第02講 解直角三角形（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）-A4

第頁第02講解直角三角形使學生理解直角三角形中五個元素的關(guān)系，什么是解直角三角形；2．會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形．知識點1解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即三條邊和兩個銳角.

設(shè)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有：

①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).

②銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.

③邊角之間的關(guān)系：

，，，，，.

④，h為斜邊上的高.

注意：

(1)直角三角形中有一個元素為定值(直角為90°)，是已知值.

(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).

(3)對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.知識點2解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，銳角、對邊

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，注意：

1．在遇到解直角三角形的實際問題時，最好是先畫出一個直角三角形的草圖，按題意標明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進行計算.

2．若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個條件為邊.【典例1】（2023?雨花區(qū)校級二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，sin∠B等于（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝＝8，∴sin∠B＝＝＝．故選：D．【變式1-1】（2023?子洲縣校級三模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，，則AC的長為（）A．4.5 B．5 C．2 D．3【答案】C【解答】解：∵cosB＝，∴＝，∵AB＝6，∴CB＝×6＝4，∴AC＝＝＝2．故選：C．【變式1-2】（2023春?東城區(qū)校級期末）如圖，每個小正方形的邊長為1，點A、B、C均在格點上，則sinB的值是（）A．1 B． C． D．【答案】D【解答】解：由圖可知∠ACB＝90°，且AC＝3，BC＝4，∴AB＝，∴．故選：D．【變式1-3】（2023?沭陽縣模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB＝，則AC的長為（）A．6 B．2 C．3 D．9【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB＝，∴BC＝AB?cosB＝9×＝6，∴AC＝＝＝3，故選：C．【典例2】（2022秋?承德縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，下列結(jié)論正確的是（）A．sinC＝ B．sinC＝ C．sinC＝ D．sinC＝【答案】C【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，cosC＝，tanC＝，故A、B不符合題意；在Rt△BAC中，sinC＝，故C符合題意；∵∠B+∠BAD＝90°，∠B+∠C＝90°，∴∠C＝∠BAD，在Rt△BAD中，cos∠BAD＝，∴cosC＝cos∠BAD＝，故D不符合題意；故選：C．【變式2-1】（2023?耿馬縣二模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，若AD＝8，，那么tanB的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠ACD+∠A＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∵AD＝8，，∴＝，解得BD＝4，∴tanB＝＝＝，故選：D．【變式2-2】（2023春?巴東縣期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，＝，則tan∠B＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴，∴CD2＝AD?DB，∵，設(shè)AD＝3a，DB＝2a，則CD2＝3a?2a＝6a2，∴CD＝，∴tan∠B＝．故選：C．【變式2-3】（2023?巧家縣校級三模）如圖，AD是△ABC的高，若BD＝2CD＝6，sin，則邊AB的長為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵sin∠DAC＝，∴tan∠DAC＝，∴＝，∵BD＝6，CD＝3，∴AD＝6，由勾股定理可知：AB2＝BD2+AD2，∴AB＝6，故選：D．【典例3】（2023?倉山區(qū)校級模擬）如圖，平面直角坐標系內(nèi)有一點P（3，4），連接OP，則OP與x軸正方向所夾銳角α的余弦值是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：作PA⊥x軸于A，如圖．∵P（3，4），∴OA＝3，AP＝4，∴OP＝＝5，∴cosα＝＝．故選：C．【變式3-1】（2022秋?乳山市期末）如圖，已知點P（4，3），OP與x軸正半軸的夾角為α，則cosα＝（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：過P作PN⊥x軸于N，PM⊥y軸于M，則∠PMO＝∠PNO＝90°，∵x軸⊥y軸，∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，∴四邊形MONP是矩形，∴PM＝ON，PN＝OM，∵P（4，3），∴ON＝PM＝4，PN＝3，在Rt△PON中，由勾股定理得OP＝，∴，故選：B．【變式3-2】（2023?隴縣一模）如圖所示，在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC，若BD＝1，，則sin∠BAC＝（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如圖，過點B作BE⊥AC于E，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴sin∠BAD＝＝＝，∴AB＝3，∴AC＝AB＝3，由勾股定理得，AD＝＝＝2，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD＝2，由S△ABC＝BC?AD＝AC?BE得，BE＝＝＝，∴sin∠BAC＝＝＝，故選：B．【典例4】（2022秋?泉州期末）如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，O都在小正方形的頂點上，則∠AOB的正弦值是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：過點B作BC⊥OA于點C．BO＝＝2，AO＝＝2．∵S△AOB＝×2×2＝2，∴AO?BC＝2．∴BC＝＝．∴sin∠AOB＝＝＝．故選：B．【變式4-1】（2023?長豐縣模擬）如圖，在網(wǎng)格中小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點都在格點上，則sin∠ABC等于（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵小正方形的邊長均為1，∴AC2＝5，BC2＝20，AB2＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝．故選：C．【變式4-2】（2023?海港區(qū)一模）如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，B，C均在格點上，則tanA的值是（）A． B． C．2 D．【答案】B【解答】解：如圖：連接BD，由題意得：AD2＝22+22＝8，BD2＝12+12＝2，AB2＝12+32＝10，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD＝2，BD＝，∴tanA＝＝＝，故選：B．【變式4-3】（2022秋?離石區(qū)期末）正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖所示放置（點A，C均在網(wǎng)格的格點上，且點C在OB上），則cos∠AOB的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如圖，C為OB邊上的格點，連接AC，根據(jù)勾股定理，AO＝＝2，AC＝＝，OC＝＝，所以，AO2＝AC2+OC2＝20，所以，△AOC是直角三角形，cos∠AOB＝＝＝．故選：B．【典例5】（2023?西湖區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，DE為AC邊上的中線．（1）若∠EDA＝3∠BAD，求∠C的度數(shù)；（2）若tan∠EDA＝4，AB＝5，求點A到BC的距離．【答案】（1）22.5°；（2）．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，DE為AC邊上的中線，∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠C，∴AE＝DE＝CE，∴∠EAD＝∠EDA，∵∠EDA＝3∠BAD，∴∠EAD＝3∠BAD，∵∠BAC＝90°，∴3∠BAD+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝22.5°，∴∠C＝22.5°；（2）由（1）可知：∠EAD＝∠EDA，∴，設(shè)AD＝x，則CD＝4x，∵∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA，∴，即，∴AC＝20，∴，∴，即點A到BC的距離為．【變式5-1】（2022秋?徐匯區(qū)期末）如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足為點D，AD＝2，BD＝6，tanB＝，點E是邊BC的中點．（1）求邊AC的長；（2）求∠EAB的正弦值．【答案】（1）2；（2）．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴△ACD、△BCD均為直角三角形．在Rt△CDB中，∵BD＝6，tanB＝＝，∴CD＝4．在Rt△CDA中，AC＝＝＝2．（2）過點E作EF⊥AB，垂足為F．∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF．又∵點E是邊BC的中點，∴EF是△BCD的中位線．∴DF＝BF＝3，EF＝CD＝2．∴AF＝AD+DF＝5．在Rt△AEF中，AE＝＝＝．∴sin∠EAB＝＝＝．【變式5-2】（2023春?梅江區(qū)校級月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝3，BC的延長線與AD的延長線交于點E．（1）若∠A＝60°，求BC的長；（2）若sinE＝，求AD的長．【答案】（1）＝6﹣6；（2）6．【解答】解：（1）∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝，∴∠E＝30°，BE＝tan60°?6＝6，又∵∠CDE＝90°，CD＝3，sinE＝，∠E＝30°，∴CE＝＝6，∴BC＝BE﹣CE＝6﹣6；（2）∵sinE＝，∴sinA＝，∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝＝，∴設(shè)BE＝4x，則AE＝5x，得AB＝3x，∴3x＝6，得x＝2，∴BE＝8，AE＝10，∴tanE＝＝＝＝，解得DE＝4，∴AD＝AE﹣DE＝10﹣4＝6，即AD的長是6．1．（2023?攀枝花）△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，則cos∠A的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：在△ABC中，∵a＝6，b＝8，c＝10，a2+b2＝62+82＝36+64＝100，c2＝100．∴a2+b2＝c2．∴△ABC是直角三角形．∴cosA＝＝＝．故選：C．2．（2023?益陽）如圖，在平面直角坐標系xOy中，有三點A（0，1），B（4，1），C（5，6），則sin∠BAC＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：過C作CD⊥AB交AB延長線于D，∵A（0，1），B（4，1），C（5，6），∴D（5，1），∴CD＝6﹣1＝5，AD＝5，∴AC＝5，∴sin∠BAC＝＝，故選：C．3．（2022?廣元）如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點處，AB與CD相交于點P，則cos∠APC的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：把AB向上平移一個單位到DE，連接CE，如圖．則DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．在△DCE中，有EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5，∵EC2+DC2＝DE2，故△DCE為直角三角形，∠DCE＝90°．∴cos∠APC＝cos∠EDC＝＝．故選：B．4．（2022?樂山）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，點D是AC上一點，連結(jié)BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，則CD的長為（）A．2 B．3 C． D．2【答案】C【解答】解：過D點作DE⊥AB于E，∵tan∠A＝＝，tan∠ABD＝＝，∴AE＝2DE，BE＝3DE，∴2DE+3DE＝5DE＝AB，在Rt△ABC中，tan∠A＝，BC＝，∴，解得AC＝，∴AB＝，∴DE＝1，∴AE＝2，∴AD＝，∴CD＝AC﹣AD＝，故選：C．5．（2022?宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝5，BC＝3，將△BCD沿BD折疊到△BED位置，DE交AB于點F，則cos∠ADF的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，∴∠BDC＝∠DBF，由折疊的性質(zhì)可得∠BDC＝∠BDF，∴∠BDF＝∠DBF，∴BF＝DF，設(shè)BF＝x，則DF＝x，AF＝5﹣x，在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，∴x＝，∴cos∠ADF＝，故選：C．6．（2022?陜西）如圖，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，則邊AB的長為（）A．3 B．3 C．6 D．3【答案】C【解答】解：∵BD＝2CD＝6，∴CD＝3，BD＝6，∵tanC＝＝2，∴AD＝6，∴AB＝AD＝6故選：C．7．（2023?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點D在邊AB上，連接CD．若BD＝CD，＝，則tanB＝．【答案】．【解答】解：設(shè)AD＝t，∵BD＝CD，＝，∴BD＝CD＝3t，∴AC＝＝2t，AB＝AD+BD＝4t，∴tanB＝＝＝，故答案為：．8．（2023?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則sin∠ABC＝．【答案】．【解答】解：如圖，連接AC，由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，則BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案為：．9．（2023?廣元）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（1，0），點B（0，﹣3），點C在x軸上，且點C在點A右方，連接AB，BC，若tan∠ABC＝，則點C的坐標為（，0）．【答案】（，0）．【解答】解：設(shè)C（a，0），∴OC＝a，∵點A（1，0），點B（0，﹣3），∴OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝，在Rt△OAB中，tan∠OBA＝，tan∠ABC＝，∴∠OBA＝∠ABC，過C點作CD∥y軸交BA的延長線于點D，∴∠OBA＝∠D，∠AOB＝∠ACD，∴△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，∴，CD＝BC，∴，∴，解得a＝0（舍去）或a＝，∴C（，0），故答案為：（，0）．10．（2022?廣州）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．（1）尺規(guī)作圖：過點O作AC的垂線，交劣弧于點D，連接CD（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖形中，求點O到AC的距離及sin∠ACD的值．【答案】（1）詳見解答；（2）點O到AC的距離為4，sin∠ACD＝．【解答】解：（1）分別以A、C為圓心，大于AC為半徑畫弧，在AC的兩側(cè)分別相交于P、Q兩點，畫直線PQ交劣弧于點D，交AC于點E，即作線段AC的垂直平分線，由垂徑定理可知，直線PQ一定過點O；（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，且AC＝8，BC＝6．∴AB＝＝10，∵OD⊥AC，∴AE＝CE＝AC＝4，又∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位線，∴OE＝BC＝3，由于PQ過圓心O，且PQ⊥AC，即點O到AC的距離為3，連接OC，在Rt△CDE中，∵DE＝OD﹣CE＝5﹣3＝2，CE＝4，∴CD＝＝＝2∴sin∠ACD＝＝＝．一．選擇題（共8小題）1．如圖，∠B＝60°，AB＝4，AC＝6，則cosC的值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：過A作AD⊥BC，垂足是D，在Rt△ABD中，∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝2，AD＝，在Rt△ADC中，CD＝，∴cosC＝＝故選：D．2．如圖，點A，B，C都在正方形網(wǎng)格的格點上，則sin∠BAC的值是（）A． B．1 C． D．【答案】A【解答】解：設(shè)小正方形的邊長為1，由勾股定理，得：，過點B作BD⊥AC，由圖可知：BD＝5，∴；故選：A．3．若銳角α滿足，則＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵，∴α＝60°，∴，故選：C．4．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的長是（）A．a(chǎn)?tanα B．a(chǎn)?cotα C． D．【答案】D【解答】解：如圖：在Rt△ABC中，AC＝＝．故選：D．5．如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點A、B、C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點，則sinA＝（）A． B． C． D．無法求得【答案】C【解答】解：設(shè)每個小正方形的邊長為a，作CD⊥AB于點D，由圖可得：CD＝4a，AD＝3a，∴，∴，故選：C．6．在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，則AB的長為（）A．2 B．4 C．6 D．2【答案】B【解答】解：∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，故選：B．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，，則BC的長為（）A．3 B．2 C． D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∵tanA＝＝，∴AC＝BC．∵AC2+BC2＝AB2，∴（BC）2+BC2＝42．∴BC2＝12．∴BC＝2．故選：D．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，CE是AB邊上的中線，AD＝3，CE＝5，則tan∠BCE的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵CE是AB邊上的中線，CE＝5，∴AE＝BE＝5，AB＝10，∴∠BCE＝∠EBC，∵AD＝3，∴BD＝AB﹣AD＝7，DE＝AE﹣AD＝2，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD＝＝＝，∴tan∠BCE＝tan∠EBC＝＝．故選：B．二．填空題（共3小題）9．如圖，網(wǎng)格中小正方形的邊長均為1，點A，B、C都在格點（小正方形的頂點）上，則∠BAC的正切值是2．【答案】2．【解答】解：由題意得：，，，∴BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴，故答案為：2．10．如圖，在平面直角坐標系中，P是第一象限的點，其坐標為（6，y），且OP與x軸正半軸的夾角為α．若tanα＝，則OP＝10．【答案】10．【解答】解：過P作PH⊥x軸于H，如圖：∵tanα＝，∴＝，∵P（6，y），∴＝，解得y＝8，∴P（6，8），∴OP＝＝10；故答案為：10．11．構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要方法，在計算tan15°時，如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB，使BD＝AB，連接AD，使得∠D＝15°，所以tan15°＝，類比這種方法，計算tan22.5°＝﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，延長CB到D，使BD＝AB，連接AD．在Rt△ABC中，∵AC＝BC，∴∠ABC＝45°，AB＝AC．∵BD＝AB，∴∠D＝∠BAD．∵∠ABC＝∠D+∠BAD＝45°，∴∠D＝22.5°．在Rt△ACD中，tanD＝tan22.5°＝＝＝＝﹣1．故答案為：﹣1．三．解答題（共4小題）12．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，點D在AC上，，∠BDC＝60°，求BC的長．【答案】30．【解答】解：∵∠A＝30°，∠BDC＝60°，∴∠DBA＝60°﹣30°＝30°，∴∠A＝∠DBA，∴，在Rt△BDC中，．13．如圖，在△ABC中，AB＝5，sinB＝，tanC＝．（1）求BC的長．（2）若點D在BC邊上，且BD：CD＝3：2，求tan∠CAD的值．【答案】（1）10；（2）．【解答】解：（1）如圖，過點A作AE⊥BC，垂足為E，在Rt△ABE中，AB＝5，sinB＝，∴＝，∴AE＝3，∴BE