專題14解直角三角形（全章分層練習）（培優(yōu)練）-2023-2024學年九年級數(shù)學下冊全章復習與專題突破講與練（浙教版）

專題1.4解直角三角形（全章分層練習）（培優(yōu)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，在下列網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A、B、O都在格點上，則的正弦值是（

）A． B． C． D．2．（2023下·浙江杭州·九年級杭州綠城育華學校?？茧A段練習）小杰在一個高為的建筑物頂端，測得一根高出此建筑物的旗桿頂端的仰角為，旗桿與地面接觸點的俯角為，那么該旗桿的高度是（

）A． B． C． D．3．（2023下·安徽·九年級專題練習）在中，，，點D是點B關于的對稱點，連接，，E，F(xiàn)是，上兩點，作，，垂足分別為M，N，若，，則的值是（）A． B．5 C． D．4．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學校?？寄M預測）正方形ABCD的邊長為8，點E、F分別在邊AD、BC上，將正方形沿EF折疊，使點A落在處，點B落在處，交BC于G．下列結(jié)論錯誤的是（）A．當為CD中點時，則＝B．當時，則＝C．連接，則D．當（點不與C、D重合）在CD上移動時，周長隨著位置變化而變化5．（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）綜合與實踐課上，李老師讓同學們以矩形紙片的折疊為主題開展數(shù)學活動．如圖，將矩形紙片對折，折痕為，再把點A折疊在折痕上，其對應點為，折痕為，連接，若，，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，點，點從出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿折線運動了秒，直線上有一動點，軸上有一動點，當?shù)暮妥钚r，點的坐標為（

）A． B． C． D．7．（2023上·吉林長春·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點、、、均在格點上，與相交于點，則的余弦值為（

）

A． B． C． D．8．（2023·安徽·統(tǒng)考模擬預測）如圖，為半圓O的直徑，點O為圓心，點C是弧上的一點，沿為折痕折疊交于點M，連接，若點M為的黃金分割點（），則的值為（）

A． B． C． D．9．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平行四邊形中，，已知點在邊上，以1m/s的速度從點向點運動，點在邊上，以的速度從點向點運動．若點，同時出發(fā)，當點到達點時，點恰好到達點處，此時兩點都停止運動．圖2是的面積與點的運動時間之間的函數(shù)關系圖象（點為圖象的最高點），則平行四邊形的面積為（

）

A． B． C． D．10．（2022·湖北咸寧·?？寄M預測）如圖，菱形邊在x軸的正半軸上，且點B的縱坐標為4，點P從點O開始向點A運動，至點A停止，過P點與x軸垂直的直線與菱形另一邊交點為M，記，的面積為S，且S與x的函數(shù)關系圖象如右圖，則的值為（

）

A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·廣東深圳·深圳外國語學校校考模擬預測）用高為的測角儀器測得電線桿的頂點的仰角為，測角儀到電線桿的距離為，則電線桿的高度為．12．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，將反比例函數(shù)的圖像繞著坐標原點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的圖像與軸交于，若，則．

13．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預測）如圖，一同學進行單擺運動實驗，從A點出發(fā)，在右側(cè)達到最高點B．實驗過程中在O點正下方的P處有一個釘子．已知在O點測得起始位置A的俯角是，B點的俯角是，B點測得釘子P的仰角是，且長為4，則擺繩長為．14．（2023上·江蘇南通·九年級海南中學?？茧A段練習）如圖，點為矩形的對角線上一動點，點為的中點，連接，，若，，則的最小值為．15．（2023上·上海寶山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，E是邊的中點，將沿直線翻折后，點B落在點M處，連接并延長與邊交于點N，那么的值為．16．（2023上·山東威海·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點A，B是第一象限內(nèi)雙曲線上的點（點B在點A的左側(cè)），若B點的縱坐標為1，為等邊三角形，則k的值是．17．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考一模）如圖，正方形的對角線相交于點O，點E在邊上，點F在的延長線上，，交于點G，，，則．

18．（2023上·江蘇淮安·九年級?？计谥校┤鐖D，正方形的邊長為，對角線，交于點O，點E在邊上，連接，F(xiàn)為上一點，若，，則的長為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（遼寧省部分學校20222023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）計算下列的三角函數(shù)值（寫出計算過程，保留計算結(jié)果）：．20．（8分）（2022·湖北荊門·統(tǒng)考一模）在某海域內(nèi)有三個港口A、D、C．港口C在港口A北偏東60°方向上，港口D在港口A北偏西60°方向上．一艘船以每小時25海里的速度沿北偏東30°的方向駛離A港口3小時后到達B點位置處，測得港口C在B處的南偏東75°方向上，此時發(fā)現(xiàn)船艙漏水，應立即向最近的港口停靠．（1）試判斷此時哪個港口離B處最近？說明理由，并求出最近距離；（2）若海水以每小時48噸的速度滲入船內(nèi)，當船艙滲入的海水超過75噸時，船將沉入海中．已知船上的抽水機每小時可將8噸的海水排出船外，問此船在B處至少應以怎樣的航行速度駛向最近的港口停靠，才能保證船在抵達港口前不會沉沒？（計算結(jié)果保留根號）（10分）（2022·四川達州·四川省渠縣中學校考一模）（1）（2）若關于x的分式方程有增根，試求代數(shù)式的值．22．（10分）（2022下·廣東廣州·九年級廣州六中校考階段練習）如圖．△ABC中．AB=BC=．AC=4．D為AC的中點．E、F分別為AD、CD上的動點．過E作PE⊥AD．且DE+2PE=2．連接PF．（1）求sin∠C；（2）連接AP．①求證AP∥BC；②請直接寫出PF+CF的最大值．23．（10分）（2021·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過點和點．（1）求這條拋物線所對應的函數(shù)表達式；（2）點為該拋物線上一點（不與點重合），直線將的面積分成2：1兩部分，求點的坐標；（3）點從點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿軸移動，運動時間為秒，當時，求的值．24．（12分）（2022上·湖南永州·九年級?？茧A段練習）已知：中，，D為直線上一點．（1）如圖1，于點H，若，求證：．（2）如圖2，，點D在延長線上，點E在上且，若，，求的值．（3）如圖3，D在延長線上，E為上一點，且滿足：，，若，，求的長．參考答案：1．C【分析】利用勾股定理求出AB、AO、BO的長，再由S△ABO=AB?h=AO?BO?sin∠AOB可得答案．解：由題意可知，AB=2，AO=，BO=，∵S△ABO=AB?h=AO?BO?sin∠AOB，∴×2×2=×2×2×sin∠AOB，∴sin∠AOB=，故選：C．【點撥】本題考查了解直角三角形，掌握三角形的面積公式是解題的關鍵．2．C【分析】過A作于E，在中，已知了的長，可利用俯角的正切函數(shù)求出的值；進而在中，利用仰角的正切函數(shù)求出的長；從而可得答案．解：如圖，過A作于E，則四邊形是矩形，．∵在中，，，∴，∵在中，，∴，∴．即旗桿的高度為．故選C．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，首先構(gòu)造直角三角形，再運用三角函數(shù)的定義解題，是中考常見題型，解題的關鍵是作出高線構(gòu)造直角三角形．3．A【分析】作出相應的圖形，由軸對稱的性質(zhì)可得，，，從而可求得，由勾股定理求得，再由平行線的性質(zhì)可得，可判定，則有，，再由線段的比即可求解．解：如圖，

∵點D是點B關于的對稱點，，∴，，，∵，∴，即，解得：，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，，∴，，∴，，∵，∴，即，∴，∴，即．故選：A．【點撥】本題主要考查解直角三角形，軸對稱的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是結(jié)合圖形分析清楚各邊的關系．4．D【分析】當為CD中點時，設則，由勾股定理列方程求解，進一步求得的值，進而可判斷A的正誤；當三邊之比為3：4：5時，設，，，由可求a的值，進一步求得的值，進而可判斷B的正誤；過點E作EM⊥BC，垂足為M，連接交EM，EF于點N，Q，證明，進而可判斷C的正誤；D．過點A作，垂足為H，連接，AG，先證，可得，，再證，可得，由此證得周長＝16，進而可判斷D的正誤．解：∵為CD中點，正方形ABCD的邊長為8，∴，由折疊的性質(zhì)，設則，在中，由勾股定理得，即42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴AE＝5，DE＝3，∴，故A正確；當三邊之比為3：4：5時，設，，，則，∵，∴，解得：，∴，，故B正確；如圖，過點E作EM⊥BC，垂足為M，連接交EM，EF于點N，Q，∴，∴，由翻折可知：EF垂直平分，∴，∴，∴，在和中，，，∴，故C正確；過點A作，垂足為H，連接，AG，則，由折疊的性質(zhì)可知，∴∵∴，∵∴，∴在和中∴，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，∴周長∴當在CD上移動時，周長不變，故D錯誤．故選D．【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．5．A【分析】先證明，，，，，可得，，再利用正切的定義求解即可.解：∵矩形紙片對折，折痕為，，，∴，，，，由折疊可得：，∴，∴，∴.故選A【點撥】本題考查的是軸對稱的性質(zhì),矩形的性質(zhì),勾股定理的應用,求解銳角的正切,熟記軸對稱的性質(zhì)是解本題的關鍵.6．B【分析】作點關于對稱的點，作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，則點即為所求，根據(jù)題意求得的坐標，進而得出的坐標，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求得點的坐標，待定系數(shù)法求解析式，進而即可求解．解：如圖所示，作點關于對稱的點，作點關于軸的對稱點，當，在直線上時，的和最小時∵點，點從出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿折線運動了秒，∴∴∵∴的縱坐標為∴∴，∵點關于對稱的點，∴即設直線的解析式為，∴解得：∴直線的解析式為當時，，∴點的坐標為．故選：B．【點撥】本題考查了軸對稱求線段和最值問題，解直角三角形，求得點的坐標是解題的關鍵．7．C【分析】作于E，由可證，則可得，由此可求出的長，再在中根據(jù)面積法求出的長，再根據(jù)勾股定理求出的長，即可求出的余弦值，由于，因此可得的余弦值．解：

作于E，，，，，．中，．，，解得，．，．故選：C【點撥】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、用面積法求直角三角形斜邊上的高、勾股定理及余弦的定義．熟練掌握以上知識并且正確的作出輔助線是解題的關鍵．8．A【分析】過點M作，垂足為D，延長交半于點，連接，，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：，，從而可得，再根據(jù)黃金分割的定義可得，然后利用直徑所對的圓周角是直角可得，從而證明A字模型相似三角形，進而利用相似三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補以及平角定義定義可得：，從而可得，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算，即可解答．解：過點M作，垂足為D，延長交半于點，連接，，

由折疊得：，，∴，∵點M為的黃金分割點（），∴，∵為半圓O的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是半的內(nèi)接四邊形，∴，∵，，∴，∴，在中，．故選：A．【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，黃金分割，解直角三角形，翻折變換（折疊問題），圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．9．C【分析】根據(jù)題意可得：，，設，則，作交的延長線于點，作交的延長線于點，則可得，，從而得到，根據(jù)的最大值為3，求出的值，從而得到，最后由平行四邊形的面積公式進行計算即可得到答案．解：根據(jù)題意可得：，，設，則，作交的延長線于點，作交的延長線于點，

，，，，，，由圖象可得的最大值為3，，解得：或（舍去），，，平行四邊形的面積為：，故選：C．【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，添加適當?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形，是解題的關鍵．10．A【分析】根據(jù)題意得，，，，，在中，，，，利用勾股定理求得，據(jù)此求解即可．解：作于點D，作于點E，

根據(jù)題意得，，，，，∴，，在中，，，，∴，解得，即，，∴，故選：A．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．11．【分析】過點作于點，則，，再由銳角三角函數(shù)定義求出，即可得出答案．解：如下圖：過點作于點，則，，在中，，∴，∴，即電線桿的高度為，故答案為：．【點撥】本題主要考查了直角三角形的應用，解題關鍵是由銳角三角函數(shù)定義正確求出．12．【分析】作出點A旋轉(zhuǎn)前的對應點B，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，過點B作軸于點C，根據(jù)得出，根據(jù)勾股定理求出，即可得出點B的坐標，再用待定系數(shù)法求解即可．解：設點A旋轉(zhuǎn)前的對應點為點B，則，∵，∴，∴，過點B作軸于點C，∵，∴，則，根據(jù)勾股定理可得：，則，解得：，負值舍去，∴，∴，把代入得：，故答案為：．

【點撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，求反比例函數(shù)解析式，解題的關鍵是掌握旋轉(zhuǎn)前后對應點到旋轉(zhuǎn)中心連線相等，所成的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，勾股定理，以及用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達式的方法．13．【分析】如圖，過作于，過作與，由題意知，，，，，，解得，，根據(jù)，即，求解的值，根據(jù)求解的值，進而可得的值．解：如圖，過作于，過作與，由題意知，，，，∴，，∴，，∵，∴，解得，∴，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用．解題的關鍵在于明確線段之間的數(shù)量關系．14．【分析】作點關于的對稱點，交于點，連接交于點，則的最小值為的長度；然后求出和的長度，再利用勾股定理即可求出答案．解：作點關于的對稱點，交于點，連接交于點，則的最小值為的長度，∵是矩形的對角線，∴，，在直角中，，，∴，∴，由對稱的性質(zhì)，得，，∴，∴∵，，∴是等邊三角形，∴，∴是直角三角形，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確的找到點使得有最小值．15．【分析】連接，正方形和翻折的性質(zhì)，得到，，設，等邊對等角結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，求出，得到，進而得到，得到四邊形為平行四邊形，得到，求出，勾股定理求出的長，根據(jù)同角的余角相等，得到，結(jié)合勾股定理求出的長，進而得到的長，即可得出結(jié)果．解：∵四邊形為正方形，為的中點，∴，，，，連接，如圖，∵翻折，∴，∴，∴，∵，∴，即：，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，設，則：，，∴，在中，；∵，∴，∴，即：，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：．【點撥】本題考查正方形中的折疊問題，勾股定理，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)．本題的綜合性強，難度較大，屬于壓軸題．根據(jù)題意，正確的畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解，是解題的關鍵．16．/【分析】作，交的延長線于N，作軸于H，軸于Q，設，通過證得三角形相似求得N的坐標，進一步得到A的坐標，代入雙曲線，得到關于a的方程，解方程即可求得a的值，從而求得k的值．解：作，交的延長線于N，作軸于H，軸于Q，設，∴，∵為等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴∴，∵，∴，∴A是的中點，∴，∵點A、B是第一象限內(nèi)雙曲線上的點（點B在點A的左側(cè)），∴解得或，∵，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形相似的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，表示出A的坐標是解題的關鍵．17．【分析】過點E作于點H，則是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的三邊關系及，可求得；又，可得出各個邊的長度；證明，得到，再證明，則，所以是等腰直角三角形，即可得出結(jié)果．解：如圖，過點E作于點H，則是等腰直角三角形，

設，則，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，∴，，，，，是等腰直角三角形，．故答案為：．【點撥】本題主要考查正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)的定義等內(nèi)容，證得的正切值及是等腰直角三角形是解題的關鍵．18．【分析】在中，根據(jù)，可得出，又根據(jù)正方形的邊長為6，可得出，即可求得，，再根據(jù)，可得出，從而證得，進而得出，代入數(shù)值進行即可求解．解：設與相交于點H，如圖所示：四邊形為正方形，，，在中，，，，，，根據(jù)勾股定理可得：，，又，，，，，即，，故答案為：．【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，以及正方形的性質(zhì)，解題的關鍵是能證明三角形的相似從而得出對應線段成比例進而解決問題．19．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行計算即可求解．解：【點撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．20．（1）港口C離B點位置最近，最近距離為海里，理由見分析；（2）每小時海里【分析】（1）作輔助線連接AC、AD、BC、BD，過B作BH⊥AC于點H，將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，分別求得BA、BC、BD的長，比較得出最近的港口；（2）根據(jù)題意“（每小時滲入船內(nèi)的海水總量每小時排出的海水總量）×船航行的時間≤75”列出不等關系式，然后再解不等式即可求得結(jié)果．（1）解：如圖所示，連接BD，過B作BH⊥AC于點H．由已知得∠BAD=90°，∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=3×25=75．在Rt△ABH中，∵∠BAH=30°，∴BH=．∵∠ABH=60°，∴∠CBH=45°．在等腰Rt△CBH中，BC=，∴AB＞BC．又∵△BAD是直角三角形，∴BD＞AB．

綜上可得，BD＞AB＞BC．∴港口C離B點位置最近，最近距離為海里．（2）解：此船應立即轉(zhuǎn)向南偏東75°方向上直接駛向港口C．設由B駛向港口C船的速度為每小時x海里，則依題意得：，解得：．答：此船應轉(zhuǎn)向沿南偏東75°的方向向港口C航行，且航行速度至少為每小時海里，才能保證船在抵達港口前不會沉沒．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用即方向角問題，根據(jù)題意準確畫出示意圖是解這類題的前提和保障，可通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，使問題解決．21．（1）；（2）0【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、分母有理化和特殊角的三角函數(shù)值計算即可；（1）由分式方程有增根，得到x2=0或x+2=0，即x=2或x=2，分別代入整式方程計算即可求出m的值；再對分式先化簡，再把合適的m值代入化簡后的式子進行計算即可解答．解：（1）=++1+=+1+1+=；（2）分式方程去分母得：x+2+mx=x2，由分式方程有增根，得到x2=0或x+2=0，即x=2或x=2，把x=2代入整式方程得：m=2；把x=2代入整式方程得：m=2；，∵m0，m1，m2，∴當m=2時，原式=．【點撥】本題考查了二次根式的運算，特殊角的三角函數(shù)值，分式方程的增根，分式的化簡求值．注意：增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．22．（1）；（2）①見詳解；②【分析】（1）連接BD，由三線合一得到，由勾股定理求出，進而利用銳角三角函數(shù)的定義求解；（2）①根據(jù)，設，得到，結(jié)合（1）得到，進而得到，利銳角三角函數(shù)的定義得到，易得，最后利用平行線的判定求解；②先用勾股定理求出，再利用E、F分別為AD、CD上的動點，使為中點得到，，進而求出，，即可求解它的最大值．（1）解：連接BD，如下圖，∵，∴是等腰三角形．∵D為AC的中點，∴．∵，∴，∴，∴；（2）解：①∵，設，則，∴．∵由（1）得，，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴；②由①，，PE⊥AD，∴．∵E、F分別為AD、CD上的動點，使為中點，則，，∴．∵，且，x不能小于0，∴，解得，∴，∴當時，有最大值，最大值是．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，平行線的判定和一次函數(shù)最大值的求法．理解銳角三角函數(shù)的定義是解答關鍵．23．（1）；（2）點（6，8）；（3）當點從點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿軸正方向移動時，秒；沿CO方向在軸移動時，秒．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法