甘肅省蘭州市第五十中學2022-2023學年高三上學期第一次模擬考試數(shù)學（文科）試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1蘭州市五十中2022-2023學年度第一次模擬考試數(shù)學試卷（文科）考試時間：120分鐘；總分150分注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將〖答案〗正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先將集合和集合中的元素表示出來，再求交集即可.〖詳析〗方程的兩個根為和2，，不等式中，，，，.故選：C.〖『點石成金』〗本題考查集合的交集運算，需要先將兩個集合具體表示出來，是一道基礎(chǔ)題.2.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗化簡已知復(fù)數(shù)z，由共軛復(fù)數(shù)定義可得．〖詳析〗解：化簡可得，的共軛復(fù)數(shù)，故選：B．3.某班有34位同學，座位號記為01至34，用下面的隨機數(shù)表選取5組數(shù)作為參加青年志愿者活動的五位同學的座號．選取方法是從隨機數(shù)表第一行的第6列和第7列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第4個志愿者的座號是A.23 B.09 C.02 D.16〖答案〗D〖解析〗〖詳析〗試題分析:從隨機數(shù)表第一行的第列和第列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字，不超過的依次為：，第四個志愿者的座號為，故選．考點：隨機抽樣．4.＝（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用三角函數(shù)的切化弦結(jié)合正弦二倍角以及輔助角公式對函數(shù)化簡即可得〖答案〗．〖詳析〗解：．故選：A5.《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”.已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中間的實線平分矩形的面積，則該“塹堵”的側(cè)面積為A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖詳析〗分析：還原圖形為倒放三棱柱．詳析：側(cè)面積。選C『點石成金』：簡單幾何體還原，觀察其基本結(jié)構(gòu)．6.等差數(shù)列的前n項和為，且，則數(shù)列的公差d為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗利用等差數(shù)列的通項公式求和公式即可得出．〖詳析〗解：設(shè)數(shù)列的公差為，，，，，聯(lián)立解得：，．故選：．〖『點石成金』〗本題考查了等差數(shù)列的通項公式求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．7.已知向量，，且，則實數(shù)等于（）A.2 B.1 C.－1 D.－2〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗先求出，然后利用向量垂直的坐標運算即可求解.〖詳析〗由題意可得：，又因為，所以，解得：，故選：A.8.函數(shù)的大致圖象是A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)特殊位置的所對應(yīng)的的值，排除錯誤選項，得到〖答案〗.〖詳析〗因所以當時，，故排除A、D選項，而，所以即是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故排除B項，故選C項.〖『點石成金』〗本題考查根據(jù)函數(shù)的〖解析〗式判斷函數(shù)圖象，屬于簡單題.9.，，是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是（）A.若直線，異面，，異面，則，異面B.若直線，相交，，相交，則，相交C.若，則，與所成的角相等D.若，，則〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由空間中直線與直線的位置關(guān)系進行分析判斷即可.〖詳析〗對于A，若直線，異面，，異面，則，可能是平行、相交、異面的任意一種，如在正方體中，與異面，與異面，，或與異面，與異面，與相交于點，或與異面，與異面，與異面，故選項A錯誤；對于B，若直線，相交，，相交，則，可能是平行、相交、異面的任意一種，如在正方體中，與相交于點，與相交于點，，或與相交于點，與相交于點，與相交于點，或與相交于點，與相交于點，與異面，故選項B錯誤；對于C，由異面直線所成角的定義，選項C正確；對于D，若，，則與可能是平行、相交、異面的任意一種，如在正方體中，，，，或，，與相交于點，或，，與異面，故選項D錯誤.故選：C.10.橢圓的左右焦點分別為,過的一條直線與橢圓交于兩點,若的內(nèi)切圓面積為,且,則A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由已知△ABF2內(nèi)切圓半徑r＝1．，從而求出△ABF2，再由ABF2面積|y1﹣y2|×2c，能求出|y1﹣y2|．〖詳析〗∵橢圓1的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過焦點F1的直線交橢圓于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，△ABF2的內(nèi)切圓的面積為π，∴△ABF2內(nèi)切圓半徑r＝1．△ABF2面積S1×（AB+AF2+BF2）＝2a＝10，∴ABF2面積|y1﹣y2|×2c＝.|y1﹣y2|×2×3＝10，∴|y1﹣y2|．故選B．〖『點石成金』〗本題考查兩點縱坐標之差的絕對值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．11.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，單調(diào)遞減，若，則的值()A.恒為負值 B.恒等于零C.恒為正值 D.無法確定正負〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，在上單調(diào)遞減，可以判斷出在上單調(diào)遞減，進而根據(jù)單調(diào)性的定義和奇偶性的定義，即可判斷的符號．〖詳析〗因為時，單調(diào)遞減，而且是定義在上的奇函數(shù)，所以，在上單調(diào)遞減，當時，，由減函數(shù)的定義可得，，即有，故選A．〖『點石成金』〗本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性應(yīng)用．12.已知關(guān)于x的不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗原不等式,可求得,則成立,當時,構(gòu)造函數(shù),通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,求得,代入即可解得實數(shù)的取值范圍.〖詳析〗原不等式，當時，令在上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增,,所以,顯然有；當時，令，則，在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減，所以即可，因為,所以；綜上：．故選:C．〖『點石成金』〗本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題,考查不等式恒成立求解參數(shù)取值范圍問題,難度較難.第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．）13.已知函數(shù)，則__________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由時，得到函數(shù)是周期為1的函數(shù)，可得，即可求解．〖詳析〗由函數(shù)，可得當時，滿足，所以函數(shù)是周期為1的函數(shù)，所以．〖『點石成金』〗本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題，以及函數(shù)的周期性的應(yīng)用，其中解答中得到函數(shù)的周期性，準確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．14.已知向量，，且，則t=____.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由可得：，進而計算求解.〖詳析〗因為，所以，則有，又，，所以，解得：，故〖答案〗為：.15.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，若雙曲線的漸近線上存在點，使得，則雙曲線的離心率的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由題意可得點在以為圓心，為半徑的圓上，再結(jié)合點又在漸近線上，故漸近線和圓要有公共點，利用圓心到直線的距離小于等于半徑，即可求得離心率的取值范圍.〖詳析〗設(shè)，則，化簡得，所以點在以為圓心，為半徑的圓上，又因為點在雙曲線的漸近線上，所以漸近線與圓有公共點，所以，解得，即，所以雙曲線離心率的取值范圍是.〖『點石成金』〗本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線和圓、直線和雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線的離心率的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.16.已知在正項等比數(shù)列中，存在兩項滿足且，則的最小值是_______〖答案〗〖解析〗〖祥解〗設(shè)公比為q，根據(jù)，解得，在根據(jù)兩項滿足，得到，然后利用“1”的代換，利用基本不等式求解.〖詳析〗在正項等比數(shù)列中，設(shè)公比為q，因為，所以，或（舍去），因為存在兩項滿足，所以，所以，因為都是正整數(shù)，所以，共三種情況，分別代入，其值分別為，所以的最小值是.故〖答案〗為：〖『點石成金』〗本題主要考查等比數(shù)列的通項公式和性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針所指區(qū)域中的數(shù).若指針恰好停在各區(qū)域的分界線上，則這次轉(zhuǎn)動作廢，重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤.設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎勵規(guī)則如下:①若，則獎勵玩具一個;②若，則獎勵水杯一個;③其余情況獎勵飲料一瓶.假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個區(qū)域劃分均勻，小亮準備參加此項活動.（1）求小亮獲得玩具的概率;（2）請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由.〖答案〗（1）（2）〖答案〗見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗(1)根據(jù)題意先求出總的基本事件的個數(shù)，再求出事件的基本事件的個數(shù)，利用古典概型的概率計算公式即可求解；(2)分別求出每種事件的概率，然后比較大小，即可得出結(jié)論.〖小問1詳析〗用數(shù)對（x,y）表示小亮參加活動先后記錄的數(shù)，則基本事件構(gòu)成的集合是.因為S中元素個數(shù)是4×4=16，所以基本事件總數(shù).記“”為事件A，則事件A包含的基本事件共5個，即（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（3,1），所以，即小亮獲得玩具的概率為.〖小問2詳析〗記“”為事件B，“”為事件C.則事件B包含的基本事件共6個，即（2,4）,（3,3）,（3,4）,（4,2）,（4,3）,（4,4）.所以.事件C包含的基本事件共5個，即（1,4）,（2,2）,（2,3）,（3,2）,（4,1）.所以.因為，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.18.如圖，四棱錐中，，，，，且.（1）求證：平面平面；（2）求點到平面的距離.〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由線面垂直的判定定理證明平面，由線面垂直的性質(zhì)定理可得，由線面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直的判定定理證明平面平面即可.（2）由，利用等體積法，即可求出點到平面的距離.〖詳析〗（1）解：取、的中點分別為、，連結(jié)，，，因為，，所以四邊形為梯形，又、為、的中點，所以為梯形的中位線，所以，又，所以，因為，為的中點所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，故，因為，為中點，所以，又，不平行，必相交于某一點，且，都在平面上，所以平面，又平面，則平面平面.（2）由（1）及題意知，為三棱錐的高，，，，故，，而，設(shè)點到平面的距離為，由等體積法知：，解得，所以點到平面的距離為.〖『點石成金』〗本題考查了線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理，考查了三棱錐的體積公式以及利用等體積法求點到面的距離，考查了轉(zhuǎn)化能力與推理能力，屬于中檔題.19.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角C的值；（2）若2a+b=6，且的面積為，求的周長.〖答案〗（1）（2）6或〖解析〗〖祥解〗（1）利用正弦定理結(jié)合，代換整理得，再結(jié)合倍角公式整理；（2）根據(jù)面積公式代入整理得，結(jié)合題意可得或，分情況討論處理．〖小問1詳析〗∵，則∵∴，即∵，則∴〖小問2詳析〗∵△ABC的面積為，則∴根據(jù)題意得，則或若，則△ABC為等邊三角形，的周長為6；若，則，即，的周長為∴周長為6或20.已知橢圓，、是左右焦點，且，P在橢圓C上且．（1）求橢圓C的方程：（2）過右焦點直線交橢圓于點B，C兩點，A為橢圓的左頂點，若，求直線AB的斜率k的值．〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）易得，，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系求得b，最后寫出橢圓的方程即可；（2）設(shè)直線AB的方程，與橢圓的方程聯(lián)立可得：，由韋達定理得，進而可得，直線的方程，直線的方程，可求得，又點C在橢圓上，得，解方程即可得解.〖詳析〗（1），所以橢圓的，，根據(jù)橢圓的定義：，所以，，∴．又∵，∴．∴橢圓C的方程為；（2）設(shè)直線AB的方程，由，得：，∴，∴，∴，∴，若，則，，，∴，則與AB不垂直；同理也不成立，∴，∵，，，∴直線方程，直線的方程由，解得，∴，又點C在橢圓上，得，即，即，．〖『點石成金』〗本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查邏輯思維能力和計算能力，屬于常考題.21.已知函數(shù)f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）．（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為－3，求a，b的值；（Ⅱ）若曲線y＝f（x）存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍．〖答案〗（I）；（II）.〖解析〗〖詳析〗試題分析：（I）由函數(shù)的圖象過原點可求得，由在原點處的切線斜率為可得進而可求得；（II）由曲線存在兩條垂直于軸的切線得有兩個不同的根，即，可解得的取值范圍.試題〖解析〗．（Ⅰ）由題意得，解得．（Ⅱ）∵曲線存在兩條垂直于軸的切線，∴關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴即∴∴a的取值范圍是考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中