第01講 銳角三角函數(shù)和特殊角的三角函數(shù)（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）-A4

第頁第01講銳角三角函數(shù)和特殊角的三角函數(shù)理解銳角正弦、余弦和正切概念的意義，并會求銳角的正弦值、余弦值和正切值；2．會推算30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，并熟練準確的記住特殊角的三角函數(shù)值；

3．理解并能熟練運用“同角三角函數(shù)的關(guān)系”及“銳角三角函數(shù)值隨角度變化的規(guī)律”.知識點1銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對的邊BC記為a，叫做∠A的對邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對的邊AC記為b，叫做∠B的對邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c，叫做斜邊．

銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即.同理；；．

注意：正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段的比值．角的度數(shù)確定時，其比值不變，角的度數(shù)變化時，比值也隨之變化．

(2)sinA，cosA，tanA分別是一個完整的數(shù)學符號，是一個整體，不能寫成，，，不能理解成sin與∠A，cos與∠A，tan與∠A的乘積．書寫時習慣上省略∠A的角的記號“∠”，但對三個大寫字母表示成的角(如∠ABC)，其正切應(yīng)寫成“tan∠ABC”，不能寫成“tanABC”；另外，、、常寫成、、．

(3)任何一個銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個角不在某個三角形中而不存在．

(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：當角度在0°<∠A<90°間變化時，，，tanA＞0知識點2銳角三角函數(shù)的增減性（1）在0°－90°之間，銳角的正弦值隨角度的增大而增大；（2）在0°－90°之間，銳角的余弦值隨角度的增大而減?。唬?）在0°－90°之間，銳角的正切值隨角度的增大而增大.知識點2特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：銳角30°45°160°注意：

(1)通過該表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，它的另一個應(yīng)用就是：如果知道了一個銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個銳角的度數(shù)，例如：若，則銳角．

(2)仔細研究表中數(shù)值的規(guī)律會發(fā)現(xiàn)：

、、的值依次為、、，而、、的值的順序正好相反，、、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：

①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)；

②余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大)．

知識點3銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)互余關(guān)系：，；

(2)平方關(guān)系：；

(3)倒數(shù)關(guān)系：或；

(4)商數(shù)關(guān)系：．

注意：

銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計算中，計算時巧用這些關(guān)系式可使運算簡便．【題型1銳角三角函數(shù)的概念】【典例1】（2022秋?西崗區(qū)校級期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則tanA的值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∴tanA＝＝，故選：D．【變式1-1】（2022秋?金山區(qū)校級期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，下列各式中，正確的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，∴AC＝＝＝2，∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝＝，cotA＝＝2．故選：A．【變式1-2】（2022秋?晉江市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，則AC＝（）A．10 B．8 C．5 D．4【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，∴sinA＝＝＝，∴AB＝10，∴AC＝＝＝8．故選：B．【變式1-3】（2022秋?貴池區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，下列三角函數(shù)正確的是（）A．sinB＝ B．cosA＝ C．tanB＝ D．cosB＝【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，由勾股定理得，AC＝＝＝5，所以sinB＝＝，cosA＝＝，tanB＝＝，cosB＝＝，故選：C．【題型2銳角三角函數(shù)的增減性】【典例2】（2022秋?興隆縣期中）如果∠α為銳角，且sinα＝0.6，那么α的取值范圍是（）A．0°＜α≤30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α≤90°【答案】B【解答】解：∵sin30°＝＝0.5，sin45°＝≈0.707，sinα＝0.6，且sinα隨α的增大而增大，∴30°＜α＜45°．故選：B．【變式2-1】（2021秋?周村區(qū)期末）已知cosα＝，則銳角α的取值范圍是（）A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°【答案】B【解答】解：∵cos30°＝，cos45°＝，∵＜＜，∴30°＜α＜45°，故選：B．【變式2-2】（2022?五通橋區(qū)模擬）若銳角α滿足cosα＜且tanα＜，則α的范圍是（）A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°【答案】B【解答】解：∵α是銳角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°＝0，cos45°＝，∴45°＜α＜90°；∵α是銳角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°＝0，tan60°＝，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故選：B．【變式2-3】（2022春?洪澤區(qū)校級月考）比較大?。簊in80°＞sin50°（填“＞”或“＜”）．【答案】＞．【解答】解：由于“一個銳角的正弦值隨著角度的增大而增大”可知，∵80°＞50°，∴sin80°＞sin50°，故答案為：＞．【題型3特殊角三角函數(shù)值】【典例3】（2023?紅橋區(qū)二模）tan30°的值等于（）A． B． C．1 D．【答案】A【解答】解：tan30°＝．故選：A．【變式3-1】（2022秋?云州區(qū)期末）已知∠α為銳角，且sinα＝，則∠α＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解答】解：∵∠α為銳角，且sinα＝，∴∠α＝60°，故選：C．【變式3-2】（2023秋?莘縣校級月考）在△ABC中，若cosA＝，tanB＝，這個三角形一定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解答】解：在△ABC中，∵cosA＝，tanB＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，故△ABC為直角三角形．故選：B．【變式3-3】（2023?江都區(qū)模擬）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，則∠C的度數(shù)是（）A．45° B．75° C．105° D．120°【答案】C【解答】解：由題意得，sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，即sinA＝，＝cosB，解得，∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，故選：C．【題型4同角三角函數(shù)的關(guān)系】【典例4】（2023秋?沙坪壩區(qū)校級月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，則tanA的值為（）A． B． C． D．8【答案】A【解答】解：由題意，得cosA＝，sinA＝＝＝，tanA＝＝＝2．故選：A．【變式4-1】（2023?泉州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則cosA的值等于（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵sinA＝sinA＝，∴可設(shè)a＝3，c＝5，由勾股定理可求得b＝4，∴cosA＝＝，故選：B．【變式4-2】（2022秋?淥口區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，則sinA的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：如圖，∵∠C＝90°，cosA＝，∴設(shè)AC＝5k，AB＝13k，根據(jù)勾股定理得，BC＝＝＝12k，所以，sinA＝＝＝．故選：D．【變式4-3】（2022秋?石景山區(qū)校級期末）在△ABC中，∠C＝90°，，則sinA的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，＝，設(shè)BC＝3a，則AC＝4a，∴AB＝＝5a，∴sinA＝＝，故選：C．【題型5互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系】【典例5】（2023秋?南崗區(qū)校級月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，則tanB等于（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴cosA＝，tanB＝，a2+b2＝c2，∵cosA＝，設(shè)b＝2x，則c＝3x，a＝x．∴tanB＝＝．故選：C．【變式5-1】（2022秋?磴口縣校級期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則cosB的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，，∴．故選：C．【變式5-2】（2023春?普陀區(qū)期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則cosB＝（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵sinA＝，∴cosB＝sinA＝，故選：A．【變式5-3】（2022秋?太康縣期末）在三角形ABC中，∠C為直角，sinA＝，則tanB的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，則∠A+∠B＝90°，cosB＝sinA＝．sinB＝＝，tanB＝＝＝，故選：A．【變式5-4】（2022秋?池州期末）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，則sinB的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：設(shè)Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，由于tanA＝＝2，可設(shè)a＝2k，b＝k，由勾股定理得，c＝＝5k，∴sinB＝＝，故選：A．【題型6三角函數(shù)的計算】【典例6】（2023秋?聊城月考）計算：（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°；（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．【答案】（1）；（2）2+．【解答】解：（1）原式＝2×﹣+×＝﹣+＝；（2）原式＝﹣1+2×﹣++（）2＝﹣1++3＝2+．【變式6-1】（2022秋?浦東新區(qū)期末）計算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：原式＝4×﹣2××+＝2﹣1+2＝2+1．【變式6-2】（2022秋?濟南期末）計算：sin30°﹣tan30°?tan60°+cos245°．【答案】0．【解答】解：原式＝﹣×+（）2＝﹣1+＝0．【變式6-3】（2023?虹口區(qū)一模）計算：cos245°﹣+cot230°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：原式＝（）2﹣+（）2＝﹣+3＝．1．（2021?云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，則AB的長是（）A． B． C．60 D．80【答案】D【解答】解：在直角三角ABC中，∵AC＝100，sinA＝，∴BC＝60，∴AB＝＝80，故選：D．2．（2021?天津）tan30°的值等于（）A． B． C．1 D．2【答案】A【解答】解：tan30°＝．故選：A．3．（2019?懷化）已知∠α為銳角，且sinα＝，則∠α＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【解答】解：∵∠α為銳角，且sinα＝，∴∠α＝30°．故選：A．4．（2022?濱州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則sinA的值為．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13，∴sinA＝．故答案為：．5．（2022?廣東）sin30°＝．【答案】．【解答】解：sin30°＝．故答案為：．6．（2022?荊門）計算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1，故答案為：﹣1．7．（2022?金華）計算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3＝1﹣2+2+3＝4．一．選擇題（共8小題）1．已知，則∠A＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解答】解：由題意，得∠A＝60°，故選：C．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，那么cosA的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，∴∠A＝30°，∴，故選B．3．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么∠A的正弦值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴sinA＝＝，故選：D．4．如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，B，C均在格點上，則tanC的值是（）A．2 B． C．1 D．【答案】B【解答】解：如圖在Rt△ACD中，tanC＝，故選：B．5．已知△ABC中，sinA＝，tanB＝1，則△ABC的形狀（）A．一定是銳角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是鈍角三角形 D．無法確定【答案】C【解答】解：由sinA＝，得∠A＝30°，tanB＝1，得∠B＝45°，∠C＝180°﹣45°﹣30°＝105°，故是鈍角三角形，故選：C．6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正確的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosB＝【答案】A【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A+∠DCA＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴sinA＝sin∠BCD＝，故選：A．7．已知α為銳角，且sin（α﹣10°）＝，則α等于（）A．70° B．60° C．50° D．30°【答案】A【解答】解：∵sin（α﹣10°）＝，∴α﹣10°＝60°，∴α＝70°．故選：A．8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正確的是（）A．sinB＝ B．cosB＝ C．tanB＝ D．tanB＝【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴AB＝＝，則sinB＝＝＝，cosB＝＝＝，tanB＝＝，故選：C．二．填空題（共2小題）9．c