山東省濟南市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

2024年7月濟南市高二期末學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.大明湖是濟南三大名勝之一，素有“泉城明珠”之美譽，自2017年1月1日起全面向社會免費開放.景區(qū)有東南西北4個大門，每個大門進去都有不同景致，小明從一個門進，另一個門出，則不同進出方式的種數(shù)為（）A7 B.8 C.12 D.162.函數(shù)在點處的切線斜率為（）A. B.0 C.1 D.3.下列殘差滿足一元線性回歸模型中對隨機誤差的假定的是（）A. B.C. D.4.濟南市某高中組織全部學(xué)生參加公益活動，其中高一、高二、高三年級人數(shù)之比為4：3：3，這三個年級分別又有20%，30%，40%的學(xué)生參加公益活動中的環(huán)?；顒?從三個年級中任選一名學(xué)生，該學(xué)生參加環(huán)?；顒拥母怕适牵ǎ〢.27% B.28% C.29% D.30%5.隨機變量X的分布列為，，.若，則（）A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.86.某城市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考，假設(shè)考試成績服從正態(tài)分布.如果按照的比例將考試成績由高到低分為四個等級，那么等級的最高分數(shù)線約為（）參考數(shù)據(jù)：若，則A.71 B.78 C.85 D.927.人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題.對于方程，如果用二分法求近似解，給定初始區(qū)間，若精確度，則至少需要經(jīng)過4次迭代才能求出其近似解.牛頓在《流數(shù)法》一書中用“作切線”的方法求高次方程的近似解.從函數(shù)的觀點看，給定一個初始值，在橫坐標為的點處作函數(shù)的切線，切線與x軸交點的橫坐標就是，用代替重復(fù)上面的過程得到，一直繼續(xù)下去得到，，…，.它們越來越逼近函數(shù)的零點r，當(dāng)時，或即為方程的近似解.現(xiàn)給定初始值，利用牛頓法求的近似解，至少需要幾次迭代也能達到同樣的精確度（）A.1 B.2 C.3 D.48.函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分，有選錯的得0分.9.的展開式，下列說法正確的是（）A.展開式共有7項B.展開式的二項式系數(shù)的和為128C.展開式中的系數(shù)為14D.展開式中第3項或者第4項的二項式系數(shù)最大10.下列函數(shù)中，有兩個零點的是（）A. B.C. D.11.設(shè)A，B是兩個隨機事件，，，下列說法正確的是（）A.若A，B相互獨立，，，則B.若A，B互斥，，，則C.若，則D.若，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.從0，1，2，3，4，5，6中任取3個數(shù)字，可以組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是________.（用數(shù)字作答）13.袋子中有大小形狀完全相同的2個白球和4個黑球，從中任取3個球，1個白球得2分，1個黑球得1分.記X為取出的3個球的得分總和，則________.14.以半徑為R，圓心角為α的扇形鐵皮為圓錐的側(cè)面，制成一個圓錐形容器.當(dāng)扇形的圓心角α為________時，容器的容積最大.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.一個質(zhì)點從數(shù)軸上的原點0開始移動，通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣決定質(zhì)點向左或者向右移動.若硬幣正面向上，則質(zhì)點向右移動一個單位；若硬幣反面向上，則質(zhì)點向左移動一個單位.拋擲硬幣4次后，質(zhì)點所在位置對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)記為隨機變量，求：（1）質(zhì)點位于2位置的概率；（2）隨機變量的分布列和期望.16.函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，記在區(qū)間上的最大值為M，最小值為m，求的取值范圍.17.長時間近距離看電子產(chǎn)品會影響視力.泉泉調(diào)查了某校1000名學(xué)生，發(fā)現(xiàn)40%的學(xué)生近視；而該校20%的學(xué)生每天近距離看電子產(chǎn)品時間超過1h，這些人的近視率為50%.（1）請完成下列2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷近視與每天近距離看電子產(chǎn)品時間超過1h是否有關(guān)聯(lián)；近視每天近距離看電子產(chǎn)品時間超過1h合計是否是

否

合計

1000（2）研究發(fā)現(xiàn)，近視兒童每年眼軸的增速要大于非近視兒童，長時間近距離看電子產(chǎn)品會導(dǎo)致眼軸快速增長，最終影響視力.高度近視者的眼軸長度一般大于26mm.下圖是每天近距離看電子產(chǎn)品時間超過1h近視兒童和非近視兒童6~16歲的眼軸生長發(fā)育散點圖.①根據(jù)散點圖判斷，和哪一個更符合每天近距離看電子產(chǎn)品時間超過1h的近視兒童的眼軸生長發(fā)育情況？（給出判斷即可，不必說明理由）②根據(jù)①中的判斷結(jié)果，建立該類近視兒童眼軸長度y（單位：mm）關(guān)于年齡x（，且）的經(jīng)驗回歸方程；③根據(jù)②中的結(jié)果，估計該類近視兒童開始高度近視時的年齡.（結(jié)果保留整數(shù)）參考公式及數(shù)據(jù)：（?。?，α0.010.0050.00166357.87910.828（ⅱ）回歸方程中斜率和截距最小二乘估計公式分別為：，；（ⅲ）散點圖1中，；散點圖2中，.18.將函數(shù)的圖象繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是一個函數(shù)的圖象，即函數(shù)的圖象與直線至多有1個交點，則稱函數(shù)具有“α旋轉(zhuǎn)不變性”.（1）證明：函數(shù)，具有“旋轉(zhuǎn)不變性”；（2）若函數(shù)具有“旋轉(zhuǎn)不變性”，求m的取值范圍.19.某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)對楊輝三角性質(zhì)進行探究發(fā)現(xiàn)：“第n行各數(shù)平方和等于第2n行中間的數(shù)，即：”，證明如下.證明：考慮多項式中的系數(shù)，一方面：代數(shù)式中，的系數(shù)為.另一方面：代數(shù)式中，的系數(shù)為.因為，所以.所以.（1）如果證明過程中考慮中的系數(shù)，能得到的組合恒等式為________.請先填空，再構(gòu)造一個實際背景，對所得恒等式的意義作出解釋；（2）證明：①；②.注：組合數(shù)，若，則.2024年7月濟南市高二期末學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.大明湖是濟南三大名勝之一，素有“泉城明珠”之美譽，自2017年1月1日起全面向社會免費開放.景區(qū)有東南西北4個大門，每個大門進去都有不同景致，小明從一個門進，另一個門出，則不同進出方式的種數(shù)為（）A.7 B.8 C.12 D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求解即可.【詳解】由題意，分兩步完成，第一步選一個大門進去有4種選法，第二步選一個大門出去有3種選法，所以由分步乘法計數(shù)原理可知共有種.故選：C2.函數(shù)在點處的切線斜率為（）A. B.0 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，代入即可得解.【詳解】因為，所以，所以.故選：A3.下列殘差滿足一元線性回歸模型中對隨機誤差假定的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元線性回歸模型對隨機誤差的假定即可判斷結(jié)果.【詳解】圖A顯示殘差與觀測時間有非線性關(guān)系，應(yīng)在模型中加入時間的非線性函數(shù)部分；圖B說明殘差的方差不是一個常數(shù)，隨觀測時間變大而變大；圖C顯示殘差與觀測時間有線性關(guān)系，應(yīng)將時間變量納入模型；圖D的殘差較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，可見D滿足一元線性回歸模型對隨機誤差的假定．故選：D．4.濟南市某高中組織全部學(xué)生參加公益活動，其中高一、高二、高三年級人數(shù)之比為4：3：3，這三個年級分別又有20%，30%，40%的學(xué)生參加公益活動中的環(huán)?；顒?從三個年級中任選一名學(xué)生，該學(xué)生參加環(huán)?；顒拥母怕适牵ǎ〢.27% B.28% C.29% D.30%【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合全概率公式求解即可.【詳解】由題意可得從三個年級中任選一名學(xué)生，該學(xué)生參加環(huán)保活動的概率是.故選：C5.隨機變量X的分布列為，，.若，則（）A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得求出，再利用方差公式可求得結(jié)果.【詳解】因為隨機變量X的分布列為，，，，所以，解得，所以.故選：B6.某城市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考，假設(shè)考試成績服從正態(tài)分布.如果按照的比例將考試成績由高到低分為四個等級，那么等級的最高分數(shù)線約為（）參考數(shù)據(jù)：若，則.A.71 B.78 C.85 D.92【答案】C【解析】【分析】由正態(tài)分布的對稱性即可求解.【詳解】因為等級概率為，且服從正態(tài)分布,且,所以等級范圍在,所以等級的最高分數(shù)線約為.故選：C.7.人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題.對于方程，如果用二分法求近似解，給定初始區(qū)間，若精確度，則至少需要經(jīng)過4次迭代才能求出其近似解.牛頓在《流數(shù)法》一書中用“作切線”的方法求高次方程的近似解.從函數(shù)的觀點看，給定一個初始值，在橫坐標為的點處作函數(shù)的切線，切線與x軸交點的橫坐標就是，用代替重復(fù)上面的過程得到，一直繼續(xù)下去得到，，…，.它們越來越逼近函數(shù)的零點r，當(dāng)時，或即為方程的近似解.現(xiàn)給定初始值，利用牛頓法求的近似解，至少需要幾次迭代也能達到同樣的精確度（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用切點和斜率求得切線方程，結(jié)合牛頓法求得、，即可得解.【詳解】令，則，，，所以曲線在點處的切線方程為，令，得.又，，所以曲線在點處的切線方程為，令，解得，因為，所以利用牛頓法求的近似解，至少需要次迭代也能達到同樣的精確度.故選：B.8.函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得有兩個不等的正根，即有兩個不等的正根，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，畫出大致圖象，結(jié)合圖象求解即可.【詳解】由，得，因為有兩個極值點，所以有兩個不等的正根，即有兩個不等的正根，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的大致圖象如圖所示，由圖可知當(dāng)時，與的圖象有兩個不同的交點，所以當(dāng)時，有兩個極值點.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合問題，考查利用導(dǎo)數(shù)解決極值點問題，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為有兩個不等的正根，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)圖象求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分，有選錯的得0分.9.的展開式，下列說法正確的是（）A.展開式共有7項B.展開式的二項式系數(shù)的和為128C.展開式中的系數(shù)為14D.展開式中第3項或者第4項的二項式系數(shù)最大【答案】BC【解析】【分析】對于A，根據(jù)二項式展開式的性質(zhì)判斷，對于B，根據(jù)二項式展開式的系數(shù)的性質(zhì)求解判斷，對于C，求出通項公式，令的次數(shù)為2，求出，從而可求出的系數(shù)，對于D，根據(jù)二項式展開式的系數(shù)的性質(zhì)判斷.【詳解】對于A，的展開式有8項，所以A錯誤，對于B，的展開式的二項式系數(shù)的和為，所以B正確，對于C，展開式的通項公式為，令，得，所以展開式中的系數(shù)為，所以C正確，對于D，因為的展開式有8項，所以展開式中第4項或者第5項的二項式系數(shù)最大，所以D錯誤.故選：BC10.下列函數(shù)中，有兩個零點的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，逐個分析，先對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點存在性定理分析函數(shù)零點的個數(shù)即可.【詳解】對于A，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以上遞減，在上遞增，所以，所以有且只有一個零點，所以A錯誤，對于B，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，因為，，所以在上有且只有一個零點，在上有且只有一個零點，所以有兩個零點，所以B正確，對于C，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞增，在上遞減，所以，因為當(dāng)，，所以在上有且只有一個零點，在上有且只有一個零點，所以有兩個零點，所以C正確，對于D，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，因為，，所以在上有且只有一個零點，在上有且只有一個零點，所以有兩個零點，所以D正確，故選：BCD11.設(shè)A，B是兩個隨機事件，，，下列說法正確的是（）A.若A，B相互獨立，，，則B.若A，B互斥，，，則C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】由互斥、對立事件概率公式及相互獨立事件乘法公式判斷AB；根據(jù)條件概率公式判斷C,應(yīng)用條件概率公式、相互獨立事件乘法公式判斷D.【詳解】對A，A，B相互獨立，，，所以，故A正確；對B，，故B正確；對C，，若時，得不出，即得不出，得不出，故C錯誤；對D，，，所以，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.從0，1，2，3，4，5，6中任取3個數(shù)字，可以組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是________.（用數(shù)字作答）【答案】180【解析】【分析】根據(jù)取到0與取不到0分類討論即可由排列求解.【詳解】當(dāng)取不到0時，一共有個三位數(shù)，若取到時，不能排首位，共有個三位數(shù)，由分類加法計數(shù)原理可知，共有三位數(shù)的個數(shù)為.故答案為：18013.袋子中有大小形狀完全相同的2個白球和4個黑球，從中任取3個球，1個白球得2分，1個黑球得1分.記X為取出的3個球的得分總和，則________.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得的可能取值為，分別求得其對應(yīng)概率，再由期望的計算公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題可知，的可能取值為，則，，，所以.故答案為：414.以半徑為R，圓心角為α的扇形鐵皮為圓錐的側(cè)面，制成一個圓錐形容器.當(dāng)扇形的圓心角α為________時，容器的容積最大.【答案】##【解析】【分析】設(shè)圓錐底面半徑為，高為，那么，再根據(jù)，代入得到，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值，以及和，由圓心角得解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，體積為，則，因此，則，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時容積最大，把代入，得由，得，即圓心角為時容積最大.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.一個質(zhì)點從數(shù)軸上的原點0開始移動，通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣決定質(zhì)點向左或者向右移動.若硬幣正面向上，則質(zhì)點向右移動一個單位；若硬幣反面向上，則質(zhì)點向左移動一個單位.拋擲硬幣4次后，質(zhì)點所在位置對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)記為隨機變量，求：（1）質(zhì)點位于2的位置的概率；（2）隨機變量的分布列和期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，期望為0【解析】【分析】（1）拋擲硬幣4次后，質(zhì)點要位于2，則可知4次中向右移動3次，向左移動1次，然后根據(jù)獨立事件的概率公式求解即可；（2）由題意可知的可能取值為，求出相應(yīng)的概率，從而可求得的分布列和期望.【小問1詳解】由題意可知，拋擲硬幣4次后，質(zhì)點要位于2，則4次中向右移動3次，向左移動1次，所以質(zhì)點位于2的位置的概率為；【小問2詳解】由題意可知的可能取值為，則，，，，，所以分布列為024所以.16.函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，記在區(qū)間上的最大值為M，最小值為m，求的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)的正負可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對函數(shù)求導(dǎo)后，求得在上遞增，在上遞減，可得，從而可得，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出其范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，（），則，由，得或，由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】由，得，由，得或，因為，所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞增，在上遞減，所以的最大值為，即，，因為，所以，所以的最小值為，即，所以，令，，則，令，得或，所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以.17.長時間近距離看電子產(chǎn)品會影響視力.泉泉調(diào)查了某校1000名學(xué)生，發(fā)現(xiàn)40%的學(xué)生近視；而該校20%的學(xué)生每天近距離看電子產(chǎn)品時間超過1h，這些人的近視率為50%.（1）請完成下列2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷近視與每天近距離看電子產(chǎn)品時間超過1h是否有關(guān)聯(lián)；近視每天近距離看電子產(chǎn)品時間超過1h合計是否是

否

合計

1000（2）研究發(fā)現(xiàn)，近視兒童每年眼軸的增速要大于非近視兒童，長時間近距離看電子產(chǎn)品會導(dǎo)致眼軸快速增長，最終影響視力.高度近視者的眼軸長度一般大于26mm.下圖是每天近距離看電子產(chǎn)品時間超過1h近視兒童和非近視兒童6~16歲的眼軸生長發(fā)育散點圖.①根據(jù)散點圖判斷，和哪一個更符合每天近距離看電子產(chǎn)品時間超過1h的近視兒童的眼軸生長發(fā)育情況？（給出判斷即可，不必說明理由）②根據(jù)①中的判斷結(jié)果，建立該類近視兒童眼軸長度y（單位：mm）關(guān)于年齡x（，且）的經(jīng)驗回歸方程；③根據(jù)②中的結(jié)果，估計該類近視兒童開始高度近視時的年齡.（結(jié)果保留整數(shù)）參考公式及數(shù)據(jù)：（ⅰ），，α0010.0050.0016.6357.87910.828（ⅱ）回歸方程中斜率和截距最小二乘估計公式分別為：，；（ⅲ）散點圖1中，；散點圖2中，.【答案】（1）2×2列聯(lián)表見解析，近視與每天近距離看電子產(chǎn)品時間超過1h有關(guān)聯(lián)（2）①②③18歲【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出2×2列聯(lián)表，計算，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗得出結(jié)論；（2）①由散點圖直接寫出，②根據(jù)最小二乘法求回歸直線方程，③根據(jù)回歸直線方程得預(yù)測值.【小問1詳解】2×2列聯(lián)表近視每天近距離看電子產(chǎn)品時間超過1h合計是否是100300400否100500600合計2008001000零假設(shè)為：近視與每天近距離看電子產(chǎn)品時間超過1h無關(guān)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，并計算得到，因為，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為近視與每天近距離看電子產(chǎn)品時間超過1h有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.【小問2詳解】①適宜每天近距離看電子產(chǎn)品時間超過1h的近視兒童的眼軸生長發(fā)育情況.②由題意可得，因此，再由題意得，所以，從而該類近視兒童眼軸長度)(單位：mm)關(guān)于年齡x的回歸方程為.③，解得，所以該類近視兒童開始高度近視時大約18歲.18.將函數(shù)的圖象繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是一個函數(shù)的圖象，即函數(shù)的圖象與直線至多有1個交點，則稱函數(shù)具有“α旋轉(zhuǎn)不變性”.（1）證明：函數(shù)，具有“旋轉(zhuǎn)不變性”；（2）若函數(shù)具有“旋轉(zhuǎn)不變性”，求m的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與至多有1個交點，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性即可得證；（2）根據(jù)函數(shù)具有“旋轉(zhuǎn)不變性”轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得解.【小問1詳解】由題意可知，當(dāng)時，,令，，則，在上單調(diào)遞減.故與至多有1個交點，即與至多有1個交點，故函數(shù)具有“旋轉(zhuǎn)不變性”.【小問2詳解】由題意得：當(dāng)時，，函數(shù)與函數(shù)的圖象至多有1個交點，即方程至多有一個根,即函數(shù)與函數(shù)的圖象至多1個交點，因此函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，，而當(dāng)時，，所以