專題15解直角三角形（全章直通中考）（基礎練）-2023-2024學年九年級數學下冊全章復習與專題突破講與練（浙教版）

專題1.5解直角三角形（全章直通中考）（基礎練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2017·云南·中考真題）sin60°的值為（）A． B． C． D．2．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在實數，x0（x≠0），cos30°，中，有理數的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2020·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，∠C＝90°，設∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB4．（2015·甘肅慶陽·中考真題）在△ABC中，若角A，B滿足，則∠C的大小是（）A．45° B．60° C．75° D．105°5．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）爬坡時坡角與水平面夾角為，則每爬1m耗能，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（參考數據：，）（

）

A．58J B．159J C．1025J D．1732J6．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，小兵同學從處出發(fā)向正東方向走米到達處，再向正北方向走到處，已知，則，兩處相距（

）

A．米 B．米 C．米 D．米7．（2021·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，某研究性學習小組為測量學校A與河對岸工廠B之間的距離，在學校附近選一點C，利用測量儀器測得．據此，可求得學校與工廠之間的距離等于（

）

A． B． C． D．8．（2019·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔60nmile的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處，這時輪船B與小島A的距離是（

）A．nmileB．60nmile C．120nmile D．nmile9．（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，有三點，，，則（

）

A． B． C． D．10．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）由4個形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網格，菱形的頂點稱為格點，點A，B，C都在格點上，∠O=60°，則tan∠ABC=（

）A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2013·山東德州·中考真題）的值是．12．（2019·浙江杭州·中考真題）在直角三角形ABC中，若，則.13．（2021·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知在中，，則的值是．14．（2020·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，工人師傅用扳手擰形狀為正六邊形的螺帽，現測得扳手的開口寬度，則螺帽邊長cm．15．（2019·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，某海防哨所發(fā)現在它的西北方向，距離哨所400米的處有一般船向正東方向航行，航行一段時間后到達哨所北偏東方向的處，則此時這般船與哨所的距離約為米．（精確到1米，參考數據：，）16．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點D在邊AB上，連接CD．若，，則．

17．（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，將的按下面的方式放置在一把刻度尺上：頂點O與尺下沿的端點重合，與尺下沿重合，與尺上沿的交點B在尺上的讀數恰為，若按相同的方式將的放置在該刻度尺上，則與尺上沿的交點C在尺上的讀數為．

18．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）某數學興趣小組測量校園內一棵樹的高度，采用以下方法：如圖，把支架放在離樹適當距離的水平地面上的點F處，再把鏡子水平放在支架上的點E處，然后沿著直線后退至點D處，這時恰好在鏡子里看到樹的頂端A，再用皮尺分別測量，，觀測者目高的長，利用測得的數據可以求出這棵樹的高度．已知于點D，于點F，于點B，米，米，米，米，則這棵樹的高度（的長）是米．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）計算：.20．（8分）（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的對角線相交于點為的中點，，．求的長及的值．21．（10分）（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖所示是消防員攀爬云梯到小明家的場景．已知，，點關于點的仰角為，則樓的高度為多少？（結果保留整數．參考數據：）22．（10分）（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖1是我國第一個以“龍”為主題的主題公園——“蘭州龍源”．“蘭州龍源”的“龍”字主題雕塑以紫銅鑄造，如巨龍騰空，氣勢如虹，屹立在黃河北岸．某數學興趣小組開展了測量“龍”字雕塑CD高度的實踐活動．具體過程如下：如圖2，“龍”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A處測得、，．求“龍”字雕塑的高度．（B，C，D三點共線，．結果精確到0.1m）（參考數據：，，，，，）

23．（10分）（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色．某數學興趣小組用無人機測量奇樓的高度，測量方案如圖：先將無人機垂直上升至距水平地面225m的P點，測得奇樓頂端A的俯角為，再將無人機沿水平方向飛行200m到達點Q，測得奇樓底端B的俯角為，求奇樓的高度．（結果精確到1m，參考數據：，，）

24．（12分）（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風景區(qū)登山，需要登頂高的山峰，由山底A處先步行到達處，再由處乘坐登山纜車到達山頂處．已知點A，B．D，E，F在同一平面內，山坡的坡角為，纜車行駛路線與水平面的夾角為（換乘登山纜車的時間忽略不計）

（1）求登山纜車上升的高度；（2）若步行速度為，登山纜車的速度為，求從山底A處到達山頂處大約需要多少分鐘（結果精確到）（參考數據：）參考答案：1．B解：sin60°=．故選B．2．B【分析】根據零指數冪，特殊角的三角函數值，實數的意義，即可解答．解：在實數，x0（x≠0）=1，，中，有理數是，x0=1，所以，有理數的個數是2，故選：B．【點撥】本題考查了零指數冪，特殊角的三角函數值，實數，熟練掌握這些數學概念是解題的關鍵．3．B【分析】根據三角函數的定義進行判斷，即可解決問題．解：∵中，，、、所對的邊分別為a、b、c∴，即，則A選項不成立，B選項成立，即，則C、D選項均不成立故選：B．【點撥】本題考查了三角函數的定義，熟記定義是解題關鍵．4．D解：試題分析：由題意得，cosA=，tanB=1，則∠A=30°，∠B=45°，則∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．故選D．考點：1．特殊角的三角函數值；2．非負數的性質：絕對值；3．非負數的性質：偶次方．5．B【分析】根據特殊角三角函數值計算求解．解：故選：B．【點撥】本題考查特殊角三角函數值，掌握特殊角三角函數值是解題的關鍵．6．B【分析】根據銳角三角函數中余弦值的定義即可求出答案.解：小兵同學從處出發(fā)向正東方向走米到達處，再向正北方向走到處，，米.，米.故選：B.【點撥】本題考查了銳角三角函數中的余弦值，解題的關鍵在于熟練掌握余弦值的定義.余弦值就是在直角三角形中，銳角的鄰邊與斜邊之比.7．D【分析】解直角三角形，已知一條直角邊和一個銳角，求斜邊的長．解：，．故選D．【點撥】本題考查解直角三角形應用，掌握特殊銳角三角函數的值是解題關鍵．8．D【分析】過點C作CD⊥AB，則在Rt△ACD中易得AD的長，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的長．解：過C作CD⊥AB于D點，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt△ACD中，cos∠ACD=，∴CD=AC?cos∠ACD=60×．在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=30，∴AB=AD+BD=30+30．答：此時輪船所在的B處與燈塔P的距離是（30+30）nmile．故選D．【點撥】此題主要考查了解直角三角形的應用方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．9．C【分析】如圖，取格點D，連接，，則B在上，由，，，證明，可得．解：如圖，取格點D，連接，，則B在上，

∵，，，∴，，，∴，∴；故選C【點撥】本題考查的是坐標與圖形，等腰直角三角形的判定與性質，特殊角的三角函數值，作出合適的輔助線構建直角三角形是解本題的關鍵．10．C【分析】證明四邊形ADBC為菱形，求得∠ABC=30°，利用特殊角的三角函數值即可求解．解：連接AD，如圖：∵網格是有一個角60°為菱形，∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等邊三角形，∴AD=BD=BC=AC，∴四邊形ADBC為菱形，且∠DBC=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°，∴tan∠ABC=tan30°=．故選：C．【點撥】本題考查了菱形的判定和性質，特殊角的三角函數值，證明四邊形ADBC為菱形是解題的關鍵．11．解：分析：將特殊角的三角函數值代入計算即可：．12．或.【分析】對AC分兩種情況討論，根據三角函數即可得到答案.解：如圖所示，分兩種情況討論，AC可以是直角邊，也可以是斜邊①當AC是斜邊，設AB＝x，則AC＝2x，由勾股定理可得：BC＝x，則②當AC是直角邊，設AB＝x，則AC＝2x，由勾股定理可得：BC＝x，則綜上所述，或.【點撥】本題考查三角函數，解題的關鍵是對AC分情況討論.13．【分析】在直角三角形中，銳角的正弦=銳角的對邊：直角三角形的斜邊，根據定義直接可得答案．解：，故答案為：【點撥】本題考查的是銳角的正弦的含義，掌握銳角的正弦的定義是解題的關鍵．14．【分析】根據正六邊形的性質，可得∠ABC=120°，AB=BC=a，根據等腰三角形的性質，可得CD的長，根據銳角三角函數的余弦，可得答案．解：如圖：作BD⊥AC于D由正六邊形，得∠ABC=120°，AB=BC=a，∠BCD=∠BAC=30°．由AC=3，得CD=．cos∠BCD==，即，解得a=，故答案為：．【點撥】本題考查正多邊形和圓，利用正六邊形的性質得出等腰三角形是解題關鍵，又利用了正三角形的性質，余弦函數．15．566【分析】通過解直角△OAC求得OC的長度，然后通過解直角△OBC求得OB的長度即可．解：設與正北方向線相交于點，根據題意，所以，在中，因為，所以，中，因為，所以（米）．故答案為566.【點撥】考查了解直角三角形的應用方向角的問題．此題是一道方向角問題，結合航海中的實際問題，將解直角三角形的相關知識有機結合，體現了數學應用于實際生活的思想．16．/【分析】由題意可設，則，，在中求得，在中求出答案即可．解：，，設，則，，在中，由勾股定理得：，在中，．【點撥】本題考查的是求銳角三角函數，解題關鍵是根據比值設未知數，表示出邊長從而求出銳角三角函數值．17．【分析】根據平行線的性質得到，解直角三角形求出，再推出，進而得到，再求出的長即可得到答案．解：由題意得，，，，∴，∴

∵，∴，，∴，∴，∴，∴與尺上沿的交點C在尺上的讀數為，故答案為：．【點撥】本題主要考查了解直角三角形，平行線的性質，等腰三角形的判定，正確求出的長是解題的關鍵．18．4.1【分析】過點作水平線交于點，交于點，根據鏡面反射的性質求出，再根據對應邊成比例解答即可．解：過點作水平線交于點，交于點，如圖，

∵是水平線，都是鉛垂線．∴米，米，米，∴（米），又根據題意，得，∴，，即，解得：米，∴（米）．故答案為：．【點撥】本題考查的是相似三角形的應用，通過作輔助線構造相似三角形，并利用相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關鍵．19．【分析】直接利用負整數指數冪的性質、特殊角的三角函數值、零指數冪分別化簡，進而得出答案．解：原式．【點撥】此題主要考查了實數的運算，正確化簡各數是解題關鍵．20．，【分析】根據菱形的性質得出，中，勾股定理求得的長，根據正切的定義即可求解．解：在菱形中，．∵，∴．在中，∵為中點，∴．∵．∴．∴．∴．【點撥】本題考查了菱形的性質，勾股定理，求正切，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．21．樓的高度為【分析】延長交于點，依題意可得，在，根據，求得，進而根據，即可求解．解：如圖所示，延長交于點，

∵，∴在中，，，∵，∴∴，答：樓的高度為．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握三角函數的定義是解題的關鍵．22．“龍”字雕塑的高度為．【分析】在和中，分別求得和的長，據此求解即可.解：在中，，，∴，在中，，，∴，∴,答：“龍”字雕塑的高度為．【點撥】本題考查的是解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．23．【分析】延長，交的延長線于點C，根據題意得出，，再由等腰直角三角形得出，然后解直角三角形即可．解：延長，交的延長線于點C，則

由題意得，，，在中，，則∴，在中，，解得