2024-2025學年高中數(shù)學第一章數(shù)列1.1數(shù)列的概念教師用書教案北師大版必修5

PAGE第一章數(shù)列§1數(shù)列1.1數(shù)列的概念學習目標1.了解數(shù)列、通項公式的概念,能依據(jù)通項公式確定數(shù)列中的項(數(shù)學抽象)2.能依據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式(邏輯推理)必備學問·自主學習導思1.{an}與an有什么區(qū)分?2.1,2,3,4與1,2,3,4,…是否是相同的數(shù)列?1.數(shù)列的概念(1)數(shù)列:一般地,按肯定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列.(2)項:數(shù)列中的每一個數(shù)叫作這個數(shù)列的項.(3)數(shù)列的表示:數(shù)列的一般形式可以寫成a1,a2,a3,…,an,…,簡記為:{an}.數(shù)列的第1項a1也稱首項,an是數(shù)列的第n項,也叫數(shù)列的通項.{an}與an有什么區(qū)分?提示:{an}與an是不同的概念.{an}表示數(shù)列a1,a2,a3,…,an…,而an僅表示數(shù)列{an}的第n項.2.數(shù)列的分類(1)項數(shù)有限的數(shù)列叫作有窮數(shù)列.(2)項數(shù)無限的數(shù)列叫作無窮數(shù)列.1,2,3,4與1,2,3,4,…是否是相同的數(shù)列?提示:兩數(shù)列不是相同的數(shù)列.1,2,3,4是有窮數(shù)列,1,2,3,4,…是無窮數(shù)列.3.數(shù)列的通項公式假如數(shù)列{an}的第n項an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個式子表示成an=f(n),那么這個式子叫作數(shù)列{an}的通項公式.4.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列可以看作是定義域為正整數(shù)集N+(或它的有限子集{1,2,…,n})的函數(shù),當自變量從小到大依次取值時,該函數(shù)對應的一列函數(shù)值就是這個數(shù)列.數(shù)列和函數(shù)值域有什么區(qū)分?提示:數(shù)列是一種特別的函數(shù),并且數(shù)列有序,函數(shù)值域是集合,具有無序性.1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”).(1)數(shù)列a1,a2,a3,…,an可以表示為{a1,a2,a3,…,an}. ()(2)數(shù)列看作函數(shù)時,其定義域可以是正整數(shù)集的隨意子集. ()(3)數(shù)列的通項公式是唯一的. ()提示:(1)×.數(shù)列中的項是有次序的,集合中的元素是無序的.(2)×.數(shù)列看作函數(shù)時,其定義域可以是正整數(shù)集的子集,但必需是從1起先,從小到大的正整數(shù).(3)×.不肯定,如數(shù)列1,0,1,0,…的通項公式可以是an=QUOTE也可以是an=QUOTE或an=QUOTE等.2.下列說法中,正確的是 ()A.數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}B.數(shù)列1,0,-1,-2與數(shù)列-2,-1,0,1是相同的數(shù)列C.數(shù)列中的項可以相等D.數(shù)列a,b,c和數(shù)列c,b,a肯定不是同一數(shù)列【解析】選C.{1,3,5,7}不表示數(shù)列,故A錯誤;數(shù)列具有有序性,故B錯誤;D中,當a=c時,數(shù)列a,b,c和數(shù)列c,b,a表示同一數(shù)列,故D錯誤;數(shù)列中的項可以相等,故C正確.3.(教材二次開發(fā):練習改編)數(shù)列2,3,4,5,…的一個通項公式為 ()A.an=n B.an=n+1C.an=n+2 D.an=2n【解析】選B.這個數(shù)列的前4項都比序號大1,所以它的一個通項公式為an=n+1.關(guān)鍵實力·合作學習類型一數(shù)列的有關(guān)概念(數(shù)學抽象)1.下列說法正確的是 ()A.數(shù)列1,2,3,4,5,6與數(shù)列1,2,5,6,3,4是同一個數(shù)列B.數(shù)列1,2,3,4,5,6可以表示為QUOTEC.0,2,4,6,8,…,2n是無窮數(shù)列D.同一個數(shù)在一個數(shù)列中可以重復出現(xiàn)2.在數(shù)列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x等于 ()A.11 B.12 C.13 3.下列說法正確的是 ()A.1,4,2,QUOTE,QUOTE不是數(shù)列B.數(shù)列QUOTE的第k項為1+QUOTEC.-1,1,3,5,…是數(shù)列D.數(shù)列0,2,4,6,8,…可記為{2n}【解析】1.選D.兩個數(shù)列只有元素相同,排列依次也相同時,才是同一個數(shù)列,故A不正確;數(shù)列與集合不同,數(shù)列不能表示成集合的形式,故B不正確;當n確定后,數(shù)列0,2,4,6,8,…,2n的項數(shù)就確定了,所以該數(shù)列是有窮數(shù)列,故C錯誤;依據(jù)數(shù)列定義知D正確.2.選C.由前6項可知:從第3個數(shù)起,每一個數(shù)都是它前面兩個數(shù)的和.所以x=13.3.選C.A中的1,4,2,QUOTE,QUOTE是數(shù)列;B中,數(shù)列的第k項為1+QUOTE;D中,數(shù)列應記為{2n-2},所以D不正確;很明顯C正確.數(shù)列概念的三個留意點(1)數(shù)列{an}表示數(shù)列a1,a2,a3,…,an,…,不是表示一個集合,與集合表示有本質(zhì)的區(qū)分.(2)從數(shù)列的定義可以看出,假如組成數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同,那么它們就是不同的數(shù)列;在定義中,并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必需不同,因此,同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn).(3)數(shù)列中各項的次序揭示了數(shù)列的規(guī)律性,是理解、把握數(shù)列的關(guān)鍵.【補償訓練】下列說法正確的是 ()A.數(shù)列3,5,7與數(shù)列7,5,3是相同數(shù)列B.數(shù)列2,3,4,4可以記為{2,3,4}C.數(shù)列1,QUOTE,QUOTE,…,QUOTE,…可以記為QUOTED.數(shù)列{2n+1}的第5項是10【解析】選C.數(shù)列是有序的,選項A錯;數(shù)列與數(shù)集是兩個不同的概念,選項B錯;對于D,當n=5時,2×5+1=11,選項D錯,故C正確.類型二通項公式的應用(邏輯推理)角度1由通項公式寫出數(shù)列的項

【典例】依據(jù)下面數(shù)列{an}的通項公式,寫出它的前5項.(1)an=QUOTE;(2)an=(-1)n·QUOTE.【思路導引】把數(shù)列的通項公式中的序號n用1,2,3,4,5代替就可以求出數(shù)列的相應項.【解析】(1)因為an=QUOTE,所以a1=QUOTE=0,a2=QUOTE=QUOTE,a3=QUOTE=QUOTE=QUOTE,a4=QUOTE=QUOTE,a5=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(2)因為an=(-1)n·QUOTE,所以a1=(-1)1·QUOTE=0,a2=(-1)2·QUOTE=QUOTE,a3=(-1)3·QUOTE=-1,a4=(-1)4·QUOTE=QUOTE,a5=(-1)5·QUOTE=-QUOTE=-QUOTE.角度2推斷一個數(shù)是否是數(shù)列中的項

【典例】已知數(shù)列{an}的通項公式是an=QUOTE.試推斷QUOTE和QUOTE是否是該數(shù)列中的項?若是,求出它是第幾項;若不是,說明理由.【思路導引】某一個數(shù)是數(shù)列中的項,則必對應通項公式中的一個正整數(shù)n.【解析】令QUOTE=QUOTE,得n2=9,所以n=3(n=-3舍去),故QUOTE是該數(shù)列中的項,并且是第3項;令QUOTE=QUOTE,得n2=QUOTE,所以n=±QUOTE,由于QUOTE與-QUOTE都不是正整數(shù),因此QUOTE不是數(shù)列中的項.已知:an=QUOTE,(1)求a3.(2)若an=QUOTE,求n.【解析】(1)將n=3代入an=QUOTE,得a3=QUOTE=QUOTE.(2)將an=QUOTE代入an=QUOTE,得QUOTE=QUOTE,解得n=8.1.利用數(shù)列的通項公式求某項的方法數(shù)列的通項公式給出了第n項an與它的位置序號n之間的關(guān)系,只要用序號代替公式中的n,就可以求出數(shù)列的相應項.2.推斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項的方法先假定它是數(shù)列中的第n項,然后列出關(guān)于n的方程.若方程解為正整數(shù),則是數(shù)列的一項;若方程無解或解不是正整數(shù),則不是該數(shù)列的一項.1.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=n2+2,則其第3,4項分別是 ()A.11,3B.11,15C.11,18D.13,18【解析】選C.a3=32+2=11,a4=42+2=18.2.已知數(shù)列1,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…,QUOTE,…,則3QUOTE是它的 ()A.第22項 B.第23項C.第24項 D.第28項【解析】選B.令QUOTE=3QUOTE=QUOTE,即2n-1=45,解得n=23.3.(2024·玉溪高一檢測)已知數(shù)列QUOTE滿意a1=1,an+1=-QUOTE,n∈N*,則a2019=.

【解析】依據(jù)題干表達式得到a2=-QUOTE=-QUOTE,a3=-QUOTE=-2,a4=-QUOTE=1,a5=-QUOTE=-QUOTE,a6=-QUOTE=-2,a7=-QUOTE=1.所以數(shù)列具有周期性,周期為3,又2019÷3=673.故得到a2019=-2.答案:-2類型三求通項公式(數(shù)學抽象)角度1視察法求通項公式

【典例】把1,3,6,10,15,21這些數(shù)叫作三角形數(shù),這是因為這些數(shù)目的點可以排成一個正三角形(如圖所示),則第七個三角形數(shù)是 ()A.27 B.28 C.29 【解析】選B.視察三角形數(shù)的增長規(guī)律,可以發(fā)覺每一項比它的前一項多的點數(shù)正好是本身的序號,所以依據(jù)這個規(guī)律計算即可,依據(jù)三角形數(shù)的增長規(guī)律可知第七個三角形數(shù)是1+2+3+4+5+6+7=28.如圖所示的是一系列有機物的結(jié)構(gòu)簡圖,圖中的“小黑點”表示原子,兩點之間的“短線”表示化學鍵,按圖中結(jié)構(gòu),第n個圖有化學鍵 ()A.6n個 B.(4n+2)個C.(5n-1)個 D.(5n+1)個【解析】選D.由題中圖形知,各圖中“短線”個數(shù)依次為6,6+5,6+5+5,…若把6看作1+5,則上述數(shù)列為1+5,1+2×5,1+3×5,…于是第n個圖形有(5n+1)個化學鍵.角度2歸納法求通項公式

【典例】依據(jù)數(shù)列的前幾項,寫出數(shù)列的一個通項公式.(1)QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…(2)QUOTE,2,QUOTE,8,QUOTE,…(3)-1,2,-3,4,…(4)2,22,222,2222,…【思路導引】視察、分析、歸納各個數(shù)列中前幾項與其序號之間的關(guān)系,把這個規(guī)律性的關(guān)系用通項公式表示出來.【解析】(1)分子均為偶數(shù),分母分別為1×3,3×5,5×7,7×9,…是兩個相鄰奇數(shù)的乘積.故an=QUOTE.(2)將分母統(tǒng)一成2,則數(shù)列變?yōu)镼UOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…,其各項的分子為n2,所以an=QUOTE.(3)該數(shù)列的前4項的肯定值與序號相同,且奇數(shù)項為負,偶數(shù)項為正,故an=(-1)n·n.(4)數(shù)列各項可化為:QUOTE×9,QUOTE×99,QUOTE×999,…所以通項公式為an=QUOTE(10n-1).由數(shù)列的前幾項求通項公式的思路(1)先統(tǒng)一項的結(jié)構(gòu),如都化成分數(shù)、根式等,然后通過視察、分析、聯(lián)想、比較,去發(fā)覺項與序號之間的關(guān)系.(2)假如關(guān)系不明顯,可將各項同時加上或減去一個數(shù),或分解、還原等,將規(guī)律呈現(xiàn),便于找通項公式.(3)要借助一些基本數(shù)列的通項,如正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列等.(4)符號用(-1)n或(-1)n+1來調(diào)整.(5)分式的分子、分母分別找通項,還要充分借助分子、分母的關(guān)系.(6)對于周期出現(xiàn)的數(shù)列,可考慮拆成幾個簡潔數(shù)列和的形式,或者利用周期函數(shù),如三角函數(shù)等求通項.1.若數(shù)列{an}的前4項分別是QUOTE,-QUOTE,QUOTE,-QUOTE,則此數(shù)列的一個通項公式為an=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因為數(shù)列各項正、負相間,且奇數(shù)項為正,偶數(shù)項為負,所以可以用(-1)n+1限制,又各項的分母比數(shù)列的該項的項數(shù)大1,所以an=QUOTE.2.若數(shù)列{an}的通項公式是an=3-2n,則a2n=,QUOTE=.

【解析】因為an=3-2n,所以a2n=3-22n=3-4n,QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:3-4nQUOTE3.(2024·臨川高一檢測)在數(shù)列QUOTE中,若a1=1,且對隨意的n∈N*都有an+1=an+n+1,則數(shù)列QUOTE的通項公式an=.

【解析】因為an+1=an+n+1,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=QUOTE,(n≥2),因為a1=1=QUOTE,所以an=QUOTE.答案:QUOTE課堂檢測·素養(yǎng)達標1.將正整數(shù)的前5個數(shù)排列如下:①1,2,3,4,5; ②5,4,3,2,1;③2,1,5,3,4; ④4,1,5,3,2.那么可以稱為數(shù)列的有 ()A.① B.①②C.①②③ D.①②③④【解析】選D.數(shù)列是按“肯定依次”排列著的一列數(shù).2.下面有三種說法:①假如已知一個數(shù)列{an}滿意an+2=an+an+1,a1=1,那么可以寫出這個數(shù)列的任何一項;②數(shù)列QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…的通項公式是an=QUOTE;③數(shù)列1,-1,1,-1,…與數(shù)列-1,1,-1,1,…是同一數(shù)列.其中正確說法的個數(shù)是 ()A.1 B.2 C.3 【解析】選D.①錯誤,已知an+2=an+an+1,a1=1無法寫出a2;②錯誤,an=QUOTE;③錯誤,兩數(shù)列是不同的數(shù)列.3.數(shù)列0.8,0.98,0.998,0.9998…的一個通項公式是an=.

【解析】0.8=1-0.2=1-QUOTE,0.98=1-0.02=1-QUOTE,0.998=1-0.002=1-QUOTE,0.9998=1-0.0002=1-QUOTE,…歸納可得an=1-QUOTE.答案:1-QUOTE4.數(shù)列QUOTE,QUOTE,QUOTE,1,QUOTE,QUOTE,…的一個通項公式為an=.

【解析】將原數(shù)列變形為QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…,所以an=QUOTE.答案:QUOTE5.(教材二次開發(fā):練習改編)視察下面數(shù)列的特點,用適當?shù)臄?shù)填空,并寫出每個數(shù)列的一個通項公式:(1)QUOTE,QU