的表示方法:例如:1.理解并應(yīng)用一元一次方程的定義,明確只含有一個未知數(shù)(元),未知數(shù)的次數(shù)都是1.2.解含有分母的一元一次方程,去分母時,常數(shù)項(xiàng)一定要記得乘最小公倍數(shù).3.用一元一次方程解決銷售利潤問題與數(shù)軸上的追及問題是一類難點(diǎn),要善于總結(jié)通用的解題思想.考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、判斷是否是一元一次方程例題1:(2023上·四川涼山·七年級統(tǒng)考期末)下列方程中:,一元一次方程的個數(shù)是(
)A.3個 B.2個 C.5個 D.4個【答案】B【解析】方程都是一元一次方程,共有2個,方程中的不是整式,不是一元一次方程,方程中的次數(shù)是2,不是一元一次方程,方程中含有兩個未知數(shù),不是一元一次方程,故選B.考點(diǎn)二、根據(jù)一元一次方程的定義求參數(shù)問題例題2:已知2xm2+3=0是關(guān)于x的一元一次方程,則m=__________.【答案】3【解析】因?yàn)?xm2+3=0是關(guān)于x的一元一次方程,所以m2=1,解得m=3.故答案為:3.考點(diǎn)三、等式的基本性質(zhì)例題3:下列運(yùn)用等式的性質(zhì)對等式進(jìn)行的變形中,錯誤的是(
)A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則【答案】D【解析】A、若,則,正確,不符合題意.B、若,則,正確,不符合題意.C、若,則,正確,不符合題意.D、若,則,當(dāng)才成立,錯誤,符合題意.故選D.考點(diǎn)四、解一元一次方程例題4:解方程:(1);(2).【解析】(1)移項(xiàng),得,合并同類項(xiàng),得,系數(shù)化為1,得,所以方程的解為;(2)去分母,得,去括號,得,移項(xiàng),得,合并同類項(xiàng),得,系數(shù)化為1,得,所以方程的解為.考點(diǎn)五、解一元一次方程中錯解復(fù)原例題5:老師讓同學(xué)們解方程,某同學(xué)給出了如下的解答過程:去分母,得,去括號,得,移項(xiàng),得,合并同類項(xiàng),得,兩邊都除以7,得,
根據(jù)該同學(xué)的解答過程,你發(fā)現(xiàn):(1)從第_______步開始出現(xiàn)錯誤,該步錯誤的原因是______________________;(2)請你給出正確的解答過程.【解析】(1)由題意可得,第①開始出現(xiàn)錯誤,該步錯誤的原因是:沒有乘以6,故答案是:①,沒有乘以6;(2)去分母,得,去括號,得,移項(xiàng),得,合并同類項(xiàng),得,兩邊都除以,得.考點(diǎn)六、已知一元一次方程的解求參數(shù)的值例題6:已知關(guān)于x的方程的解是,則的值是(
)A.1 B. C. D.2023【答案】B【解析】將代入原方程得:,解得,所以,故選B.考點(diǎn)七、已知含參數(shù)的一元一次方程的解為整數(shù),求參數(shù)的值例題7:若關(guān)于x的方程的解是整數(shù),且k是正整數(shù),則k的值是(
)A.1或3 B.3或5 C.2或3 D.1或6【答案】A【解析】去分母,得,去括號,得,移項(xiàng)合并同類項(xiàng),得,系數(shù)化為1,得,因?yàn)殛P(guān)于x的方程的解是整數(shù),所以或,所以或或或,因?yàn)閗是正整數(shù),所以或,故選A.考點(diǎn)八、已知含參數(shù)的一元一次方程的解,求其他一元一次方程的解例題8:若關(guān)于的一元一次方程的解為,則關(guān)于的一元一次方程的解為(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè),則,變形為,所以,解得,故選.考點(diǎn)九、一元一次方程中新定義運(yùn)算型問題例題9:規(guī)定的一種新運(yùn)算“”:,例如:.(1)試求的值;(2)若,求的值;(3)若,求的值.【解析】(1).(2),,,.(3),,,,,.考點(diǎn)十、利用一元一次方程解決銷售利潤問題例題10:貴陽市人民廣場某超市第一次用元購進(jìn)甲、乙兩種商品,其中乙商品的件數(shù)比甲商品件數(shù)的多件,甲、乙兩種商品的進(jìn)價和售價如表:(注:獲利=售價﹣進(jìn)價)甲乙進(jìn)價(元/件)2230售價(元/件)2940(1)該超市將第一次購進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得多少利潤?(2)該超市第二次以第一次的進(jìn)價又購進(jìn)甲、乙兩種商品.其中甲種商品的件數(shù)不變,乙種商品的件數(shù)是第一次的3倍;甲商品按原價銷售,乙商品打折銷售.第二次兩種商品都銷售完以后獲得的總利潤比第一次獲得的總利潤多元,求第二次乙種商品是按原價打幾折銷售.【解析】(1)設(shè)超市第一次購進(jìn)甲種商品x件,則購進(jìn)乙種商品件,由題意得:,所以,所以(件),所以超市第一次購進(jìn)甲種商品件,乙種商品件.因?yàn)椋ㄔ?,所以該超市將第一次購進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得元利潤;(2)設(shè)第二次乙種商品是按原價打折銷售,根據(jù)題意,得,解得.答:第二次乙種商品是按原價打八五折銷售.考點(diǎn)十一、利用一元一次方程解決數(shù)軸上的追及問題例題11:如圖,已知數(shù)軸上有兩點(diǎn),點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè),到原點(diǎn)的距離為3,點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè),.動點(diǎn)分別從兩點(diǎn)同時出發(fā),在數(shù)軸上勻速運(yùn)動,它們的速度分別為2個單位長度/秒、1個單位長度/秒,設(shè)運(yùn)動時間為t秒.(1)點(diǎn)表示的數(shù)為________,點(diǎn)表示的數(shù)為________;(2)若動點(diǎn)均向右運(yùn)動.①當(dāng)時,點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是________,兩點(diǎn)間的距離為________個單位長度;②請問當(dāng)為何值時,點(diǎn)追上點(diǎn),并求出此時點(diǎn)對應(yīng)的數(shù);(3)若動點(diǎn)從點(diǎn)向左運(yùn)動到原點(diǎn)后返回到點(diǎn)停止,動點(diǎn)從點(diǎn)向右運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)停止時,點(diǎn)也停止運(yùn)動.請直接寫出當(dāng)為何值時,在和三條線段中,其中一條線段的長度是另一條線段長度的4倍.【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè),到原點(diǎn)的距離為3,所以點(diǎn)表示的數(shù)為,因?yàn)辄c(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè),,所以點(diǎn)表示的數(shù)為,故答案為:;.(2)①當(dāng)時,點(diǎn)向右運(yùn)動了個單位長度,點(diǎn)向右運(yùn)動了個單位長度,所以點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為,點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為,兩點(diǎn)間的距離為個單位長度,故答案為:;.②當(dāng)點(diǎn)追上點(diǎn)時,可得點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)與點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)相同,故,解得,此時點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為.(3)當(dāng)點(diǎn)停止時,所用時間為,當(dāng)時,,解得;當(dāng)時,,解得(舍去);當(dāng)時,,解得;當(dāng)時,,解得.綜上所述,當(dāng),或時,在和三條線段中,其中一條線段的長度是另一條線段長度的4倍.考點(diǎn)十二、解一元一次方程的拓展問題例題12:我們規(guī)定關(guān)于x的一元一次方程的解滿足,則稱該方程是“差解方程”,例如:的解為,滿足,則該方程就是“差解方程”,請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題:【定義理解】(1)判斷:方程________差解方程;(填“是”或“不是”)(2)若關(guān)于x的一元一次方程是“差解方程”,求m的值;【知識應(yīng)用】(3)已知關(guān)于x的一元一次方程是“差解方程”,則__________.(4)已知關(guān)于x的一元一次方程和都是“差解方程”,求代數(shù)式的值.【解析】(1)因?yàn)榉匠痰慕鉃?,所以方程是差解方程.故答案為:是;?)由題意可知,由一元一次方程可知,所以,解得;(3)因?yàn)榉匠淌恰安罱夥匠獭保?,解方程,得,所以,所以,即.故答案為?6;(4)因?yàn)橐辉淮畏匠淌恰安罱夥匠獭保裕庖辉淮畏匠痰盟?,整理得,因?yàn)橐辉淮畏匠淌恰安罱夥匠獭保?,解一元一次方程得,所以,整理得,所以.過關(guān)檢測一、選擇題1.下列方程中,是一元一次方程的是(
)A. B. C. D.2.下列變形不一定正確的是(
)A.若,則 B.若,則 C.,則 D.若,則3.下列選項(xiàng)中,正確的是(
)A.由,移項(xiàng)得B.由,去分母得C.由,去括號得D.把中的分母化為整數(shù),得4.若關(guān)于x的一元一次方程的解為正整數(shù),則整數(shù)k的值為()A.2 B.4 C.0或2 D.2或45.現(xiàn)定義運(yùn)算“*”,對于任意有理數(shù)與,滿足,譬如,.若有理數(shù)滿足,則的值為(
)A.4 B.5 C.21 D.5或21二、填空題6.若,則.7.已知關(guān)于的方程與有相同的解,則.8.若方程是關(guān)于的一元一次方程,則.9.我國古代著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個問題:“今有共買雞,人出九,盈十一;人出六,不足十六.問人數(shù)、雞價各幾何.”其大意是:今有人合伙買雞,每人出錢,會多出錢;每人出錢,又差錢.問人數(shù)、雞價各是多少.”設(shè)共有人合伙買雞,根據(jù)題意,可列方程為.10.已知關(guān)于x的一元一次方程的解為,那么關(guān)于y的一元一次方程的解為.三、解答題11.解方程:(1); (2);(3); (4).12.下面是小武同學(xué)解方程的過程,請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).解方程:.
第①步;
第②步;
第③步;
第④步;
第⑤步.(1)【任務(wù)一】填空:①以上解方程的步驟中,第______步是進(jìn)行去分母,去分母的依據(jù)是______;②第______步開始出現(xiàn)錯誤,這一步錯誤的原因是______.(2)【任務(wù)二】請幫小武改正錯誤,寫出正確的解題過程.13.對于有理數(shù)a,b,定義兩種新運(yùn)算“※”與“◎”,規(guī)定:,,例如,.(1)計算的值;(2)若a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示,化簡;(3)若,求x的值.14.某水果店現(xiàn)推出水果籃和堅(jiān)果禮盒,每個水果籃的成本為元.每盒堅(jiān)果禮盒的成本為元,每個水果籃的售價比每盒堅(jiān)果的售價多元,售賣個水果籃獲得的利潤和售賣盒堅(jiān)果禮盒獲得的利潤一樣多.(1)求每個水果籃和每盒堅(jiān)果禮盒的售價;(2)該水果店第一批購進(jìn)了個水果籃和盒堅(jiān)果禮盒.為回饋客戶該水果店計劃將每個水果籃打折出售,堅(jiān)果禮盒原價出售.售完這批水果籃和堅(jiān)果禮盒水果店共盈利元,按此計劃每個水果籃應(yīng)打幾折出售?15.如圖,在數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)是,點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè),且到點(diǎn)的距離是18,點(diǎn)在點(diǎn)與點(diǎn)之間,且點(diǎn)與點(diǎn)的距離為9.(1)點(diǎn)表示的數(shù)是_______,點(diǎn)表示的數(shù)是_______;(2)若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿數(shù)軸以每秒3個單位長度的速度向右勻速運(yùn)動;同時,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿數(shù)軸以每秒2個單位長度
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