2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率3.2.3.1互斥事件課時素養(yǎng)評價含解析北師大版必修3

PAGE課時素養(yǎng)評價二十一互斥事件(20分鐘·35分)1.從1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個數(shù)字中任取兩個數(shù),分別有下列事務(wù):①恰有一個是奇數(shù)和恰有一個是偶數(shù);②至少有一個是奇數(shù)和兩個數(shù)都是奇數(shù);③至少有一個是奇數(shù)和兩個數(shù)都是偶數(shù);④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù).其中,為互斥事務(wù)的是 ()A.① B.②④ C.③ D.①③【解析】選C.由互斥事務(wù)的定義知,只有③的兩個事務(wù)不會同時發(fā)生.2.某城市2024年的空氣質(zhì)量狀況如表所示:污染指數(shù)T3060100110130140概率P其中污染指數(shù)T≤50時,空氣質(zhì)量為優(yōu);50<T≤100時,空氣質(zhì)量為良;100<T≤150時,空氣質(zhì)量為稍微污染.該城市2024年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.依據(jù)題意,空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.3.把紅、黑、黃、白4球隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人,每人分得1個球,事務(wù)“甲分得紅球”與事務(wù)“乙分得紅球”是 ()A.對立事務(wù)B.不行能事務(wù)C.互斥但不對立事務(wù)D.以上答案都不對【解析】選C.因為兩個事務(wù)不能同時發(fā)生,但可能同時不發(fā)生,所以是互斥事務(wù),不是對立事務(wù).4.給出事務(wù)A與B的關(guān)系示意圖,如圖所示,則 ()A.A?B B.A?BC.A與B互斥 D.A與B對立【解析】選C.明顯事務(wù)A與B不能同時發(fā)生,但又不肯定非要發(fā)生一個,有可能都不發(fā)生,故A與B互斥,不是對立事務(wù).5.從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個,假如其質(zhì)量小于4.8g的概率是0.3,質(zhì)量不小于4.85g的概率是0.32,那么質(zhì)量在[4.8,4.85)g范圍內(nèi)的概率是______.

【解析】設(shè)事務(wù)A=“質(zhì)量小于4.8g的羽毛球”,B=“質(zhì)量在[4.8,4.85)g范圍內(nèi)的羽毛球”,C=“質(zhì)量不小于4.85g的羽毛球”.則A,B,C互斥,且A+B+C=Ω,所以P(Ω)=P(A+B+C),即1=0.3+P(B)+0.32,所以P(B)=0.38.答案:0.386.黃種人群中各種血型的人所占的比例見下表:血型ABABO該血型的人所占的比例%2829835已知同種血型的人可以相互輸血,O型血可以給任一種血型的人輸血,任何人的血都可以輸給AB型血的人,其他不同血型的人不能相互輸血,李明是B型血,若他因病須要輸血,問:(1)任找一個人,其血可以輸給李明的概率是多少?(2)任找一個人,其血不能輸給李明的概率是多少?【解析】對任一人,其血型為A,B,AB,O型血的事務(wù)分別記為A′,B′,C′,D′,它們是互斥的.由已知,有P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35.(1)因為B,O型血可以輸給B型血的人,故“可以輸給B型血的人”為事務(wù)B′+D′,依據(jù)概率的加法公式,得P(B′+D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.(2)由于A,AB型血不能輸給B型血的人,故“不能輸給B型血的人”為事務(wù)A′+C′,且P(A′+C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.(30分鐘·60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.拋擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子,記事務(wù)A為“落地時向上的點數(shù)是奇數(shù)”,事務(wù)B為“落地時向上的點數(shù)是偶數(shù)”,事務(wù)C為“落地時向上的點數(shù)是2的倍數(shù)”,事務(wù)D為“落地時向上的點數(shù)是2或4”,則下列每對事務(wù)是互斥事務(wù)但不是對立事務(wù)的是 ()A.A與B B.B與CC.A與D D.B與D【解析】選C.A與D互斥,但不對立.2.圍棋盒子中有多粒黑子和多粒白子,已知從中取出2粒都是黑子的概率為QUOTE,從中取出2粒都是白子的概率是QUOTE.那么,現(xiàn)從中隨意取出2粒恰好是同一色的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】選C.“2粒恰好是同一色”包含兩個互斥事務(wù):“2粒都是黑子”和“2粒都是白子”,所以所求概率P=QUOTE+QUOTE=QUOTE.3.據(jù)某醫(yī)療機構(gòu)調(diào)查,某地區(qū)居民血型分布為:O型50%,A型15%,B型30%,AB型5%.現(xiàn)有一血型為A的病人須要輸血,若在該地區(qū)任選一人,那么能為病人輸血的概率約為 ()A.65% B.45% C.20% D.15%【解析】選A.A型或者O型可為A型病人輸血,所以所求概率約為50%+15%=65%.4.在一次隨機試驗中,彼此互斥的事務(wù)A,B,C,D的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3,則下列說法正確的是 ()A.A+B與C是互斥事務(wù),也是對立事務(wù)B.B+C與D是互斥事務(wù),也是對立事務(wù)C.A+C與B+D是互斥事務(wù),但不是對立事務(wù)D.A與B+C+D是互斥事務(wù),也是對立事務(wù)【解析】選D.由于A,B,C,D彼此互斥,且A+B+C+D是一個必定事務(wù),故其事務(wù)的關(guān)系可由圖表示.由圖可知,任何一個事務(wù)與其余3個事務(wù)的和事務(wù)必定是對立事務(wù),任何兩個事務(wù)的和事務(wù)與其余兩個事務(wù)的和事務(wù)也是對立事務(wù).5.從1,2,3,…,9這九個數(shù)字中,隨機抽取一個數(shù),則這個數(shù)是3的倍數(shù)或5的倍數(shù)的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.取到的數(shù)是3的倍數(shù)的概率P1=QUOTE=QUOTE,取到的數(shù)是5的倍數(shù)的概率為P2=QUOTE,所以取到的數(shù)是3的倍數(shù)或5的倍數(shù)的概率P=P1+P2=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)6.從一籃子雞蛋中任取一個,其質(zhì)量小于30克的概率為0.3,質(zhì)量在[30,40](克)的概率為0.4,則其質(zhì)量大于40克的概率為________.

【解析】其質(zhì)量大于40克的概率P=1-0.3-0.4=0.3.答案:0.37.某射手在一次射擊中,射中10環(huán),9環(huán),8環(huán)的概率分別為0.2,0.3,0.1,則此射手在一次射擊中不超過8環(huán)的概率為________.

【解析】該射手在一次射擊中不超過8環(huán)的概率為P=1-0.2-0.3=0.5.答案:0.58.口袋內(nèi)裝有100個大小相同的紅球、白球和黑球,其中有45個紅球,從中摸出1個球,摸出白球的概率為0.23,則摸出黑球的概率為________.

【解析】所求概率P=1-0.45-0.23=0.32.答案:0.32三、解答題(每小題10分,共20分)9.袋中裝有大小和質(zhì)地相同的紅球、白球、黑球若干個,它們的數(shù)量比依次是2∶1∶1,現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取一個樣本,抽出的紅球和黑球一共有6個.(1)求樣本中紅球、白球、黑球的個數(shù);(2)若從樣本中任取2個球,求下列事務(wù)的概率:①含有紅球;②恰有1個黑球.【解析】(1)因為紅球和黑球在總數(shù)中所占比例為QUOTE=QUOTE,樣本中全部球的總數(shù)N=QUOTE=8.所以紅球的個數(shù)為QUOTE×8=4,白球的個數(shù)為QUOTE×8=2,黑球的個數(shù)為QUOTE×8=2.(2)記“2個球1紅1白”為事務(wù)A,“2個球1紅1黑”為事務(wù)B,“2個球都是紅球”為事務(wù)C,“2個球1白1黑”為事務(wù)D.則A中的基本領(lǐng)件個數(shù)為8,B中的基本領(lǐng)件個數(shù)為8,C中的基本領(lǐng)件個數(shù)為6,D中的基本領(lǐng)件個數(shù)為4,全部基本領(lǐng)件的總數(shù)為28.①方法一:含有紅球的概率P1=P(A)+P(B)+P(C)=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.方法二:“2個都是白球”“2個都是黑球”的基本領(lǐng)件個數(shù)都為1,含有紅球的概率P1=1-QUOTE=QUOTE.②恰有1個黑球的概率P2=P(B)+P(D)=QUOTE+QUOTE=QUOTE.10.據(jù)統(tǒng)計,在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下:排隊人數(shù)012345人或更多概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多有兩人排隊等候的概率;(2)至少有三人排隊等候的概率;(3)至少有兩人排隊等候的概率.【解析】記“在窗口等候的人數(shù)為0,1,2,3,4,5人或更多”的事務(wù)分別為A,B,C,D,E,F.則A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)至多有兩人排隊等候的概率為P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)方法一:至少有三人排隊等候的概率為P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.方法二:因為至少三人排隊等候與至多兩人排隊等候是對立事務(wù),故由對立事務(wù)的概率公式,至少三人排隊等候的概率是P(D+E+F)=1-P(A+B+C)=1-0.56=0.44.(3)方法一:至少有兩人排隊等候的概率為P(C+D+E+F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74.方法二:至少有兩人排隊與少于兩人排隊等候是對立事務(wù),所以所求概率為1-P(A+B)=1-[P(A)+P(B)]=1-(0.1+0.16)=0.74.1.某商店月收入(單位:元)在下列范圍內(nèi)的概率如表所示:月收入[1000,1500)[1500,2000)[2000,2500)[2500,3000)概率0.12ab0.14已知月收入在[1000,3000)內(nèi)的概率為0.67,則月收入在[1500,3000)內(nèi)的概率為______.

【解析】令A(yù)表示月收入在[1000,1500),B表示月收入在[1500,2000),C表示月收入在[2000,2500),D表示月收入在[2500,3000),因為事務(wù)A,B,C,D互斥,且P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.67,所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55.答案:0.552.某公務(wù)員去開會,他乘火車、輪船、汽車、飛機去的概率分別為0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火車或乘飛機去的概率;(2)求他不乘輪船去的概率;(3)假如他乘A或B去開會的概率為0.5,請問他有可能是乘何種交通工具去的?【解析】記“他乘火車去”為事務(wù)A1,“他乘輪船去”為事務(wù)A2,“他乘汽車去”為事務(wù)A3,“他乘飛機去”為事務(wù)A4,這四個事務(wù)不行能同時發(fā)生,故它們彼此互斥.(1)P(A1+A4)=P(A1)+P(A4)=0.3+0.4=0.7.(2)設(shè)他不乘輪船去的概率為P,則P=1-P(A2)=1-0.2=0.8.(3)由于0.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,1-(0.3+0.2)=0.5,1-(0.4+0.1)=0.5,故他有可能乘火車或乘輪船去,也有可能乘汽車或乘飛機去.【補償訓(xùn)練】如圖,A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,現(xiàn)隨機抽取100位從A地到達火車站的人進行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下:所用時間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率;(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率;(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站,為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站,試通過計算說明,他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.【解析】(1)由已知共調(diào)查了100人,其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16+4=44(人),所以用頻率估計相應(yīng)的概率為0.44.(2)選擇L1的有60人,選擇L2的有40人,故由調(diào)查結(jié)果得頻率為所用時間(分鐘)10～2020～3030～4040～