第27章《相似》（教師版）

20232024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級下冊易錯題真題匯編（提高版）第27章《相似》考試時間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?中牟縣二模）神奇的自然界中處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識．如圖是古希臘時期的帕提農(nóng)神廟（ParthenonTemple），我們把圖中的虛線表示為矩形ABCD，并發(fā)現(xiàn)AD：DC≈0.618，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（）A．平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對稱 D．黃金分割解：神奇的自然界中處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識．如圖是古希臘時期的帕提農(nóng)神廟（ParthenonTemple），我們把圖中的虛線表示為矩形ABCD，并發(fā)現(xiàn)AD：DC≈0.618，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的黃金分割，故選：D．2．（2分）（2023?龍華區(qū)一模）下列說法正確的是（）A．若點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB＝2，則AC＝﹣1 B．平面內(nèi)，經(jīng)過矩形對角線交點(diǎn)的直線，一定能平分它的面積 C．兩個正六邊形一定位似 D．菱形的兩條對角線互相垂直且相等解：A、若點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB＝2，當(dāng)AC＞BC時，AC＝﹣1，當(dāng)AC＜BC時，AC＝3﹣，本選項說法錯誤；B、平面內(nèi)，經(jīng)過矩形對角線交點(diǎn)的直線，一定能平分它的面積，本選項說法正確；C、兩個正六邊形不一定位似，本選項說法錯誤；D、菱形的兩條對角線互相垂直，但不一定相等，本選項說法錯誤；故選：B．3．（2分）（2023?沙依巴克區(qū)模擬）如圖，兩個全等的四邊形ABCD和OA′B′C′，其中四邊形OA′B′C′的頂點(diǎn)O位于四邊形ABCD的對角線交點(diǎn)O．若四邊形ABCD和OA′B′C′都是矩形，AD＝a，DC＝b，則下列數(shù)量關(guān)系中正確的是（）A．OE＝OF B． C．BE+BF＝DB D．重疊部分的面積始終等于四邊形ABCD的解：過O點(diǎn)作OM⊥AB于M點(diǎn)，ON⊥BC于N點(diǎn)，如圖，∵四邊形ABCD和OA′B′C′都是矩形，∴∠ABC＝∠EOF＝90°，OA＝OB＝OC，∴AM＝BM，CN＝BN，四邊形OMBN為矩形，∴OM＝AD＝a，ON＝CD＝b，∠MON＝90°，∵∠MOE+∠EON＝90°，∠EON+∠NOF＝90°，∴∠MOE＝∠NOF，∵∠OME＝∠ONF＝90°，∴△OME∽△ONF，∴＝＝＝，所以B選項符合題意；只有當(dāng)四邊形ABCD為正方形時，△OME≌△ONF，則OE＝OF，則△AOE≌△BOF，此時AE＝BF，所以BE+BF＝BE+AE＝AB＝BD，四邊形OEBF的面積等于三角形OAB的面積，即重疊部分的面積始終等于四邊形ABCD的，所以A選項、C選項、D選項不符合題意．故選：B．4．（2分）（2023?遵義三模）公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》系統(tǒng)地論述了黃金分割，稱為最早的有關(guān)黃金分割的論著．“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．如圖，點(diǎn)C把線段AB分成兩份，如果BC：AC＝AC：AB，那么稱點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)．冬奧會吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可愛，活潑，他泛著可愛笑容的嘴巴位于黃金分割點(diǎn)處，若玩偶身高2m，則玩偶嘴巴離地高度是（）m．A． B． C． D．解：∵他泛著可愛笑容的嘴巴位于黃金分割點(diǎn)處，玩偶身高2m，∴玩偶嘴巴離地高度＝×2＝（﹣1）m，故選：D．5．（2分）（2023?安徽模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2BC，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥DE交AB于點(diǎn)G，則下列結(jié)論正確的是（）A．AG＝GF B． C． D．解：在矩形ABCD中，AB＝2BC，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，∴DA＝AE＝BE＝BC，AB∥DC，∴△DCF∽△EAF，∴DF：FE＝DC：AE＝2，即DF＝2EF，故B不符合題意；∵DF＝2EF，∴EF＝DE，在Rt△ADE中，∠DAE＝90°，DA＝EA，∴∠ADE＝∠AED＝45°，DE＝AE，則AE＝EF，∵FG⊥DE，∴△EFG為等腰直角三角形，即EF＝FG，GE＝EF，∴AG＝AE﹣GE＝EF﹣EF＝EF≠GF，故A不符合題意；∴AG+FG＝EF+EF＝EF，在Rt△ADG中，∠DAG＝90°，DA＝EA＝EF，AG＝EF，∴DG＝EF，∴AG+FG≠DG，故C不符合題意；∵AG＝EF，GE＝EF，∴＝＝，即AG＝AE，∵AE＝DC，∴＝＝，即AG＝DC，故D符合題意；故選：D．6．（2分）（2023?蓮都區(qū)一模）如圖，測量小玻璃管口徑的量具ABC，AB的長為3cm，AC被分為5等份．若小玻璃管口DE正好對著量具上2等份處（DE∥AB），那么小玻璃管口徑DE的長為（）A． B．2cm C． D．1cm解：∵DE∥AB，∴∠BAC＝∠EDC，∠B＝∠CED，∴△ABC∽△DEC，∴＝，∴＝，∴DE＝，故選：A．7．（2分）（2023?開福區(qū)校級二模）我們把頂角為36°的等腰三角形稱為“黃金三角形”，它的底與腰的比值為．如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，若BC＝2，則CD的長為（）?A． B． C． D．解：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BC＝BD，∴△BDC是“黃金三角形”，∴＝，∵BC＝2，∴DC＝﹣1，故選：A．8．（2分）（2023?昆明模擬）在設(shè)計人體雕像時，為了增加視覺美感，會使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比等于下部與全部的高度比等于（≈0.618，稱為黃金分割比例），按此比例設(shè)計一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計高度是（）A． B． C． D．解：∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比等于下部與全部的高度比等于，∴該雕像的下部設(shè)計高度＝×2＝（﹣1）m，故選：A．9．（2分）（2023?防城區(qū)二模）如圖，已知，M，N分別為銳角∠AOB的邊OA，OB上的點(diǎn)，ON＝6，把△OMN沿MN折疊，點(diǎn)O落在點(diǎn)C處，MC與OB交于點(diǎn)P，若MN＝MP＝5，則PN＝（）A．2 B．3 C． D．解：∵M(jìn)N＝MP，∴∠MNP＝∠MPN，∴∠CPN＝∠ONM，由折疊可得，∠ONM＝∠CNM，CN＝ON＝6，∴∠CPN＝∠CNM，又∵∠C＝∠C，∴△CPN∽△CNM，＝，即CN2＝CP×CM，∴62＝CP×（CP+5），解得CP＝4，又∵＝，∴＝，∴PN＝，故選：D．10．（2分）（2021秋?寧安市期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E為CD的中點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F，連接CF，∠AFD＝90°，則下列結(jié)論：①∠AED＝∠OBC；②AF＝CF③S△ADF＝S△AFC；④CD2＝4AE?EF，其中正確結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：①∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ADC＝90°，AD∥BC，∴∠DAE+∠AED＝90°，∠ADB＝∠OBC，∵∠AFD＝90°∴∠DAE+∠ADB＝90°，∴∠DAE+∠OBC＝90°，∴∠AED＝∠OBC，即①正確；②∵∠ADF+∠EDF＝90°，∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠EDF＝∠DAF，∵∠ADE＝∠AFD＝90°，∴△DAE∽△FDE，∴DE：FE＝AE：DE，又∵DE＝EC，∴EC：FE＝AE：EC，∵∠AEC＝∠FEC，∴△AEC∽△CEF，∴∠FAC＝∠ECF，∵∠ACF＝∠ECF不一定成立，∴∠ACF＝∠FAC不一定成立，∴AF不一定等于FC，即②錯誤；③如圖，過C作CH⊥AE交AE的延長線于H，∴∠DFE＝∠CHE＝90°，∠DEF＝∠CEH，∵DE＝CE，∴△DEF≌△CEH（AAS），∴DF＝CH，∴AF?DF＝AF?CH，∴S△ADF＝S△AFC；④由②得出DE：FE＝AE：DE，即DE2＝AE?EF，∵DE＝CD，∴（）2＝AE?EF，即CD2＝4AE?EF，故④正確；綜上，正確的有3個．故選：C．二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）11．（2分）（2023春?廣饒縣期末）△ABC中，AB＝9cm，AC＝6cm，D是AC上的一點(diǎn)，且AD＝2cm，過點(diǎn)D作直線DE交AB于點(diǎn)E，使所得的三角形與原三角形相似，則AE＝或3cm．解：①如圖2，當(dāng)△ADE∽△ABC時，有AD：AE＝AB：AC∵AB＝9cm，AC＝6cm，AD＝2cm∴AE＝cm；②如圖1，當(dāng)△AED∽△ABC時，有AD：AE＝AC：AB∵AB＝9cm，AC＝6cm，AD＝2cm∴AE＝3cm∴AE為cm或3cm．12．（2分）（2023?灞橋區(qū)模擬）“黃金分割”被視為最美麗的幾何學(xué)比率，在建筑、藝術(shù)和日常生活中處處可見．主持人站在舞臺的黃點(diǎn)分割位置會更自然得體，如圖，舞臺長AB＝10米，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（即），則BC的長是（15﹣5）米．解：∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（即），AB＝10米，∴AC＝AB＝×10＝（5﹣5）米，∴BC＝AB﹣AC＝10﹣（5﹣5）＝10﹣5+5＝（15﹣5）米，故答案為：（15﹣5）米．13．（2分）（2023?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)為O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)作△OCD，使它與△OAB位似，且相似比為，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣，﹣1）．解：∵以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)作△OCD，使它與△OAB位似，且相似比為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3），∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣，﹣1），故答案為：（﹣，﹣1）．14．（2分）（2022秋?包頭期末）如圖，在“黃金三角形”ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，若CD＝1，則AC的長為．（頂角為36°，兩底角分別為72°的等腰三角形就是黃金三角形）解：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BD＝BC，∴△BCD是黃金三角形，∴＝，∵CD＝1，∴BD＝，∴AD＝BD＝，∴AC＝AD+CD＝+1＝，故答案為：．15．（2分）（2023?小店區(qū)校級模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，連接CD交AE于點(diǎn)F．若AC＝5，BC＝12，則EF的長是．?解：過點(diǎn)E作EG⊥AB，垂足為G，過點(diǎn)D作DH∥BC，交AE于點(diǎn)H，∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，∵AE平分∠BAC，∴EC＝EG，∵△ABC的面積＝△ACE的面積+△ABE的面積，∴AC?BC＝AC?CE+AB?EG，∴AC?BC＝AC?CE+AB?EG，∴5×12＝5CE+13EG，∴CE＝CG＝，∴BE＝BC﹣CE＝，在Rt△ACE中，AE＝＝＝，∵D是AB的中點(diǎn)，DH∥BC，∴AH＝HE＝AE＝，∴DH是△ABE的中位線，∴DH＝BE＝，∵DH∥CE，∴∠DHF＝∠CEF，∠HDF＝∠ECF，∴△DHF∽△CEF，∴＝＝＝，∴EF＝EH＝×＝，故答案為：．16．（2分）（2023?大同模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝18，D為AB上一點(diǎn)，且BD＝2AD，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，AF與DE交于點(diǎn)G，則AG的長為．解：過點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H，∵AB＝AC＝15，BC＝18，AF⊥BC，∴BF＝CF＝BC＝9，∴AF＝＝＝12，∵AF⊥BC，BH⊥AC，∴∠AFC＝∠AFB＝∠BHC＝90°，∴∠C+∠FAC＝90°，∠C+∠HBC＝90°，∴∠HBC＝∠FAC，∴△BFP∽△AFC，∴＝，∴＝，∴FP＝，∴AP＝AF﹣FP＝，∵BD＝2AD，∴＝，∵DE⊥AC，BH⊥AC，∴DE∥BH，∴∠ADG＝∠ABP，∠AGD＝∠APB，∴△ADG∽△ABP，∴＝，∴＝，∴AG＝，故答案為：．17．（2分）（2023?達(dá)州）如圖，樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個端點(diǎn)A，B固定在樂器面板上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)C，D之間的距離為（80﹣160）cm．（結(jié)果保留根號）?解：∵點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，AB＝80cm，∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∵點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，AB＝80cm，∴DB＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40﹣40）﹣80＝（80﹣160）cm，∴支撐點(diǎn)C，D之間的距離為（80﹣160）cm，故答案為：（80﹣160）．18．（2分）（2023?濰坊三模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，延長AB至D，使得BD＝AB，點(diǎn)P為動點(diǎn)，且PB＝PC，連接PD，則PD的最小值為．?解：如圖：∵AB＝AC＝10，PB＝PC，∴直線AP是BC的垂直平分線，∴BE＝BC＝3，BC⊥AP，∴當(dāng)DP⊥AP時，DP最短，∴∠APD＝∠AEB＝90°，∵BD＝AB，∴AD＝AB＝15，∵∠EAB＝∠PAD，∴△AEB∽△APD，∴＝，∴＝，∴DP＝，∴PD的最小值為，故答案為：．三．解答題（共9小題，滿分64分）19．（6分）（2023春?高新區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊運(yùn)動，速度為2cm/s；動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動，速度為4cm/s；如果P、Q兩動點(diǎn)同時運(yùn)動，那么何時△QBP與△ABC相似？解：設(shè)經(jīng)過t秒時，以△QBP與△ABC相似，則AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米，∵∠PBQ＝∠ABC，∴當(dāng)＝時，△BPQ∽△BAC，即＝，解得t＝2（s）；當(dāng)＝時，△BPQ∽△BCA，即＝，解得t＝0.8（s）；即經(jīng)過2秒或0.8秒時，△QBP與△ABC相似．20．（6分）（2023?靖邊縣校級模擬）銅川市【銅川1958】雕塑群體展現(xiàn)了銅川1958年因煤設(shè)市、因煤而興的一個時代的記憶．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)計劃測量雕塑上方人物銅像的高度AB．如圖，小組同學(xué)在D處豎立一根可伸縮的標(biāo)桿，甲站在G處恰好看到標(biāo)桿頂端E和人物銅像底端B在一條直線上，DG＝3米，CD＝33米；甲站在G處不動，小組同學(xué)調(diào)整標(biāo)桿的高度，當(dāng)標(biāo)桿的頂點(diǎn)恰好在F處時，甲看到標(biāo)桿頂端F和人物銅像頂端A在一條直線上，EF＝1米，AC⊥CG，F(xiàn)D⊥CG，HG⊥CG，點(diǎn)B在AC上，點(diǎn)E在DF上，點(diǎn)C、D、G在一條水平線上，請根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)與方法求出人物銅像的高度AB．?解：過點(diǎn)H作HM⊥DF，垂足為M，并延長HM交AC于點(diǎn)N，由題意得：NC＝MD＝HG，HM＝DG＝3米，CD＝NM＝33米，∴HN＝HM+NM＝36（米），∵∠BNH＝∠EMH＝90°，∠BHN＝∠EHM，∴△BNH∽△EMH，∴＝，∴EM?NH＝BN?MH，∵∠ANH＝∠FMH＝90°，∠AHN＝∠FHM，∴△ANH∽△FMH，∴＝，∴＝，∴MH（AB+BN）＝NH（EF+EM），∴MH?AB+MH?BN＝NH?EF+NH?EM，∴MH?AB＝NH?EF，∴3AB＝36×1，∴AB＝12米，∴人物銅像的高度AB為12米．21．（6分）（2022?拱墅區(qū)校級二模）如圖．已知BD是∠ABC的角平分線，E是BD延長線上的一點(diǎn)且AE＝AB．（1）求證：△ADE∽△CDB；（2）若AB＝6，BD＝4，DE＝5，求BC的長．（1）證明：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠CBD．∵AB＝AE，∴∠ABD＝∠E．∴∠E＝∠CBD．∵∠EDA＝∠BDC，∴△ADE∽△CDB．（2）解：∵AE＝AB，AB＝6，∴AE＝6．∵△ADE∽△CDB，∴＝．∵BD＝4，DE＝5，∴＝．∴BC＝．22．（6分）（2021秋?峨邊縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AC向C以2cm/s的速度移動，到C即停，點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿CB向B以1cm/s的速度移動，到B就停．（1）若P、Q同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘S△PCQ＝2cm2；（2）若點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)2s后點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，再經(jīng)過幾秒△PCQ與△ACB相似．解：（1）設(shè)經(jīng)過t秒鐘S△PCQ＝2cm2，由題意得，AP＝2t，CQ＝t，則PC＝8﹣2t，由題意得，×（8﹣2t）×t＝2，整理得，t2﹣4t+2＝0解得，t＝2±，則P、Q同時出發(fā)，經(jīng)過（2±）秒鐘S△PCQ＝2cm2；（2）設(shè)再經(jīng)過n秒△PCQ與△ACB相似由題意得，AP＝2n，CQ＝2+n，則PC＝8﹣2n，當(dāng)△PCQ∽△ACB時，＝，即＝，解得，n＝1.6，當(dāng)△PCQ∽△BCA時，＝，即＝，解得，n＝，綜上所述，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)2s后點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，再經(jīng)過1.6秒或秒秒△PCQ與△ACB相似．23．（8分）（2023?蒲城縣模擬）常樂寶塔（如圖1），本名金陵寺寶塔，是一座典型宋代磚塔．某數(shù)學(xué)小組為了測量常樂寶塔的高度，利用休息時間進(jìn)行了實地測量：如圖2，首先把長為2米的標(biāo)桿CD垂直立于地面上的點(diǎn)C處，當(dāng)塔尖B、標(biāo)桿頂端D與地面上的點(diǎn)E在同一直線上時，EC＝3米；再將標(biāo)桿沿AC方向平移11米至點(diǎn)G處（即CG＝11米，GH＝2米），當(dāng)塔尖B、標(biāo)桿頂端H與地面上的點(diǎn)F在同一直線上時，F(xiàn)G＝4米，已知BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF，點(diǎn)A、C、E、G、F在同一水平直線上，請你幫助這個數(shù)學(xué)小組求出常樂寶塔的高度AB．解：∵BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF，∴∠BAC＝∠DCE＝∠HGF＝90°，∵∠DEC＝∠BEA，∴△EDC∽△EBA，∴＝，∴＝，∵∠HFG＝∠BFA，∴△HFG∽△BFA，∴＝，∴＝，∴＝，∴AC＝33米，∴＝，∴AB＝24米，∴常樂寶塔的高度AB為24米．24．（8分）（2022秋?甘井子區(qū)期末）【閱讀理解】小白同學(xué)遇到這樣一個問題：△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，延長DE、AC交于點(diǎn)F，DE＝EF，AB＝5，求AE的長．小白的想法是：過點(diǎn)E作EH∥BC交AC于H，再通過相似三角形的性質(zhì)得到AE、BE的比，從而得出AE的長，請你按照小白的思路完成解答．【解決問題】請借助小白的解題經(jīng)驗，完成下面問題：△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E為AB邊上一點(diǎn)，AE＝AD，H、Q為BC上兩點(diǎn)，CQ＝DH，DQ＝mDH，G為AC上一點(diǎn)，連接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD＝180°，猜想并驗證EP與GH的數(shù)量關(guān)系．解：【閱讀理解】如圖1，過點(diǎn)E作EH∥BC交AC于H，∴∠FEH＝∠FDC，∠FHE＝∠C，∴△FEH∽△FDC，∴，∵DE＝EF，∴，∵BD＝DC，∴，同理得：△AEH∽△ABC，∴，∵AB＝5，∴AE＝；【解決問題】猜想：＝，理由是：如圖2，過D作DM∥GH，交AC于M，∴∠CMD＝∠CGH，∠CDM＝∠CHG，∴△CDM∽△CHG，∴，設(shè)DH＝CQ＝x，則DQ＝mx，∴＝＝，∵AD平分∠BAC，∴∠EAP＝∠DAM，∵∠EFG+∠EAD＝180°，∴∠AEP+∠ANF＝180°，∵GH∥DM，∴∠ADM+∠DNG＝∠ADM+∠ANF＝180°，∴∠ADM＝∠AFP，∵AE＝AD，∴△AEP≌△ADM，∴EP＝DM，∴＝．25．（8分）（2022秋?惠來縣期末）綜合實踐活動在現(xiàn)實生活中，對于較高的建筑物，人們通常用圖形相似的原理測量建筑物的高度．如圖，九（1）班數(shù)學(xué)活動小組的同學(xué)們在綜合實踐課里測量學(xué)校里一棟教學(xué)樓MN的高度，他們在教學(xué)樓前的D處豎立一個長度為4米的直桿CD，測得DN等于18米，讓同學(xué)調(diào)整自己的位置，使得他直立時眼睛A、直桿頂點(diǎn)C和高樓頂點(diǎn)M三點(diǎn)共線．此時測量人與直桿的距離BD＝3.2米，眼睛高度AB＝1.6米．請你根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)求出這棟教學(xué)樓MN的高度．解：如圖：過點(diǎn)A作AH⊥MN于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)E，則四邊形ABDE，四邊形ABNH都是矩形．∴NH＝DE＝AB＝1.6米，AE＝BD＝3.2米，EH＝DN＝18米，∵CD＝4米，∴CE＝CD﹣DE＝4﹣1.6＝2.4（米），∵CE∥MH，∴△ACE∽△AMH，∴＝，∴＝，∴MH＝15.9（米），∴MN＝MH+NH＝15.9+1.6＝17.5（米）．答：這棟教學(xué)樓MN的高度是17.5米．26．（8分）（2022秋?濟(jì)陽區(qū)期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，D是AB的中點(diǎn)．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AC以每秒2個單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒．（1）當(dāng)t為多少秒時，以點(diǎn)A、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？（2）若△APD為鈍角三角形，請直接寫出t的取值范圍．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8，∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD＝AB＝5，根據(jù)題意可知：AP＝2t，則PC＝AC﹣AP＝8﹣2