第21章《一元二次方程》（教師版）

20232024學年人教版數(shù)學九年級上冊易錯題真題匯編（提高版）第21章《一元二次方程》考試時間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022春?錢塘區(qū)期末）已知關于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，則下列說法正確的是（）A．不存在k的值，使得方程有兩個相等的實數(shù)解 B．至少存在一個k的值，使得方程沒有實數(shù)解 C．無論k為何值，方程總有一個固定不變的實數(shù)根 D．無論k為何值，方程有兩個不相等的實數(shù)根解：關于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，Δ＝（k+3）2﹣4×1×（k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，A、當k＝﹣1時，Δ＝0，此時方程有兩個相等的實數(shù)解，故此選項錯誤；B、因為Δ≥0，所以不存在k的值，使得方程沒有實數(shù)解．故此選項錯誤；C、解方程得：x1＝﹣1，x2＝﹣k﹣2，所以無論k為何值，方程總有一個固定不變的實數(shù)根﹣1，故此選項正確；D、當k≠﹣1時，方程有兩個不相等的實數(shù)解，故此選項錯誤；故選：C．2．（2分）（2022春?東陽市期末）若關于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍為（）A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥且k≠1解：根據(jù)題意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）×（k﹣3）≥0，解得k≥且k≠1．故選：D．3．（2分）（2022秋?建鄴區(qū)期中）關于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一個實數(shù)根為2022，則方程cx2+bx＝a一定有實數(shù)根（）A．2022 B． C．﹣2022 D．﹣解：∵關于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一個實數(shù)根為2022，∴20222a+2022b＝c，∴a+＝，∴﹣＝a，∴x＝﹣是方程cx2+bx＝a的實數(shù)根．故選：D．4．（2分）（2022?章丘區(qū)二模）已知等腰△ABC的底邊長為3，兩腰長恰好是關于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的兩根，則△ABC的周長為（）A．6.5 B．7 C．6.5或7 D．8解：∵兩腰長恰好是關于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的兩根，∴Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×k×6＝0，解得k＝3，∴一元二次方程為x2﹣6x+6＝0，∴兩腰之和為＝4，∴△ABC的周長為4+3＝7，故選：B．5．（2分）（2022秋?江北區(qū)期末）對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說法：①若a+b+c＝0，則b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有兩個不相等的實根，則方程ax2+bx+c＝0必有兩個不相等的實根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則⑤存在實數(shù)m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；其中正確的（）A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③解：①若a+b+c＝0，則x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正確；②∵方程ax2+c＝0有兩個不相等的實根，∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0，則方程ax2+bx+c＝0的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有兩個不相等的實根，故②正確；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正確；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則由求根公式可得：x0＝或x0＝∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣∴故④正確．⑤令y＝ax2+bx+c，則存在實數(shù)m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；正確．故選：B．6．（2分）（2023?沂源縣一模）關于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的兩個根x1，x2滿足x1＝2x2+3，且x1＞x2，則m的值為（）A．﹣3 B．1 C．3 D．9解：∵x2﹣2mx+m2＝4，∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0，∵x1＞x2，∴x1＝m+2，x2＝m﹣2，∵x1＝2x2+3，∴m+2＝2（m﹣2）+3，解得m＝3．故選：C．7．（2分）（2023?古丈縣一模）實數(shù)a，b，c滿足a﹣b+c＝0，則（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0解：設一元二次方程為ax2+bx+c＝0當x＝﹣1時，原方程化為a﹣b+c＝0所以一元二次方程為ax2+bx+c＝0有實數(shù)根，所以b2﹣4ac≥0．故選：C．8．（2分）（2022?路北區(qū)校級一模）定義[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，則方程2[x]＝x2的解為（）A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2解：∵x2≥0，∴x≥0，①0≤x＜1時，x2＝0，解得x＝0；②1≤x＜2時，x2＝2，解得x＝或x＝﹣（舍）；③2≤x＜3時，x2＝4，解得x＝2或x＝﹣2（舍）；④x≥3時，方程無解；綜上所述：方程的解為x＝0或x＝2或x＝，故選：D．9．（2分）（2021?武進區(qū)校級自主招生）設關于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．解：方法1、∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，則a≠0且Δ＞0，由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣＜a＜，∵x1+x2＝﹣，x1x2＝9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9++1＜0，解得＜a＜0，最后a的取值范圍為：＜a＜0．故選D．方法2、由題意知，a≠0，令y＝ax2+（a+2）x+9a，由于方程的兩根一個大于1，一個小于1，∴拋物線與x軸的交點分別在1兩側，當a＞0時，x＝1時，y＜0，∴a+（a+2）+9a＜0，∴a＜﹣（不符合題意，舍去），當a＜0時，x＝1時，y＞0，∴a+（a+2）+9a＞0，∴a＞﹣，∴﹣＜a＜0，故選：D．10．（2分）（2023春?龍口市期末）已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3，1，則方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的兩根分別為（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3，1，∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，解得：x＝﹣1或3，即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的兩根分別為﹣1和3，故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022?海曙區(qū)自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）＝0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)k的取值范圍是3＜k≤4．解：由題意，得：x﹣1＝0，x2﹣2x+＝0；設x2﹣2x+＝0的兩根分別是m、n（m≥n）；則m+n＝2，mn＝；m﹣n＝＝；根據(jù)三角形三邊關系定理，得：m﹣n＜1＜m+n，即＜1＜2；∴，解得3＜k≤4．12．（2分）（2021?黃州區(qū)校級自主招生）方程x2+mx﹣1＝0的兩根為x1，x2，且，則m＝﹣3．解：∵方程x2+mx﹣1＝0的兩根為x1，x2，∴Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）≥0，m2+4＞0，由題意得：x1?x2＝﹣1；x1+x2＝﹣m，∵，∴＝﹣3，＝﹣3，m＝﹣3，故答案為：﹣3．13．（2分）（2021秋?什邡市校級期中）已知關于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，則關于x的方程m（x+a﹣2）2+n＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3．解：∵關于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，∴方程m（x+a﹣2）2+n＝0可變形為m[（x﹣2）+a]2+n＝0，∵此方程中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，解得x1＝﹣1或x2＝3．故答案為：x1＝﹣1，x2＝3．14．（2分）（2023?靖江市模擬）已知x、y為實數(shù)，且滿足x2﹣xy+y2＝2，記W＝x2+xy+y2的最大值為M，最小值為m，則M+m＝6．解：∵x2﹣xy+y2＝2，∴x2+y2＝xy+2，xy＝x2+y2﹣2，∴W＝x2+xy+y2＝2xy+2，∵3xy＝2xy+（x2+y2﹣2）＝（x+y）2﹣2≥﹣2，當且僅當x＝﹣y，即x＝，y＝﹣或x＝﹣，y＝時等號成立．∴xy的最小值為﹣，W＝x2+xy+y2＝2xy+2的最小值為，即m＝．∵xy＝2xy﹣（x2+y2﹣2）＝2﹣（x﹣y）2≤2，當且僅當x＝y(tǒng)，即x＝，y＝或x＝﹣，y＝﹣時等號成立．∴xy的最大值為2，W＝x2+xy+y2＝2xy+2的最大值為6，即M＝6，∴M+m＝+6＝6．故答案為：6．15．（2分）（2022秋?寬甸縣校級月考）對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說法：①若a+b+c＝0，則b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有兩個不相等的實根，則方程ax2+bx+c＝0必有兩個不相等的實根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則一定有ac+b+1＝0成立；④若x1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則b2﹣4ac＝（2ax1+b）2．其中正確的A．A．只有①②④B．只有①②③C．①②③④D．只有①②解：①當x＝1時，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個不相等的實數(shù)根或有兩個相等的實數(shù)根，此時b2﹣4ac≥0成立，那么①一定正確．②方程ax2+c＝0有兩個不相等的實根，則﹣4ac＞0，那么b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有兩個不相等的實根，進而推斷出②正確．③由c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，得ac2+bc+c＝0．當c≠0，則ac+b+1＝0；當c＝0，則ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正確．④（2ax1+b）2＝4a2x12+b2+4abx1，由b2﹣4ac＝4a2x12+b2+4abx1，得ax12+bx1+c＝0．由x1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則ax12+bx1+c＝0成立，那么④正確．綜上：說法正確的有①②④．故選：A．16．（2分）（2023?沂源縣一模）如果恰好只有一個實數(shù)a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，則k的值為±3或﹣5．解：①當原方程是一個一元一次方程時，方程只有一個實數(shù)根，則k2﹣9＝0，解得k＝±3，②如果方程是一元二次方程時，則方程有兩個相等的實數(shù)根，即Δ＝b2﹣4ac＝0，即：4（k+1）2﹣4（k2﹣9）＝0解得：k＝﹣5．故答案為±3或﹣5．17．（2分）（2023春?定遠縣期中）如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關于倍根方程的說法，正確的有②③④（填序號）①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：則4m2+5mn+n2＝0；③若p，q滿足pq＝2，則關于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，則必有2b2＝9ac．解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；故①不正確；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，因此x2＝1或x2＝4，當x2＝1時，m+n＝0，當x2＝4時，4m+n＝0，∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，故②正確；③∵pq＝2，則：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，∴x1＝﹣，x2＝﹣q，∴x2＝﹣q＝﹣＝2x1，因此是倍根方程，故③正確；④方程ax2+bx+c＝0的根為：x1＝，x2＝，若x1＝2x2，則，＝×2，即，﹣×2＝0，∴＝0，∴＝0，∴3＝﹣b∴9（b2﹣4ac）＝b2，∴2b2＝9ac．若2x1＝x2時，則，×2＝，即，則，×2﹣＝0，∴＝0，∴﹣b+3＝0，∴b＝3，∴b2＝9（b2﹣4ac），∴2b2＝9ac．故④正確，故答案為：②③④18．（2分）（2022?隨縣一模）已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的兩根，則（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝7．解：∵m、n是方程x2+2x﹣1＝0的兩根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝（m2+2m﹣1+m+4）（n2+2n﹣1+n+4）＝（m+4）（n+4）＝mn+4（m+n）+16＝﹣1+4×（﹣2）+16＝7，故答案為：7．19．（2分）（2021秋?堯都區(qū)期末）五個完全相同的小長方形拼成如圖所示的大長方形，大長方形的面積是135cm2，則以小長方形的寬為邊長的正方形面積是9cm2．解：設小長方形的長為xcm，寬為xcm，根據(jù)題意得：（x+2×x）?x＝135，解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），則x＝3．所以3×3＝9（cm2）．故答案為：9．20．（2分）（2021秋?湟源縣校級月考）某商品成本價為360元，兩次降價后現(xiàn)價為160元，若每次降價的百分率相同，則降價的百分率是33.3%．解：設降價的百分率是x則，360×（1﹣x）2＝160，解之得x＝≈33.3%，答：降價的百分率是33.3%．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023春?寧波期末）解下列方程：（1）（x﹣4）2＝9；（2）2x2﹣5x+3＝0．解：（1）（x﹣4）2＝9，x﹣4＝±3，x﹣4＝3或x﹣4＝﹣3，x1＝7，x2＝1；（2）2x2﹣5x+3＝0，（x﹣1）（2x﹣3）＝0，x﹣1＝0或2x﹣3＝0，x1＝1，x2＝．22．（6分）（2022?十堰）已知關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．（1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根分別為α，β，且α+2β＝5，求m的值．（1）證明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1?（﹣3m2）＝4+12m2＞0，∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：由題意得：，解得：，∵αβ＝﹣3m2，∴﹣3m2＝﹣3，∴m＝±1，∴m的值為±1．23．（8分）（2021秋?撫州期末）如圖，甲地、乙地分別是馨雨和馨望兩家的自留地，他們兩家都用來種西瓜，兩塊地的四周都是寬度相同的田埂，甲地的面積是240m2．（1）若馨望家地的面積比馨雨家的多了50%，則馨望家地的面積是360m2；（2）在（1）的條件下，求田埂的寬度；（3）若馨雨家今年收獲了1200斤西瓜，種西瓜的成本是0.5元/斤，若以2元/斤進行銷售，每可銷售40斤西瓜，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每斤西瓜降價0.1元，每天就可多銷售10斤西瓜，為了每天獲利90元，且售價不得低于1.5元/斤，問售完所有的西瓜馨雨家能賺多少元？解：（1）240×（1+50%）＝240×1.5＝360．答：馨望家地的面積是360m2，故答案為：360；（2）設田埂的寬度為xm，根據(jù)題意得（33﹣3x）（22﹣2x）＝360+240，即（11﹣x）2＝100，解得：x1＝1，x2＝21（舍去），答：田埂的寬度是2m；（3）設每斤西瓜降價x元，根據(jù)題意得（2﹣x﹣0.5）（40+）＝90，解得：x1＝0，x2＝0.9，當x＝0.9時，2﹣0.9＝1.1＜1.5（不合題意，舍去），即售價為2元/斤，1200×（2﹣0.5）＝4800．答：售完所有的西瓜馨雨家能賺4800元．24．（8分）（2022?大渡口區(qū)模擬）某大型果品批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔堅果，原價每千克64元，連續(xù)兩次降價后每千克49元．（1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；（2）若該堅果每千克盈利10元，每天可售出500千克．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，商場決定采取適當?shù)臐q價措施，若每千克漲價1元，日銷售量將減少40千克．現(xiàn)該商場要保證銷售該堅果每天盈利4500元，且要減少庫存，那么每千克應漲價多少元？解：（1）設每次下降的百分率為a，根據(jù)題意，得：64（1﹣a）2＝49，解得：a1＝1.875（舍去），a2＝0.125＝12.5%，答：每次下降的百分率為12.5%；（2）設每千克應漲價x元，由題意，得：（10+x）（500﹣40x）＝4500，整理，得2x2﹣5x﹣25＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣2.5（不合題意舍去），答：該商場要保證每天盈利4500元，那么每千克應漲價5元．25．（8分）（2022?河南一模）喜萬家超市以原價為20元/瓶的價格對外銷售某種洗手液，為了減少庫存，決定降價銷售，經(jīng)過兩次降價后，售價為16.2元/瓶．（1）求平均每次降價的百分率；（2）為確保新學期開學工作安全、衛(wèi)生、健康、有序，某學校決定購買一批洗手液（超過200瓶），超市對購買量大的客戶有優(yōu)惠措施，在16.2元/瓶的基礎上推出方案一；每瓶打九折；方案二：不超過200瓶的部分不打折，超過200瓶的部分打八折．學校應該選擇哪種方案更省錢（只能選擇一種）？請說明理由．解：（1）設平均每次降價的百分率為x，依題意得：20（1﹣x）2＝16.2，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合題意，舍去）．答：平均每次降價的百分率為10%．（2）設該超市購進m（m＞200）瓶該洗手液，則選擇方案一所需費用為16.2×m×0.9＝14.58m（元），選擇方案二所需費用為16.2×200+16.2×（m﹣200）×0.8＝12.96m+648（元）．當14.58m＞12.96m+648時，解得：m＞400，當14.58m＝12.96m+648時，解得：m＝400；當14.58m＜12.96m+648時，解得：m＜400．∵m＞200，∴200＜m＜400．∴該學校購進洗手液大于400瓶時，選擇方案二合算；該學校購進洗手液等于400瓶時，選擇兩種方案費用相同；該學校購進洗手液大于200瓶小于400瓶時，選擇方案一合算．26．（8分）（2022秋?港北區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，點P從點A開始沿射線AC向點C以2cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點C開始沿邊CB向點B以1cm/s的速度移動．如果P、Q分別從A、C同時出發(fā)，運動的時間為ts，當點Q運動到點B時，兩點停止運動．（1）當點P在線段AC上運動時，P、C兩點之間的距離（6﹣2t）cm．（用含t的代數(shù)式表示）（2）在運動的過程中，是否存在某一時刻，使得△PQC的面積是△ABC面積的．若存在，求t的值；若不存在，說明理由．解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴Rt△ABC中，AC＝6cm，又∵點P從點A開始沿射線AC向點C以2cm/s的速度移動，∴AP＝2t，∴當點P在線段AC上運動時，P、C兩點之間的距離（6﹣2t）cm；故答案為：（6﹣2t）；（2）△ABC的面積為S△ABC＝×6×8＝24，①當0＜t＜3時，PC＝6﹣2t，QC＝t，∴S△PCQ＝PC×QC＝t（6﹣2t），∴t（6﹣2t）＝4，即t2﹣3t+4＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，∴該一元二次方程無實數(shù)根，∴該范圍下不存在；②當3＜t≤8時，PC＝2t﹣6，Q