專題04幾何圖形初步

專題04幾何圖形初步知識(shí)點(diǎn)1：認(rèn)識(shí)平面圖形、立體圖形和圖形分類（1）幾何圖形：幾何圖形是數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象之一.物體的形狀、大小和位置關(guān)系是幾何研究的內(nèi)容.像長(zhǎng)方體、圓柱、球、長(zhǎng)方形、正方形、圓、線段、點(diǎn)、三角形、梯形……它們都是幾何圖形.（2）立體圖形：有些幾何體（如長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐、球等）各個(gè)部分都不在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形.（3）平面圖形：有些幾何圖形（如線段、角、三角形、長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形、圓等）的各部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形.知識(shí)點(diǎn)2：立體圖形的展開圖立體圖形的展開圖:有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當(dāng)剪開，可以展開成平面圖形.這樣的平面圖形稱為立體圖形的展開圖.如正方體的展開圖有如下幾種情況：中間四個(gè)面，上下各一面:中間三個(gè)面，一二隔河見:中間兩個(gè)面，樓梯天天見:中間沒有面，兩兩連成線:知識(shí)點(diǎn)3：點(diǎn)、線、面、體點(diǎn)：線和線相交的地方是點(diǎn)，它是幾何圖形中最基本的圖形.線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線.面：包圍著體的是面，分為平面和曲面.體：幾何體也簡(jiǎn)稱體.點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體.知識(shí)點(diǎn)4：直線、射線與線段的概念知識(shí)點(diǎn)5：基本事實(shí)1.經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且僅有一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線.2.兩點(diǎn)之間的線段中，線段最短，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)間線段最短.知識(shí)點(diǎn)6：基本概念1.兩點(diǎn)間的距離：兩個(gè)端點(diǎn)之間的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)間的距離.2.線段的等分點(diǎn)：把一條線段平均分成兩份的點(diǎn)，叫做這個(gè)線段的中點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)7：雙中點(diǎn)模型C為線段AB上任意一點(diǎn)，M、N分別為AC、BC中點(diǎn)，則.知識(shí)點(diǎn)8：角的概念1． 角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB．圖1圖2（2）定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．注意：（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長(zhǎng)短無關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號(hào)用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：①用數(shù)字表示單獨(dú)的角，如∠1，∠2，∠3等；②用小寫的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等；③用一個(gè)大寫英文字母表示一個(gè)獨(dú)立（在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角）的角，如∠B，∠C等；④用三個(gè)大寫英文字母表示任一個(gè)角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等.注意：用三個(gè)大寫英文字母表示角時(shí)，一定要把頂點(diǎn)字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè).3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個(gè)角等于已知角．知識(shí)點(diǎn)9：角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″．知識(shí)點(diǎn)10：鐘表上有關(guān)夾角問題鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問題．知識(shí)點(diǎn)11：方位角在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．注意：（1）正東、正西、正南、正北4個(gè)方向不需要用角度來表示．（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”．（3）在同一問題中觀測(cè)點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測(cè)點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀測(cè)點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向．（4）圖中的點(diǎn)O是觀測(cè)點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)12：角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．注意：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣．知識(shí)點(diǎn)13：角的運(yùn)算如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB∠2．注意：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對(duì)中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．知識(shí)點(diǎn)14：余角和補(bǔ)角（1）余角：如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，那么稱這兩個(gè)角互為余角，簡(jiǎn)稱互余，也可以說其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角.∠A+∠C=90°，∠A=90°∠C，∠C的余角=90°∠C，即∠A的余角=90°∠A.（2）補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，那么這兩個(gè)角叫互為補(bǔ)角．其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的補(bǔ)角.∠A+∠C=180°，∠A=180°∠C，∠C的補(bǔ)角=180°∠C，即∠A的補(bǔ)角=180°∠A.（3）補(bǔ)角的性質(zhì)：同角的補(bǔ)角相等.比如：∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°，則∠C=∠B.等角的補(bǔ)角相等.比如：∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°，∠A=∠D，則∠C=∠B.（4）余角的性質(zhì)：同角的余角相等.比如：∠A+∠B=90°，∠A+∠C=90°，則∠C=∠B.等角的余角相等.比如：∠A+∠B=90°，∠D+∠C=90°，∠A=∠D，則∠C=∠B.考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一：直線、射線、線段、角的相關(guān)概念【典例1】下列說法錯(cuò)誤的是（）A．直線和直線表示同一條直線 B．過一點(diǎn)能作無數(shù)條直線C．射線和射線表示不同射線 D．射線比直線短【答案】D【解析】A、直線和直線表示同一條直線，選項(xiàng)正確，不符合題意；B、過一點(diǎn)能作無數(shù)條直線，選項(xiàng)正確，不符合題意；C、射線和射線表示不同射線，選項(xiàng)正確，不符合題意；D、射線、直線都是無限長(zhǎng)的，不能比較長(zhǎng)短，選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【變式11】把一條彎曲的公路改成直道，可以縮短路程，其道理用幾何知識(shí)解釋正確的是()A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．垂線段最短C．線段的長(zhǎng)度可以測(cè)量 D．兩點(diǎn)之間線段最短【答案】D【解析】把彎曲的公路改成直道，其道理是兩點(diǎn)之間線段最短．故選：D．【變式12】下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)O在線段上 B．點(diǎn)B是直線的一個(gè)端點(diǎn)C．射線和射線是同一條射線 D．圖中共有3條線段【答案】D【解析】A、點(diǎn)O在線段外，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、點(diǎn)B是直線的一個(gè)點(diǎn)，直線沒有端點(diǎn)，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、射線和射線不是同一條射線，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、圖中共有3條線段，選項(xiàng)說法正確，符合題意.故選：D．【變式13】圖中直線、射線、線段能相交的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】A、因?yàn)榫€段不可無限延長(zhǎng)，兩線沒有交點(diǎn)，所以A選項(xiàng)不符合題意；B、因?yàn)橹本€兩端都可以無限延長(zhǎng)，射線另一邊無限延長(zhǎng)后兩線有交點(diǎn)，所以B選項(xiàng)符合題意；C、因?yàn)橹本€兩端都可以無限延長(zhǎng)，射線另一邊無限延長(zhǎng)后兩線沒有交點(diǎn)，所以C選項(xiàng)不符合題意；D、因?yàn)閮芍本€無限延長(zhǎng)沒有交點(diǎn)，所以D選項(xiàng)不符合題意，故選B．【變式14】已知A、B、C三點(diǎn)，若過其中任意兩點(diǎn)畫一條直線，則畫出的不同直線（

）A．一定有三條 B．只能有一條C．可能有三條，也可能只有一條 D．以上結(jié)論都不對(duì)【答案】C【解析】有兩種情況如圖所示：故選：C．【典例2】下列說法中，正確的是（

）A．一個(gè)周角就是一條射線 B．平角是一條直線C．角的兩邊越長(zhǎng)，角就越大 D．也可以表示為【答案】D【解析】A、周角的兩邊在同一射線上，不是一條射線，故錯(cuò)誤，不合題意；B、平角的兩邊在同一直線上，平角有頂點(diǎn)，而直線沒有，故錯(cuò)誤，不合題意；C、角的大小和兩邊的長(zhǎng)度沒有關(guān)系，故錯(cuò)誤，不合題意；D、也可以表示為，故正確，符合題意，故選：D．【變式21】如圖所示，圖中共有多少個(gè)小于平角的角（

）

A．10個(gè) B．9個(gè) C．8個(gè) D．4個(gè)【答案】A【解析】，，，，，，，，，.一共有10個(gè)角．故選：A．【變式22】下列說法中，正確的是（

）A．兩條射線組成的圖形叫做角B．有公共端點(diǎn)的兩條線段組成的圖形叫做角C．角可以看作是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形D．角的邊越長(zhǎng)，角越大【答案】C【解析】A、有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，故此選項(xiàng)不符合題意；B、有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，故此選項(xiàng)不符合題意；C、角可以看作是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，故此選項(xiàng)符合題意；D、角度的大小與邊的長(zhǎng)短無關(guān)，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【變式23】圖中角的個(gè)數(shù)是（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】D【解析】圖中屬于角的有：，共6個(gè)，故選D．【變式24】如圖，下列說法正確的是（

）

A． B．圖中只有兩個(gè)角，即和C．與表示同一個(gè)角 D．與表示同一個(gè)角【答案】D【解析】A．與不一定相等，該選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，故不符合題意；B．圖中有三個(gè)角，分別為、和，該選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，故不符合題意；C．與表示同一個(gè)角，該選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，故不符合題意；D．與表示同一個(gè)角，該選項(xiàng)說法正確，符合題意．故選∶D．考點(diǎn)二：根據(jù)線段間的關(guān)系判斷結(jié)論【典例3】杭衢高鐵線上，要保證衢州、金華、義烏、諸暨、杭州每?jī)蓚€(gè)城市之間都有高鐵可乘，需要印制不同的火車票（）A．20種 B．15種 C．10種 D．5種【答案】A【解析】需要印制不同的火車票的種數(shù)是：2（1+2+3+4）=20（種）．故選：A．【變式31】如圖，在線段AD上有兩點(diǎn)B，C，則圖中共有_____條線段，若在車站A、D之間的線路中再設(shè)兩個(gè)站點(diǎn)B、C，則應(yīng)該共印刷_____種車票．A．3，3 B．3，6 C．6，6 D．6，12【答案】D【解析】從A開始的線段有AB，AC，AD三條；從B開始的線段有BC，BD二條；從C開始的線段有CD一條，所以共有6條線段；車票從A到B和從B到A是不同的，所以車票數(shù)恰好是線段條數(shù)的2倍，所以需要12種車票，故選D.【變式32】將一段72cm長(zhǎng)的繩子，從一端開始每3cm作一記號(hào)，每4cm也作一記號(hào)，然后從有記號(hào)的地方剪斷，則這段繩子共被剪成的段數(shù)為（）A．37 B．36 C．35 D．34【答案】B【解析】∵繩子長(zhǎng)72cm，∴每3cm作一記號(hào)，可以把繩子平均分成72÷3＝24（段），可以做24?1＝23個(gè)記號(hào)，每4cm也作一記號(hào)，可以把繩子平均分成72÷4＝18（段），可以做18?1＝17個(gè)記號(hào)，∵3和4的最小公倍數(shù)是12，所以重合的記號(hào)有：72÷12?1＝5（個(gè)），∴有記號(hào)的地方共有23＋17?5＝35，∴這段繩子共被剪成的段數(shù)為35＋1＝36（段）．故選：B．【變式33】數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，某數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是1厘米，若在這個(gè)數(shù)軸上隨意畫出一條長(zhǎng)為18厘米的線段AB，則線段AB蓋住的整點(diǎn)數(shù)是(

)A．17個(gè)或18個(gè) B．17個(gè)或19個(gè) C．18個(gè)或19個(gè) D．18個(gè)或20個(gè)【答案】C【解析】依題意得：①當(dāng)線段AB起點(diǎn)在整點(diǎn)時(shí)覆蓋19個(gè)數(shù)；②當(dāng)線段AB起點(diǎn)不在整點(diǎn)，即在兩個(gè)整點(diǎn)之間時(shí)覆蓋18個(gè)數(shù)．故選C．【變式34】下列說法中，正確的是（

）A．在所有連接兩點(diǎn)的線中，直線最短B．線段與線段是不同的兩條線段C．如果點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，那么D．如果，那么點(diǎn)是線段的中點(diǎn)【答案】C【解析】A．在所有連接兩點(diǎn)的線中，線段最短，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．線段與線段是同一條線段，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．如果點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，那么，故該選項(xiàng)正確；D．如果，那么點(diǎn)不一定是線段的中點(diǎn)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：C．考點(diǎn)三：根據(jù)線段間的關(guān)系求線段的長(zhǎng)度【典例4】如圖，線段，C是線段的中點(diǎn)，D是線段的中點(diǎn)．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)在線段上有一點(diǎn)E，，求的長(zhǎng)．【解析】（1）∵線段，C是線段的中點(diǎn)，D是線段的中點(diǎn)．∴∴；（2）易得，∵在線段上有一點(diǎn)E，故點(diǎn)E在C點(diǎn)的左邊時(shí)，，綜上：的長(zhǎng)為8．【變式41】如圖，線段，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)．

(1)求線段的長(zhǎng)度；(2)在上取一點(diǎn)N，使得．求的長(zhǎng)．【解析】（1）∵，，∴．又∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)．∴，即線段的長(zhǎng)度是．（2）∵，∴．又∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，，∴，∴，即的長(zhǎng)度是．【變式42】如圖，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，．(1)求的長(zhǎng)；(2)若為的中點(diǎn)，求長(zhǎng)．【解析】（1）如圖所示：設(shè)的長(zhǎng)為，，，又，，又為線段的中點(diǎn)，，，又，，，解得：，；（2）為線段的中點(diǎn)，，又，．考點(diǎn)四：鐘表中的角度計(jì)算【典例5】在上午時(shí)，鐘表上的時(shí)針與分針的夾角是()A． B． C． D．【答案】C【解析】上午時(shí)，時(shí)針和分針中間相差個(gè)大格，鐘表個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為，∴上午分針與時(shí)針的夾角是：．故選：C．【變式51】從分到分，時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】鐘面上每?jī)蓚€(gè)數(shù)字之間所對(duì)應(yīng)的圓心角為，每一個(gè)“小格”所對(duì)應(yīng)的圓心角為，從分到分，分針轉(zhuǎn)過個(gè)“小格”，所以從分到分，分針轉(zhuǎn)過的角度是，故選：B．【變式52】實(shí)驗(yàn)中學(xué)上午時(shí)通常準(zhǔn)時(shí)上第三節(jié)課，此時(shí)時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】時(shí)鐘上每一大格是，∵時(shí)時(shí)針與分針之間有四個(gè)大格，且此時(shí)時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，∴此時(shí)時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角是，故選：C．【變式53】鐘表的指針在不停地轉(zhuǎn)動(dòng)，從3時(shí)到5時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了度．【答案】60【解析】鐘表時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一周的角度為，平均分成12個(gè)刻度，每?jī)蓚€(gè)刻度的角度為，所以從3時(shí)到5時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)刻度，角度為．故答案為：60．考點(diǎn)五：根據(jù)角與角之間的關(guān)系判斷結(jié)論【典例6】如圖，兩個(gè)直角和有公共頂點(diǎn)O，下列結(jié)論：①；②；③；④若平分，則平分；⑤的平分線與的平分線是同一條射線．其中正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【解析】∵，∴，即，故①正確；當(dāng)時(shí)，，故②不正確；∵，∴，∴，故③正確；∵平分，∴，∵，∴，∴平分，故④正確；設(shè)的平分線為，∵平分，∴，∵，∴，∴，即平分，故⑤正確．綜上：正確的有①③④⑤，共4個(gè)．故選：C．【變式61】已知，，，則相等的兩個(gè)角是（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【解析】由已知得，，，，，故選：．【變式62】在下列說法中，正確的是（

）A．比較角的大小就是比較角的度數(shù)大小B．從角的頂點(diǎn)出發(fā)的一條射線把這個(gè)角分成兩個(gè)角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線C．若，則OC是∠AOB的平分線D．用一個(gè)放大鏡能夠把一個(gè)圖形放大，也能夠把一個(gè)角的度數(shù)放大【答案】A【解析】A.比較角的大小就是比較角的度數(shù)大小，故本選項(xiàng)正確；B.從角的頂點(diǎn)出發(fā)的一條射線把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.若，且在內(nèi)部，則是的平分線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.放大鏡能夠把一個(gè)圖形放大，不能夠把一個(gè)角的度數(shù)放大，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．【變式63】如圖，為內(nèi)一條射線，下列條件中能確定平分的是（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】A、，不能確定平分，故此選項(xiàng)不合題意；B、，不能確定平分，故此選項(xiàng)不合題意；C、，能確定平分，故此選項(xiàng)符合題意；D、，不能確定平分，故此選項(xiàng)不合題意．故選：C．考點(diǎn)六：根據(jù)角與角之間的關(guān)系求角度【典例7】如圖，已知是的角平分線，是的角平分線．（1）若，，求的度數(shù)；（2）若，且，求的度數(shù)．【解析】（1）因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，，所以．因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，所以．所以．（2）因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，設(shè)．因?yàn)?，所以，．因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，所以因?yàn)?，所以，所以，即．【變?1】已知：如圖，在內(nèi)部有（）．（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，平分，平分，求的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)從的位置開始，繞著點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)秒時(shí)，使，求的值．【解析】（1）∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠COD+∠BOD

=∠AOB+∠COD=150°+20°=170°.（2）∵ON平分∠AOD，OM平分∠BOC，∴∠AON+∠BOM=（∠AOD+∠BOC）=×170°=85°，∴∠MON=∠AOB(∠AON+∠BOM)=150°85°=65°.（3）∵∠AON=∠AOD=（10+20+2t）°=(15+t)°，∠BOM=∠BOC=（150102t）°=(70t)°.又∵∠BOM=∠AON，∴70t=（15+t），∴t=19.【變式72】如圖，已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O，在∠COB的內(nèi)部作射線OE.（1）若∠AOC=36°，∠COE=90°，求∠BOE的度數(shù)；（2）若∠COE：∠EOB：∠BOD=4：3：2，求∠AOE的度數(shù).【解析】（1）∵∠AOC=36°，∠COE=90°，∴∠BOD=36°，∠EOD=90°，∴∠BOE=9036°=54°.（2）∠COE：∠EOB：∠BOD=4：3：2，∴∠EOB=180°×=60°，∴∠AOE=180°∠EOB=180°60°=120°.【變式73】如圖，在直線上，射線平分，射線在內(nèi)．

(1)若，求證：射線是的平分線；(2)若，，求的度數(shù)．【解析】（1）∵．∴，∵，∴．∵射線平分，∴，∴，∴，∴射線是的平分線；（2）∵，設(shè)，則，∵，∴，∵射線平分，∴．∵，∴，解得，∴．考點(diǎn)七：線段中的分類討論思想問題【典例8】點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段上一點(diǎn)，，若線段，則．【答案】6或12【解析】點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，線段，．，．如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，；如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，．綜上所述，的長(zhǎng)為6或12．故答案為：6或12．

【變式81】點(diǎn)A、B、C在直線l上，線段，線段，則線段的長(zhǎng)是（）A．10 B．2 C．2或5 D．10或2【答案】D【解析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，如圖：

，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，

，∴線段的長(zhǎng)為：2或10，故選：D．【變式82】已知線段，點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，直線上有一點(diǎn)C，且，則線段．【答案】6或18【解析】∵，點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，∴，設(shè)，則，當(dāng)C點(diǎn)在B、D之間時(shí)，如圖：∵，∴，解得，∴；當(dāng)C點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖：∵，∴，解得，∴．故答案為：6或18．考點(diǎn)八：角度中的分類討論思想問題【典例9】將直角三角板的直角頂點(diǎn)O放在直線上，射線平分．(1)如圖，若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)；(3)將直角三角板繞頂點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．【解析】（1）∵直角三角板的直角頂點(diǎn)為點(diǎn)，，，．（2）設(shè)，則，，射線平分，，又，，解得，．（3）①如圖，當(dāng)在直線上方時(shí)，

，，射線平分，，，；②如圖，當(dāng)在直線下方時(shí)，

，，射線平分，，，，綜上，的度數(shù)為或．【變式91】劉星對(duì)幾何中角平分線等興趣濃厚，請(qǐng)你和他一起探究下面問題吧，已知，射線，分別是和的角平分線．(1)如圖，若射線在的內(nèi)部，且，求的度數(shù)；(2)如圖，若射線在的內(nèi)部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則的度數(shù)；(3)若射線在的外部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)中，均指小于的角，其余條件不變，請(qǐng)借助圖探究的大?。窘馕觥浚?），，，，分別是和的角平分線，，，；（2），分別是和的角平分線，，，；（3）①射線，只有個(gè)在外面，如圖3①，∴；②射線，都在外面，如圖3②，

．過關(guān)檢測(cè)一、選擇題1．如圖，是一個(gè)圓柱體模型，若從這個(gè)圓柱的左邊向右看，則得到的平面圖形是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】從左邊向右看這個(gè)幾何體可看到長(zhǎng)方形.故選:A.2．如果一個(gè)角的補(bǔ)角是，那么這個(gè)角的余角是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵一個(gè)角的補(bǔ)角是120°，∴這個(gè)角為：180°120°=60°，∴這個(gè)角的余角是：90°60°=30°．故選A．3．如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊，點(diǎn)A、B分別落在點(diǎn)A′B′處，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由翻折可得：∠1=∠FEA'=55°，∴∠A'ED=18055×2=70°.故選C.4．如圖所示，O是直線AB上的一點(diǎn)，∠AOC=∠FOE=90°，則圖中∠EOC與∠BOF的關(guān)系是（）A．相等 B．互余 C．互補(bǔ) D．互為鄰補(bǔ)角【答案】C【解析】∠AOC=∠FOE=90°，∠AOF+∠COF=90°,∠EOC+∠COF=90°，∠AOF=∠EOC.∠AOF+∠BOF=180°，∠EOC+∠BOF=180°，即∠EOC與∠BOF的關(guān)系是互補(bǔ).故選C.5．下列圖形中，能用∠ABC，∠B，∠1表示同一個(gè)角的是（

）A．B．C． D．【答案】D【解析】、以為頂點(diǎn)的角不是一個(gè)，因此不能表示為，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；、以為頂點(diǎn)的角不是一個(gè)，因此不能表示為，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；、以為頂點(diǎn)的角不是一個(gè)，因此不能表示為，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；、能用，，表示同一個(gè)角，故此選項(xiàng)正確．故選：D．6．如圖，已知是的平分線，則下列結(jié)論：①；②；③；④.其中正確的有（

）A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④【答案】A【解析】∵是的平分線，∴，∴②③④正確，故選：A.7．如圖，通常我們描述點(diǎn)B和點(diǎn)C的方向,分別為(

)A．南偏東25°,北偏西60° B．東偏南65°,西偏北60°C．北偏東155°,南偏西120° D．西偏南115°,東偏北150°【答案】A【解析】根據(jù)圖可知，點(diǎn)B的方向?yàn)槟掀珫|25°，點(diǎn)C的方向?yàn)楸逼?0°，故選A.8．如圖，已知是直線上一點(diǎn)，，平分，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，∵平分，∴，故選：C.9．在直線上取三點(diǎn)、、，使線段，，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】①當(dāng)點(diǎn)C在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示：可得BC=AB+AC=11cm；②當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖所示：可得BC=ABAC=5cm，綜上所述，線段BC的長(zhǎng)為5cm或11cm，故選：D.10．一副三角尺按如圖所示方式擺放，且比大40°，則∠2的度數(shù)是（

）A．20° B．25° C． D．【答案】B【解析】根據(jù)圖示可知∠1+∠2=90°，∠1=∠2+40°，所以∠2=（90°40°）÷2=25°．故選：B．11．下列換算中，錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A.47.28°=47°16′48″，正確，不合題意；B.83.5°=83°30′，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；C、16°5′24″=16°5.4′=16.09°，正確，不合題意；D、0.25°=15′=900″，正確，不合題意．故選B．12．小亮利用星期天進(jìn)行社會(huì)調(diào)查活動(dòng)，早晨8:00出發(fā)，中午12:30到家，則小亮出發(fā)和到家時(shí)時(shí)針和分針的夾角分別為（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】B【解析】早晨8：00，時(shí)針和分針夾角是4份，每份30°，故4×30°=120°．∵時(shí)針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，∴鐘表上12時(shí)30分鐘時(shí)，時(shí)針與分針的夾角可以看成時(shí)針轉(zhuǎn)過12時(shí)0.5°×30=15°，分針在數(shù)字6上．∵鐘表12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30°，∴12時(shí)30分鐘時(shí)分針與時(shí)針的夾角6×30°15°=165°．即：出發(fā)時(shí)的時(shí)針和分針的夾角為120°，回到家時(shí)時(shí)針與分針的夾角為165°．故選B.二、填空題13．若，，則．【答案】【解析】，故答案為：．14．國(guó)扇文化有深厚的文化底蘊(yùn)，歷來中國(guó)有“制扇王國(guó)”之稱．打開折扇時(shí)，隨著扇骨的移動(dòng)形成一個(gè)扇面，這種現(xiàn)象可以用數(shù)學(xué)原理解釋為．

【答案】線動(dòng)成面【解析】根據(jù)題意，這種現(xiàn)象可以用數(shù)學(xué)原理解釋為：線動(dòng)成面．故答案為：線動(dòng)成面．15．如圖