專題273相似（全章分層練習(xí)）（提升練）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（人教版）

專題27.3相似（全章分層練習(xí)）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023上·安徽合肥·九年級校考期中）若，則的值是（

）A． B． C． D．2．（2023上·安徽滁州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，，直線，與、、分別相交于、、和點、、．若，，則的長是（）A． B． C． D．3．（2023上·廣東深圳·九年級?？计谥校┤鐖D所示，點是線段的黃金分割點，下列結(jié)論中錯誤的是（

）．

A． B．C． D．4．（2023上·北京石景山·九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形中，E，F(xiàn)分別是，上的點，若，則一定有（

）．A． B． C． D．5．（2023上·陜西榆林·九年級校考期中）四邊形是一張矩形紙片，將其按如圖所示的方式折疊：使邊落在邊上，點落在點處，折痕為；使邊落在邊上，點落在點處，折痕為．若矩形與原矩形相似，，則矩形的面積為（）A． B． C． D．6．（2023上·四川內(nèi)江·九年級?？计谥校┤鐖D，已知，那么添加下列一個條件后，不能判定的是（）

A． B．C． D．7．（2023上·河北秦皇島·九年級統(tǒng)考期中）如圖矩形中，點E是邊的中點，交對角線于點F，若的面積為2，則的面積等于（

）

A．8 B．4 C．2 D．18．（2023上·湖南岳陽·九年級岳陽市弘毅新華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點A的坐標(biāo)為，若以原點O為位似中心，相似比為，把放大，則點A的對應(yīng)點的坐標(biāo)是（

）

A．B．或C． D．或9．（2021上·湖南株洲·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，，，點E在BC邊上，，垂足為F．若，則線段EF的長為（

）．A．2 B．2.5 C．4 D．310．（2018·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，點是和兩個內(nèi)角平分線的交點，過點作分別交，于點，，已知的周長為8，，的周長為，則表示與的函數(shù)圖象大致是（

）A．B．C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2022上·浙江溫州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，若是與的比例中項，，求12．（2023上·四川成都·九年級雙流中學(xué)校考期中）如圖，在矩形中，對角線與相交于點O，E為上一點，，若E為中點，且，則的長為．

13．（2023下·九年級課時練習(xí)）如圖，不等長的兩條對角線相交于點，且將四邊形分成甲、乙、丙、丁四個三角形．若，則甲、乙、丙、丁這4個三角形中，一定相似的有．14．（2022上·九年級單元測試）如圖，已知P是邊長為5的正方形內(nèi)一點，且，于，若在射線上找一點M，使以點B，M，C為頂點的三角形一定與相似，則的值為．

15．（2023上·四川成都·九年級成都市樹德實驗中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在，，．按以下步驟作圖：①以點為圓心，適當(dāng)長為半徑作圓弧，分別交邊，于點，；②分別以點和點為圓心，大于一半的長為半徑作圓弧，在內(nèi)，兩弧交于點；③作射線交邊于點．若，則．16．（2023上·上海長寧·九年級上海市婁山中學(xué)校考期中）在每個小正方形的邊長都為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都是格點的三角形稱為格點三角形．如圖，已知是的網(wǎng)格圖形中的格點三角形，則該圖中所有與相似的格點三角形中，最大的三角形面積是．

17．（2021·黑龍江·統(tǒng)考二模）如圖，已知等腰三角形于點為邊中線，相交于點．在從減小到的過程中，點經(jīng)過的路徑長為．18．（2020上·九年級課時練習(xí)）將兩塊全等的三角板如圖放置，點O為AB中點，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，現(xiàn)將三角板A′B′C′繞點O旋轉(zhuǎn)，B′C′、A′B′與邊AC分別交于點M、N，當(dāng)CM=時，△OMN與△BCO相似．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023上·湖南衡陽·九年級校聯(lián)考期中）如圖，中，，點、分別在的邊、上，且．（1）求證：．（2）如果，，，求的長．20．（8分）（2023上·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在等邊三角形中，點，分別是邊，上的點，且，連接，交于點（1）求證：；（2）若，求的值；（3）若點P恰好落在以為直徑的圓上，求的值．21．（10分）（2023上·湖南衡陽·九年級校聯(lián)考期中）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點A、點B，直線與x軸、y軸分別交于點C、點D，與相交于點E，線段、的長是一元二次方程的兩根，，．

（1）求線段、的長；（2）求點E的坐標(biāo)；（3）在x軸上是否存在點P，使點C、點E、點Р為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；如不存在，請說明理由．22．（10分）（2021·河南洛陽·統(tǒng)考二模）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，點D、E分別在邊AC、AB上，AD＝DE＝AB，連接DE．將△ADE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為θ．（1）[問題發(fā)現(xiàn)]①當(dāng)θ＝0°時，＝；②當(dāng)θ＝180°時，＝；（2）[拓展研究]試判斷：當(dāng)0°≤θ＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；（3）[問題解決]在旋轉(zhuǎn)過程中，BE的最大值為．23．（10分）（2023上·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期中）某校社會實踐小組為了測量花叢中路燈的高度，在地面上處垂直于地面豎立了高度為的標(biāo)桿，這時地面上的點，標(biāo)桿的頂端點，路燈的頂端點正好在同一直線上，測得，將標(biāo)桿向后平移到達(dá)點處，這時地面上的點，標(biāo)桿的頂端點，路燈的頂端點正好在同一直線上，這時測得，

（1）求證：；（2）請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計算花叢中路燈的高度．24．（12分）（2023上·吉林長春·九年級統(tǒng)考期中）【教材呈現(xiàn)】下面是華師版教材九年級上冊52頁的部分內(nèi)容：我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩條直線與一組平行線相交時，所截得的線段存在一定的比例關(guān)系：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．（簡稱“平行線分線段成比例”）

【問題原型】如圖①，在矩形中，點E為邊的中點，，點P、Q分別在矩形的邊上，連結(jié)交于點M．求證：．

【結(jié)論應(yīng)用】如圖②，在【問題原型】的基礎(chǔ)上，點R在邊上（不與點Q重合）（1）若，則線段的長為；（2）當(dāng)點Q與點B重合，點R與點C重合時，如圖③，，，連結(jié)，則周長最小值為．參考答案：1．C【分析】本題考查了分式的性質(zhì)，代數(shù)式求值．熟練掌握：分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為0的整式，分式的值不變；是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，計算求解即可．解：∵，∴，故選：C．2．A【分析】此題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)三條平行線截兩條直線所對應(yīng)線段成比例，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理的應(yīng)用．解：∵，∴，即，∴，∴，故選：．3．B【分析】本題考查了黃金分割，掌握黃金分割的定義是解題關(guān)鍵．解：設(shè)為整體，的長為，則，根據(jù)黃金分割定義，得，所以選項正確，不符合題意；∵，∴，所以選項錯誤，符合題意；∵，∴，整理，得，解得，（不符合題意，舍去），∴，所以選項正確，不符合題意；，所以選項正確，不符合題意；故選：．4．C【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得出答案．解：四邊形是矩形，，，，，，在和中，，，選項C正確；與、與、與都是只有一對相等的直角，所以都不是相似三角形，故選：C．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定等知識點，熟練掌握相似三角形的判定是解題關(guān)鍵．5．B【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)與矩形性質(zhì)，求得，設(shè)的長為x，則，再根據(jù)相似多邊形性質(zhì)得出，即，求得，進(jìn)而根據(jù)矩形的面積等于矩形的面積減去2個正方形的面積，即可求解．解：，由折疊可得：，，∵矩形，∴，∴，設(shè)的長為x，則，∵矩形，∴，∵矩形與原矩形相似，∴，即，解得：（負(fù)值不符合題意，舍去）∴，∴矩形的面積為故選：B．【點撥】本題考查矩形的折疊問題，相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．D【分析】本題主要考查了相似三角形的判定：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似．先根據(jù)求出，再根據(jù)相似三角形的判定方法解答．解：∵，∴，A、添加，可用兩角法判定，故本選項不符合題意；B、添加，可用兩角法判定，故本選項不符合題意；C、添加，可用兩邊及其夾角法判定，故本選項不符合題意；D、添加，不能判定，故本選項符合題意；故選：D．7．A【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，求出，求出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能推出△AFE∽△CFB是解此題的關(guān)鍵，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方．解：∵四邊形是矩形，∴，∵點E是邊的中點，∴，∵，∴，∴．∵的面積為2，∴的面積為8故選：A．8．D【分析】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算即可．本題的關(guān)鍵是理解并能靈活運(yùn)用位似變換的性質(zhì)：“在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于或．”解：以原點O為位似中心，相似比為4：1，把放大，，點A的對應(yīng)點的坐標(biāo)是或，即或．故選：D．9．D【分析】證明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，從而可得EF．解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴，∵DF=6，∴，∴，∴AE=5，∴EF=AFAE=85=3．故選：D．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．10．A【分析】由三角形的角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證出BE=OE，CF=OF，得出△AEF的周長y與x的關(guān)系式為y=8x，求出0＜x＜4，即可得出答案．解：∵點是和兩個內(nèi)角平分線的交點，∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO，∴∠ABO=∠EOB，∠ACO=∠FOC，∴BE=OE，CF=OF，∴△AEF的周長y=AE+EF+AF=AE+OE+OF+AF=AB+AC，∵△ABC的周長為8，BC=x，∴AB+AC=8x，∴y=8x，∵AB+AC＞BC，∴y＞x，∴8x＞x，∴0＜x＜4，即y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=8x（x＜4），故選：A．【點撥】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象、角平分線的有關(guān)證明、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、三角形的周長等知識，求出y與x的關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵．11．/【分析】由，求得，是與的比例中項，解一元二次方程即可求得，解：∵，∴，∵是與的比例中項，∴，即，解得：，∴故答案為：【點撥】本題考查了比例中項和公式法解一元二次方程，熟練掌握比例中項是解決問題的關(guān)鍵12．【分析】由平行線分線段成比例易得出點F為中點，再由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出，又可求出，即說明為等邊三角形，得出，從而得出，最后根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求解即可．解：∵，∴．∵在矩形中，對角線與相交于點O，∴點O為中點，∴點F為中點．∵四邊形為矩形，∴，∴．∵，∴，∴為等邊三角形，∴．∵E為中點，∴．∵點O為中點，點F為中點，∴．故答案為：．【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理．熟練掌握上述知識是解題關(guān)鍵．13．乙和丁解：．【易錯點分析】容易誤認(rèn)為，條件中，是，是，不是兩個三角形的對應(yīng)邊成比例，所以不能判定．14．3或【分析】由于，同時減去后可得到，若以點，，為頂點的三角形與相似，那么必有：或，可據(jù)此求得的值．解：四邊形是正方形，；又，；若以點，，為頂點的三角形與相似，則：①如圖1中，，即，解得；②如圖2中，，即，解得．綜上所述，滿足條件的的值為3或．故答案為：3或．

【點撥】此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，應(yīng)注意相似三角形的對應(yīng)頂點不明確時，要分類討論，不要漏解．15．【分析】先判斷，再證明，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)即可作答．解：由題意可得：，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∵在中，，∴，解得：，∴，故答案為：．【點撥】本題考查的是角平分線的作圖，相似三角形的性質(zhì),含角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟悉角平分線的作圖步驟與相似三角形的對應(yīng)角相等是解本題的關(guān)鍵．16．4【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，相似三角形中，最大的三角形的長邊等于，畫出這個相似三角形即可解決問題．解：圖中所有與相似的格點三角形中，最大的如圖所示：

．故答案為：4．17．【分析】過點A作AEOB，且AE=OB，連接BE、CE，根據(jù)菱形的性質(zhì)證明△APE∽△DPO，再得到DP=AD，根據(jù)D為定點，P隨A運(yùn)動而運(yùn)動，從減小到的過程可知點P經(jīng)過的路程為點A運(yùn)動路程的，故可求解．解：過點A作AEOB，且AE=OB，連接BE、CE∵AEOB，AE=OB，∴四邊形AOBE是平行四邊形∵OA=OB∴四邊形AOBE是菱形∴AB⊥OE，∴O、P、C、E四點共線，∵AEOB∴∠EAP=∠PDO，∠AEP=∠DOP∴△APE∽△DPO∴∵D點是OB中點∴OD=OB=AE∴=2∴DP=AD∵D為定點，P隨A運(yùn)動而運(yùn)動，從減小到的過程∴點P經(jīng)過的路程為點A運(yùn)動路程的∵OA=6∴點A運(yùn)動路程為∴點經(jīng)過的路徑長為故答案為：．【點撥】此題主要考查弧長公式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到點P的運(yùn)動路徑與點A的運(yùn)動路徑的關(guān)系．18．或【分析】由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出OC=AB=OA=OB=5，由勾股定理求出AC=8，由全等三角形的性質(zhì)得出∠B=∠MON．△OMN與△BCO相似，分兩種情況：①當(dāng)OM=MN時，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，則AD=CD=AC=4，由勾股定理求出OD，由三角形的面積求出CE，由相似三角形的性質(zhì)得出比例式求出OM=MN=，由勾股定理求出DM，得出CM=CD﹣DM=4﹣；②當(dāng)ON=MN時，由△OMN∽△BCO，得出=，求出OM，與勾股定理求出DM，即可得出CM的長．解：∵∠ACB=90°，點O為AB中點，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，∴OC=AB=OA=OB=5，AC==8，∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠B=∠MON．若△OMN與△BCO相似，分兩種情況：①當(dāng)OM=MN時，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，如圖所示：則AD=CD=AC=4，△ABC的面積=AB?CE=AC?BC，∴OD==3，CE=，∵△OMN∽△BOC，∴，即，∴OM=MN=，∴DM=，∴CM=CD﹣DM=4﹣；②當(dāng)ON=MN時，∵△OMN∽△BCO，∴=，即，解得：OM=，∴DM=，∴CM=CD﹣DM=4﹣；綜上所述：當(dāng)CM=或時，△OMN與△BCO相似．【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識；熟練掌握勾股定理，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．19．（1）見分析；（2）3【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)．（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似即可證明．（2）利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．解：（1）證明：，，，∵∴，，∴；（2）解：由（1）得，，，，，，，．．20．（1）見分析；（2）；（3）2【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出，，求出，根據(jù)推出全等即可；（2）過點作交于，根據(jù)平行線分線段成比例定理得，則，即可得出；（3）由（1）知：，則，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，，則，、、、四點共圓，由點恰好落在以為直徑的圓上，可得，則點也落在以為直徑的圓上，連接，則，，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可得，即可得．（1）解：證明：是等邊三角形，，，，，在與中，，；（2）過點作交于，，，設(shè)，，，，，，，的值；（3）連接，由（1）知：，，，，，、、、四點共圓，點恰好落在以為直徑的圓上，，點也落在以為直徑的圓上，，，連接，則，，，，．【點撥】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，圓的有關(guān)性質(zhì)．21．（1），；（2）；（3）和【分析】（1）首先解方程求得方程的根，即可求得線段、的長；（2）根據(jù)三角函數(shù)求得的坐標(biāo)，作軸于點，根據(jù)，利用相似三角形的性質(zhì)求得和的長，即可求得的坐標(biāo)；（3）設(shè)的坐標(biāo)是，則．分成和兩種情況進(jìn)行討論即可求解．（1）解：即，則，，解得：或，又，，．（2）解：，，則的坐標(biāo)是．．∴，作軸于點，如圖，

則，，即，，則，則的坐標(biāo)是．（3）解：設(shè)的坐標(biāo)是，由，，∴，設(shè)直線的解析式是，則，解得：，則直線的解析式是；令，則，∴，∴，當(dāng)時，如圖，

則，即，解得：，則的坐標(biāo)是；當(dāng)時，如圖，

，則，解得：，則的坐標(biāo)是．總之，的坐標(biāo)是和．【點撥】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解一元二次方程，正確求得點的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．22．（1）①；②；（2）當(dāng)0°≤θ＜360°時，的大小沒有變化；證明見分析；（3）4+2．【分析】（1）①利用等腰三角形的性質(zhì)判斷出∠A=∠B，∠A=∠AED，進(jìn)而得出∠B=∠DEA，得出DE∥BC，即可得出結(jié)論；②同①的方法，即可得出結(jié)論；（2）利用兩邊成比例，夾角相等，判斷出△ADC∽△AEB，即可得出結(jié)論；（3）判斷出點E在BA的延長線上時，BE最大，再求出AE，即可得出結(jié)論．解：（1）①在Rt△ABC中，AC＝BC，∴AB＝AC，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠A，∴∠DEA＝∠B，∴DE∥BC，∴，∴，故答案為：；②如圖，當(dāng)θ＝180°時，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠DAE＝∠B，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAE，∴∠DEA＝∠