專題74銳角三角函數(shù)（全章分層練習）（培優(yōu)練）-2023-2024學年九年級數(shù)學下冊全章復習與專題突破講與練（蘇科版）

專題7.4銳角三角函數(shù)（全章分層練習）（培優(yōu)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在四邊形中，，，為邊上的點，為等邊三角形，，，則的值為（）

A． B． C． D．2．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖、點分別是正方形邊上的點，且．連接并延長，交的延長線于點M，設，則（

）

A． B． C． D．3．（2023上·吉林長春·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點、、、均在格點上，與相交于點，則的余弦值為（

）

A． B． C． D．4．（2023·安徽·統(tǒng)考模擬預測）如圖，為半圓O的直徑，點O為圓心，點C是弧上的一點，沿為折痕折疊交于點M，連接，若點M為的黃金分割點（），則的值為（）

A． B． C． D．5．（2022·陜西·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AD＝BC，若∠BAC＝45°，∠B＝75°，則下列等式成立的是（

）A．AB＝2CD B． C． D．6．（2022下·吉林長春·九年級統(tǒng)考階段練習）將一塊含角的三角板按如圖所示擺放在平面直角坐標系中，直角頂點C在x軸上，軸．反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點A，且與直角邊交于點D．若，，則k的值為（）A． B． C． D．7．（2023上·浙江金華·九年級浙江省義烏市后宅中學校聯(lián)考期末）如圖，矩形中，，E為的中點，將沿翻折得到，延長交于G，，垂足為H，連接、．以下結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2022年山東省濟寧市創(chuàng)新聯(lián)盟第五次中考模擬數(shù)學試題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形AOCB是平行四邊形，點D為邊AB的中點，反比例函數(shù)在第一象限的圖像交邊AB于點D，設，已知，則k的值為（

）A． B． C． D．9．（2023下·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習）如圖，在矩形中，點是對角線上的中點，過點作交于點，交于點．若，，則的長度為（

）

A． B． C． D．10．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，按以下步驟作圖：①分別以點A和點B為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點；②作直線交于點M，交于點N．連接．則的長為（

）

A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023上·江蘇南通·九年級校考階段練習）如圖，在中，，，，，連接，則長的最大值為．12．（2023上·四川成都·九年級雙流中學?？茧A段練習）在中，于點，點在上，，連接交于點，，，，則長為.13．（2023上·陜西榆林·九年級校考期末）如圖，在中，點D為內(nèi)部一點，平分，于點D，．若，，則的長為．14．（2022上·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，兩條經(jīng)過格點的線段相交所成的銳角為α，則cosα等于．15．（2021·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）如圖，將邊長為1的正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，則陰影部分的面積是；16．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第四十七中學校考期末）如圖，已知四邊形為正方形，為對角線上一點，連接，過點作，交的延長線于點，以為鄰邊作矩形，連接，則．17．（2020·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，是的中點，是上一點，若平分的周長，則的長等于．18．（2023上·河南鄭州·九年級?？计谀┤鐖D，在矩形中，，，將沿射線平移a個單位長度得到，連接，，則當是直角三角形時，a的值為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023上·全國·九年級期末）如圖，已知在中，，垂足為點D，，，，點E是邊的中點．（1）求邊的長；（2）求的正弦值．20．（8分）（2024上·北京房山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在等邊三角形中，E，F(xiàn)分別是上的點，且，交于點G．（1）°；（2）過點A作（點D在的右側(cè)），且，連接．①依題意補全圖形；②用等式表示線段與的數(shù)量關系，并證明．21．（10分）（2023上·安徽合肥·九年級合肥壽春中學校考階段練習）（1）如圖1，正方形中，點E，F(xiàn)分別是、邊上，且于點O，求證：．（2）如圖2，在（1）的條件下，連接并延長交于點G，若點G為邊中點，求證：．（3）在（2）的條件下，求的值．22．（10分）（2023上·新疆烏魯木齊·九年級烏市八中校考期末）將一副三角板如圖拼接：含角的三角板（）的長直角邊與含（角的三角板）的斜邊恰好重合．已知，P是上的一個動點，連接．（1）當點P運動到的平分線上時，求的長；（2）當點P在運動過程中出現(xiàn)時，求此時的度數(shù)．23．（10分）（2023下·江西撫州·九年級校考階段練習）如圖1是折疊會議桌的實物圖，其側(cè)面可抽象成圖2，桌面可繞點轉(zhuǎn)動，，，．，點是點在地面的正投影．（1）①桌面到地面的距離為______，______．②求桌腳的長；（結(jié)果精確到）（2）當桌面繞點轉(zhuǎn)動到圖3所示的位置時，求點到地面的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）24．（12分）（2023下·山西長治·九年級校考階段練習）綜合與探究：圖1．在平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于點B，C二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點B，C，且與x軸的另一個交點為A（A點在原點左側(cè)），若，P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，過點P作軸于點D，交于點F，作于點F．

（1）求點A的坐標及二次函數(shù)的表達式．（2）當?shù)闹荛L最大時，求點P的坐標．（3）如圖2，過點P作的平行線．交線段于點M，在直線上是否存在點N，使得以點A，C，M，N為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．參考答案：1．C【分析】作于點，于點，解直角，得出，證明，得出，再求出，，然后利用正切函數(shù)定義即可求解．解：如圖，作于點，于點，

∵，，∴，∴．∵為等邊三角形，∴，，∵，，∴，在與中，，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴．故選：．【點撥】此題考查了解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義等知識，準確作出輔助線，構造全等三角形以及直角三角形是解題的關鍵．2．D【分析】利用證明，從而得到，設，利用證明，從而得到，繼而求出，再根據(jù)找到與的關系式，從而得解．解：∵，∴，在正方形中，，∴，∴，∵，，∴∴設在正方形中，，∴，∴，即解得：又∵，即，∴，∴，令，則∴，即，∴．故選：D．【點撥】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義等知識，利用相似三角形的性質(zhì)求是解題的關鍵．3．C【分析】作于E，由可證，則可得，由此可求出的長，再在中根據(jù)面積法求出的長，再根據(jù)勾股定理求出的長，即可求出的余弦值，由于，因此可得的余弦值．解：

作于E，，，，，．中，．，，解得，．，．故選：C【點撥】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、用面積法求直角三角形斜邊上的高、勾股定理及余弦的定義．熟練掌握以上知識并且正確的作出輔助線是解題的關鍵．4．A【分析】過點M作，垂足為D，延長交半于點，連接，，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：，，從而可得，再根據(jù)黃金分割的定義可得，然后利用直徑所對的圓周角是直角可得，從而證明A字模型相似三角形，進而利用相似三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補以及平角定義定義可得：，從而可得，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算，即可解答．解：過點M作，垂足為D，延長交半于點，連接，，

由折疊得：，，∴，∵點M為的黃金分割點（），∴，∵為半圓O的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是半的內(nèi)接四邊形，∴，∵，，∴，∴，在中，．故選：A．【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，黃金分割，解直角三角形，翻折變換（折疊問題），圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．5．B【分析】連接OB、OC，過O作AB的垂線，垂足為E，交CD于點F．由已知可得AB∥CD，則OF⊥CD，且∠BOC=90°，E、F分別是AB、CD的中點；易證△BOE≌△OCF，從而BE與CF的關系，即可得AB與CD的關系．解：如圖，連接OB、OC，過O作AB的垂線，垂足為E，交CD于點F．∵AD=BC，∴，∴∠ACD=∠BAC=45°．∴AB∥CD．∵OE⊥AB，∴AB=BE，OF⊥CD．∴CD=2CF．

∵∠BAC、∠BOC對著同一弧，∴∠BOC=2∠BAC=90°．∴∠EOB+∠COF=90°．∵∠EOB+∠OBE=90°，∴∠OBE=∠COF．∵∠OEB=∠CFO=90°，OB=OC，∴△BOE≌△OCF．∴OE=CF．∵OB=OC，∴∠OBC=45°．∵∠ABC=75°，∴∠OBE=∠ABC∠OBC=30°．∴．∴．∵AB=2BE，CD=2CF，∴．故選：B．【點撥】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)等知識，構造輔助線并證明△BOE≌△OCF是問題的關鍵．6．A【分析】過點A作軸，交x軸于點E，過點D作軸，交x軸于點F，交于點H，利用平行線的性質(zhì)可知，再分別用三角函數(shù)解得長、長、長，設點A坐標為，可知點D坐標為，根據(jù)反比例函數(shù)圖像上的點的特征解出x的值，k值即可求．解：如圖過點A作軸，交x軸于點E，過點D作軸，交x軸于點F，交于點H，∵軸，∴，∵，∴，∵，∴，∵軸，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設點A坐標為，可知點D坐標為，∵點A與點D都在反比例函數(shù)上，∴，解得，∴，故選A．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)圖像上的點的坐標特征、特殊角的三角函數(shù)、平行線的性質(zhì)等知識點、熟練掌握上述知識點是解答本題的關鍵．7．D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理依次對各個選項進行判斷、計算，即可得出答案．解：①∵，E為的中點，∴，∵將沿翻折得到，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故①正確；②∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故②正確；③過點E作于點M，如圖，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，設，∵，∴，∴，∴，即，解得，，∴，∴，故③正確；④，故④正確；綜上共有4個正確．故選：D．【點撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、勾股定理、三角函數(shù)等知識，本題綜合性較強，證明三角形全等和三角形相似是解題的關鍵．8．D【分析】過點C作軸于點M，過點D作軸于點N，再由得到，求出相似比，設，表示出線段、，繼而求出（a，），（，），再代入解析式可得a的值，再求解即可得到k的值．解：如圖，過點C作軸于點M，過點D作軸于點N四邊形AOCB是平行四邊形點D為邊AB的中點設，則（a，），（，）代入反比例函數(shù)解析式為整理得解得（舍去）故選：D．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識，準確地做出輔助線是解題的關鍵．9．B【分析】延長交于點，過點作于點，根據(jù)矩形的性質(zhì)證明，可得，得到是的垂直平分線，可得，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，，根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理定理可得，，，，代入計算可得答案．解：延長交于點，過點作于點，∵四邊形是矩形，點是對角線上的中點，，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴是的垂直平分線，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即的長度為．故選：B．

【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，勾股定理，解直角三角形．通過作輔助線構造相似三角形和直角三角形是解題的關鍵．10．B【分析】由作法可得垂直平分，由垂直平分線的性質(zhì)可得，利用等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理求出，過點C作于點H，則是等腰直角三角形，通過解直角三角形求出和即可．解：由作法可得垂直平分，，，．，，，，如圖，過點C作于點H，則是等腰直角三角形，，，，，，故選B．【點撥】本題考查垂直平分線的作法及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解直角三角形等，解題的關鍵是通過添加輔助線構造直角三角形．11．/【分析】本題考查解直角三角形的應用，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識．如圖，在的下方作，使得，，連接，則，證明，推出，推出，再根據(jù)，可得，由此即可解決問題．解：如圖，在的下方作，使得，，連接，則，在中，，，，，，，，，，，，，，，，的最大值為，故答案為：．12．3【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，已知正切求邊長．在上截取，延長至，使得，連接，設，，則，根據(jù)，得出，證明，得出，，，進而證明得出，根據(jù)已知條件得出，證明得出，在中，勾股定理得出，進而得出，即可求解．解：如圖所示，在上截取，延長至，使得，連接，∵，∴設，，則，∵，∴，，∵，在和中，，∴，∴，，，∴，，又∵，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，在中，，∴∴故答案為：3．13．3【分析】延長交于點E，首先根據(jù)，平分，運用證明，說明，，再根據(jù)直角三角形的邊角間關系及等腰三角形的性質(zhì)，用含的線段表示出、、的長，根據(jù)及的長，得關于的方程，求解即可．本題主要考查了全等三角形，解直角三角形，等腰三角形．熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)，余弦定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，是本題的解題關鍵．解：延長交于點E．∵，平分，∴，，∵，∴，∴，，設，則，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：3．14．【分析】要求cosα的值，想到把銳角α放在直角三角形中，設AB與CD相交于點E，過點C作CF//AB,則∠AEC=∠DCF,再連接DF,最后在Rt△DCF中即可解答．解：如圖，設AB與CD相相交于E，過點C作CF∥AB，連接DF，∵AB∥CF∴∠AEC=∠DCF由勾股定理得：，，∴，且CF=DF∴△DCF是等腰直角三角形∴∠DCF=45°∴α=45°∴cosα=故答案為：．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用，根據(jù)題目已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解的關鍵．15．【分析】交于點，連接；根據(jù)全等三角形性質(zhì)，通過證明，得；結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得；根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)計算，得，結(jié)合正方形和三角形面積關系計算，即可得到答案．解：如圖，交于點，連接根據(jù)題意，得：，∵∴∴∵正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)到∴，∴∴∴∴∴∴陰影部分的面積故答案為：．【點撥】本題考查了正方形、全等三角形、旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)的知識；解題的關鍵是熟練掌握正方形、全等三角形、旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．16．【分析】連接，交于點O，設交于點P，交于點H．先證明，再證明，進而證明，從而證明，從而得到，求出，即可求出，即可求出．解：如圖，連接，交于點O，設交于點P，交于點H．∵四邊形為正方形，∴互相垂直平分，，，∴，∵，∴，∴，，∴矩形為正方形，∴．∵，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∵正方形的邊長為3，∴，∴，∴，∴．故答案為：【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應用，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，勾股定理等知識，綜合性較強，熟知相關知識，正確添加輔助線進行角的轉(zhuǎn)化是解題關鍵．17．【分析】此題考查了三角形中位線定理，等腰三角形性質(zhì)，解直角三角形等知識點；延長至點使得，連接，作于點，則，易得，又由已知得，則，故為中位線，從而得．解：延長至點使得，連接，作于點，

則，∴，∴，∵平分的周長∴，∵是中點，∴，∴，∴為中位線，∴．故答案為：．18．或．【分析】分兩種情況：①如圖1，，②如圖2，，分別作輔助線，構建相似三角形，證明三角形相似列比例式可得對應a的值．解：①如圖1，，延長交于G，過點作，交的延長線于H，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∵，即，設，，∴，由平移得：，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，即，

∴，∴；②如圖2，，延長交于M，則，∴，由平移得：，，同理設，，則，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴；綜上，a的值是或．【點撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、三角形相似的性質(zhì)和判定、直角三角形的性質(zhì)等知識點；解題關鍵是畫出兩種情況的圖形，依題意進行分類討論．19．（1）；（2）【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)，中位線判定定理和性質(zhì)，勾股定理等知識，（1）根據(jù)題意，先求出的值，然后在中，利用勾股定理即可求出；（2）過點作，垂足為，先證明是的中位線，然后求出、，即可得到答案．掌握以上知識點是解題的關鍵．（1）解：，、均為直角三角形，在中，，，在中，，．（2）過點作，垂足為，，，，又點是邊的中點，即點是邊的中點，是的中位線，，，，．在中，．20．（1）；（2）①見分析；②線段，與的數(shù)量關系：，理由見分析【分析】（1）證明，則，根據(jù)，求解作答即可；（2）①按照要求作圖即可；②如圖2，作，在截取，連接，．則．由，可求．證明．則，，．由勾股定理得，．如圖2，過點作于點，在中，由，，可求．由，可得．（1）解：∵等邊三角形，∴，，∵，，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）①解：依題意補全圖形，如圖1．②解：，證明如下：證明：如圖2，作，在截取，連接，．∵，，∴．∵是等邊三角形，∴，．又∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴，．∵，∴．由勾股定理得，．如圖2，過點作于點，在中，∵，，∴．∴．又∵，∴．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，余弦等知識．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，余弦是解題的關鍵．21．（1）見分析；（2）見分析；（3）【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)證明即可；（2）先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到，再證明得到即可；（3）設，，先證明，根據(jù)（2）中結(jié)論求得，然后根據(jù)正切的定義即可求解．解：（1）證明：如圖1，∵四邊形是正方形，∴，，，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴．（2）如圖2，∵點為中點，，∴，∴，，而，，∴，又，，∴∴，∴．（3）設，，則，∵，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，由（2）中得，解得（負值舍去），∴．【點撥】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、正切的定義、解一元二次方程等知識，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用，利用全等三角形和相似三角形的性質(zhì)探究邊角間的關系是解答的關鍵．22．（1）；（2）或【分析】（1）作，在直角中，由直角三角形的特征得，再由正切三角函數(shù)得，可求，由，則的長可以求得，然后在直角中利用勾股定理得，即可求解；（2）分兩種情況進行討論：①當P點在的左邊時，由余弦函數(shù)，可求，由，即可求解；②當P點在的右邊時，同理①即可求解．（1）解：如圖（1），作交于，在中，，，，，中，，，平分，，，，；（2）解：①當P點在的左邊時，如圖（2）所示，根據(jù)（1）中結(jié)論，，，又，；②當P點在的右邊時，如圖（3）所示，同①可得，；綜上所述：的度數(shù)為或．【點撥】本題考查了直角三角形的特征，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)，掌握相關的性質(zhì)，能根據(jù)點的不同位置進行分類討論是解題的關鍵．23．（1）①；；；②桌腳的長約為；（2）點到地面的距離約為【分析】（1）①連接，根據(jù)正投影，得到，再根據(jù)勾股定理，求得，然后利用銳角三角函數(shù)的定義，得出，最后利用平行線的性質(zhì)和三角形外角的定義，即可得到答案；②過點作于點，利用銳角三角函數(shù)的定義，得到，然后利用勾股定理列式，求出，進而得到，再利用銳角三角函數(shù)的定義，即可求出桌腳的長；（2）過點作于點，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，進而得到，利用銳角三角函數(shù)的定義，得到，然后利用勾股定理列式，求出，進而得出，即可求出點到地面的距離．（1）解：①如圖，連接，點是點在地面的正投影，，，，，，在中，，即到地面的