第04講 正方形的性質(zhì)和判定（知識解讀+達標(biāo)檢測）（原卷版）-A4

第頁第04講正方形的性質(zhì)和判定【題型1正方形的概念和性質(zhì)】【題型2正方形的判定】【題型3正方形的性質(zhì)與判定綜合】考點1：正方形的概念與性質(zhì)正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形?！叫蔚男再|(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）【題型1正方形形的概念和性質(zhì)】【典例1】（2023秋?順德區(qū)期末）在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點E、F分別在邊BC和CD上，則∠CEF＝（）A．75° B．60° C．50° D．45°【變式1-1】（2023秋?禪城區(qū)期末）如圖所示，在正方形ABCD中，E是對角線AC上的一點．連接BE，且AB＝AE，則∠EBC的度數(shù)是（）A．45° B．30° C．22.5° D．20°【變式1-2】（2023秋?淄川區(qū)期末）如圖所示，在正方形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，過O作OE⊥OF，分別交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，則EF的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式1-3】（2023秋?西寧期末）如圖，正方形AOBC的邊OB，OA分別在x軸和y軸上，點A（0，4），點D（4，3）在BC邊上，將△ACD以點A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AOD′，AM平分∠DAD′交OB于點M，則點M的坐標(biāo)是．【變式1-4】（2023秋?磐石市期末）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O又是另一個正方形A'B'C'O的一個頂點．若兩個正方形的邊長均為2，則圖中陰影部分圖形的面積為．考點2：正方形的判定※正方形常用的判定：有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形；鄰邊相等的矩形是正方形；對角線相等的菱形是正方形；對角線互相垂直的矩形是正方形。注意：正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系(如圖3所示)：【題型2正方形的判定】【典例2】（2023?秦都區(qū)校級二模）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，添加下列一個條件，能使矩形ABCD成為正方形的是（）A．BD＝AB B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD【變式2-1】（2023春?黃巖區(qū)期末）如圖，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，下列四個判斷不正確的是（）A．四邊形AEDF是平行四邊形 B．如果∠BAC＝90°，那么四邊形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四邊形AEDF是正方形【變式2-2】（2023春?楚雄州期末）下列說法正確的是（）A．對角線相等的菱形是正方形 B．有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形 C．有一個角是直角的平行四邊形是正方形 D．各邊都相等的四邊形是正方形【變式2-3】（2023春?江都區(qū)期末）小明在學(xué)習(xí)了中心對稱圖形后，整理了平行四邊形和特殊平行四邊形之間的關(guān)系圖，如圖所示，從下列條件：①AB＝AD；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠DAB中，選擇其中一個條件填入（）處，補全關(guān)系圖，其中所有正確選項的序號是（）A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④【變式2-4】（2023春?遷安市期末）如圖，一個四邊形順次添加下列中的三個條件便得到正方形：a．兩組對邊分別相等b．一組對邊平行且相等c．一組鄰邊相等d．一個角是直角順次添加的條件：①a→c→d②a→b→c③b→d→c，則正確的添加順序是（）A．僅① B．①② C．①③ D．②③【題型3正方形的性質(zhì)與判定綜合】【典例3】（2023春?秦淮區(qū)期末）如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB＝3，點E為對角線AC上一動點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交BC于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．【變式3-1】（2023春?建昌縣期末）如圖，Rt△ABC兩條外角平分線交于點D，∠B＝90°，過點D作DE⊥BA于點E，DF⊥BC于點F．（1）求證：四邊形BFDE是正方形；（2）若BF＝6，點C為BF的中點，直接寫出AE的長．【變式3-2】（2023春?青海月考）如圖，已知菱形ABCD，E、F是對角線BD所在直線上的兩點，且∠AED＝45°，DF＝BE，連接CE、AE、AF、CF．（1）求證：四邊形AECF是正方形；（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的周長．【變式3-3】（2022春?贛縣區(qū)期末）如圖，E、F、M、N分別是正方形ABCD四條邊上的點，且AE＝BF＝CM＝DN（1）求證：四邊形EFMN是正方形；（2）若AB＝7，AE＝3，求四邊形EFMN的周長．【變式3-4】（2022春?覃塘區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）若，BE＝1，求四邊形ABCD的面積．【變式3-5】（2022?龍崗區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，DE∥AB，DF∥AC．（1）求證：四邊形AFDE為正方形；（2）若AD＝2，求四邊形AFDE的面積．一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?沈丘縣期末）用邊長為1的正方形做了一套七巧板，拼成如圖所示的一座橋，則橋中陰影部分的面積為原正方形面積的（）A． B． C． D．不能確定2．（2023?陵城區(qū)校級一模）如圖，在正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，連接AE、CE，∠BCE＝70°，則∠EAD為（）A．10° B．15° C．20° D．30°3．（2023春?許昌期末）正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）A．四個角都是90° B．四邊相等 C．對角線相等 D．對角線互相平分4．（2023?江津區(qū)二模）如圖，延長正方形ABCD邊B至點E，使AE＝BD，則∠E為（）A．22.5° B．25° C．30° D．45°5．（2022秋?周村區(qū)期末）在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一個條件，即可推出該四邊形是正方形，這個條件可以是（）A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC6．（2023秋?于洪區(qū)期末）小明用四根相同長度的木條制作了一個正方形學(xué)具（如圖1），測得對角線，將正方形學(xué)具變形為菱形（如圖2），∠DAB＝60°，則圖2中對角線AC的長為（）A．20cm B． C． D．7．（2023春?武漢期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點A（0，1），B（2，0）均在坐標(biāo)軸上，則點C的坐標(biāo)是（）A．（1，3） B．（3，2） C．（2，3） D．（2，4）8．（2023春?方城縣期末）如圖，在正方形ABCD中，點P在邊AB上，AE⊥DP于點E，CF⊥DP于點F，若AE＝4，CF＝7，則EF＝（）A．1 B．2 C．3 D．49．（2023春?青秀區(qū)校級期末）如圖，在正方形ABCD外側(cè)作等邊△ABE，連接DE，則∠EDB的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．22.5° D．30°10．（2023春?五蓮縣期末）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E為BC上一點，CE＝6，F(xiàn)為DE的中點．若OF的長為1，則△CEF的周長為（）A．14 B．16 C．18 D．12二．填空題（共5小題）11．（2023春?泰興市期末）如圖，在正方形ABCD中，點E為對角線AC上的一點，EF⊥CD，EG⊥AD，垂足分別為F、G，已知EG＝1，EF＝3，則BE的長度為．12．（2023秋?白銀期末）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E在邊BC上，AF⊥AE交CD的延長線于點F，則四邊形AECF的面積為．13．（2022秋?錦江區(qū)期末）小穎將能夠活動的菱形學(xué)具活動成為圖1所示形狀，并測得AC＝5，∠B＝60°，接著，她又將這個學(xué)具活動成為圖2所示正方形，此時A'C'的長為．14．（2023春?孝義市期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，請你添加一個條件使它是正方形，你添加的條件是．15．（2023春?西豐縣期中）如圖，正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，過點O作射線OM，ON，分別交CD，BC于點E，F(xiàn)，且∠EOF＝90°，連接EF給出下列結(jié)論：①△COE≌△BOF；②四邊形OECF的面積為正方形ABCD面積的；③EF平分∠OEC；④DE2+BF2＝EF2．其中正確的是（填序號）．三．解答題（共3小題）16．（2023秋?禮泉縣期末）如圖，E、F、M、N分別是正方形ABCD四條邊上的點，且AE＝BF＝CM＝DN．求證：四邊形EFMN是正方形．17．（2022春?醴陵市期末）如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在BC、