期末專項(xiàng)04應(yīng)用題重難點(diǎn)梳理（一元二次方程一次函數(shù)二次函數(shù)）

初二下（2023版）期末復(fù)習(xí)（解答）④——應(yīng)用題梳理一、基礎(chǔ)①增長率問題1.（2022初二下期末屏東）青山村種水稻2010年平均每公頃產(chǎn)，2012年平均每公頃產(chǎn)．求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率．【答案】水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為．【解析】【分析】設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x，則根據(jù)題意易得7200(1＋x)2＝8450，然后求解即可．【詳解】解：設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x，則有：7200(1＋x)2＝8450．解得x＝或x＝（舍）．答：水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．2.（2022初二下期末臺(tái)江區(qū)考）兩年前，生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元．隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是3200元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3375元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？【答案】乙藥品成本的年平均下降率較大．【解析】【分析】因?yàn)樯a(chǎn)1噸甲種藥品的成本由5000元降至3200元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本由6000元降至3375元，所以可設(shè)甲、乙兩種藥品成本的年平均下降率為x、y，利用方程求解即可．【詳解】解：設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為，依題意得：解得：，（舍去），設(shè)乙種藥品成本的年平均下降率為，依題意得：解得:，（舍去），∵0.2＜0.25．∴乙藥品成本的年平均下降率較大．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．②籬笆問題3．（2022初二下期末立志）某學(xué)校計(jì)劃利用一片空地建一個(gè)學(xué)生自行車車棚，其中一面靠墻，這堵墻的長度為12米．計(jì)劃建造車棚的面積為80平方米，已知現(xiàn)有的木板材料可使新建板墻的總長為28米．則這個(gè)車棚的長和寬分別應(yīng)為多少米？【分析】設(shè)平行于墻的邊長為x米，則垂直于墻的邊長為米，根據(jù)建造車棚的面積為80平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合墻的長度即可確定結(jié)論；【解答】解：設(shè)平行于墻的邊長為x米，則垂直于墻的邊長為米，依題意得：x?＝80，整理得：x2﹣28x+160＝0，解得：x1＝8，x2＝20．又∵這堵墻的長度為12米，∴x＝8，∴＝10．答：這個(gè)車棚的長為10米，寬為8米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．③獲利問題——每升多少，就降多少題型4.（2022初二下期末福州質(zhì)檢）冰墩墩是2022年北京冬奧會(huì)的吉祥物，冰墩墩造型的玩偶非常暢銷．某超市經(jīng)銷一種冰墩墩的玩偶，每件成本為60元．經(jīng)市場調(diào)研，當(dāng)該玩偶每件的銷售價(jià)為70元時(shí)，每個(gè)月可銷售300件，若每件的銷售價(jià)增加1元，則每個(gè)月的銷售量將減少10件．（1）若該超市某月銷售這種造型玩偶200件，求這個(gè)月每件玩偶的銷售價(jià)．（2）若該超市某月銷售這種造型玩偶獲得利潤4000元，求這個(gè)月每件玩偶的銷售價(jià)．【答案】（1）這個(gè)月每件玩偶的銷售價(jià)80元（2）這個(gè)月每件玩偶的銷售價(jià)80元【解析】【分析】（1）設(shè)這個(gè)月每件玩偶的銷售價(jià)為x元，利用每件的銷售價(jià)增加1元，則每個(gè)月的銷售量將減少10件，該超市某月銷售這種造型玩偶200件，列方程300(x70)×10=200，然后解方程即可；（2）設(shè)這個(gè)月每件玩偶的銷售價(jià)y元，根據(jù)該超市某月銷售這種造型玩偶獲得利潤4000元，利用銷售每件利潤×銷售件數(shù)=4000，列方程（y60）[30010（y70）]=4000，然后解方程即可．【小問1詳解】解：設(shè)這個(gè)月每件玩偶的銷售價(jià)為x元，根據(jù)題意300(x70)×10=200，解得x=80元，答：這個(gè)月每件玩偶的銷售價(jià)80元；【小問2詳解】解：設(shè)這個(gè)月每件玩偶的銷售價(jià)y元，根據(jù)題意，得：（y60）[30010（y70）]=4000，整理得：y=80，答：這個(gè)月每件玩偶的銷售價(jià)80元．【點(diǎn)睛】本題考查列一元一次方程解應(yīng)用題，列一元二次方程解營銷問題應(yīng)用題，掌握列一元一次方程解應(yīng)用題與列一元二次方程解營銷問題應(yīng)用題的方法與步驟，抓住等量關(guān)系列方程是解題關(guān)鍵．二、中檔提升——結(jié)合函數(shù)最值分析（一）一次函數(shù)①基礎(chǔ)5.（2022初二下期末晉安九校聯(lián)考倒四）某水果生產(chǎn)基地，某天安排10名工人采摘枇杷或草莓（每名工人只能做其中一項(xiàng)工作），并且每人每天摘150千克枇杷或100千克草莓，當(dāng)天的枇杷售價(jià)每千克12元，草莓售價(jià)每千克20元.設(shè)安排x名工人采摘枇杷，兩種水果當(dāng)天全部售出，銷售總額為y元．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若要求當(dāng)天采摘枇杷的數(shù)量不少于草莓的數(shù)量，求銷售總額的最大值．【答案】（1）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=20000200x，（2）銷售總額的最大值為19200元．【解析】【分析】（1）x名工人采摘枇杷，那么10名工人中剩下的人采摘草莓，根據(jù)每人采摘枇杷和草莓的數(shù)量及其枇杷和草莓分別的售價(jià)即可列出銷售總額y與x的函數(shù)關(guān)系，（2）根據(jù)當(dāng)天采摘枇杷數(shù)量不少于草莓的數(shù)量列出關(guān)于x的一元一次不等式，解出x的最小值代入y與x之間的函數(shù)關(guān)系式即可．【詳解】（1）x名工人采摘枇杷，那么（10x）名工人采摘草莓，采摘的枇杷的數(shù)量為150x千克，采摘的草莓的數(shù)量為100（10x）千克，根據(jù)題意，得：y=12×150x+20×100（10x），整理后，得：y=20000200x，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=20000200x，（2）根據(jù)題意得：150x≥100（10x），解得：x≥4，∵x為正整數(shù)，∴x的最小值為4，∵x越小，y越大，∴把x=4代入y=20000200x，解得：y=19200，即：銷售總額的最大值為19200元，答：若要求當(dāng)天采摘枇杷的數(shù)量不少于草莓的數(shù)量，銷售總額的最大值為19200元．【點(diǎn)睛】本題綜合考察了一次函數(shù)、一元一次不等式組的相關(guān)知識(shí).6.（2022初二下期末倉山區(qū)考倒四）某商店計(jì)劃采購甲、乙兩種不同型號(hào)的電視機(jī)進(jìn)行銷售．知商店購進(jìn)甲型電視機(jī)1臺(tái)，乙型電視機(jī)2臺(tái)，需要花費(fèi)4700元．購進(jìn)甲型電視機(jī)2臺(tái)，乙型電視機(jī)1臺(tái)，需要花費(fèi)4900元．（1）求該商店購進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的電視機(jī)的單價(jià)分別為多少元？（2）該商店購進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的電視機(jī)共60臺(tái)，且購買的甲型電視機(jī)的數(shù)量不多于乙型電視機(jī)數(shù)量的2倍．甲型電視機(jī)的售價(jià)為2300元/臺(tái)，乙型電視機(jī)的售價(jià)為2000元/臺(tái)，全部賣出，問：應(yīng)購進(jìn)甲種型號(hào)的電視機(jī)多少臺(tái)？才能使該商店銷售甲、乙兩種不同型號(hào)的電視機(jī)獲得的總利潤最大，最大總利潤是多少？【答案】（1）甲型號(hào)的電視機(jī)的單價(jià)為1700元/臺(tái)，乙型號(hào)的電視機(jī)單價(jià)為1500元/臺(tái)（2）甲種型號(hào)的電視機(jī)臺(tái)時(shí)，最大利潤為元【解析】【分析】（1）設(shè)甲型號(hào)的電視機(jī)的單價(jià)為元/臺(tái)，乙型號(hào)的電視機(jī)單價(jià)為元/臺(tái)，根據(jù)題意列出關(guān)于的二元一次方程組，求解即可；（2）設(shè)商店購進(jìn)甲型號(hào)的電視機(jī)臺(tái)，則購進(jìn)乙型號(hào)的電視機(jī)臺(tái)，總利潤為，根據(jù)購買的甲型電視機(jī)的數(shù)量不多于乙型電視機(jī)數(shù)量的2倍得出的取值范圍，然后根據(jù)總利潤＝甲單臺(tái)的利潤×甲的數(shù)量＋乙單臺(tái)的利潤×乙的數(shù)量，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【小問1詳解】解：設(shè)甲型號(hào)的電視機(jī)的單價(jià)為元/臺(tái)，乙型號(hào)的電視機(jī)單價(jià)為元/臺(tái)，則根據(jù)題意得：，解得：，答：甲型號(hào)的電視機(jī)的單價(jià)為1700元/臺(tái)，乙型號(hào)的電視機(jī)單價(jià)為1500元/臺(tái)；【小問2詳解】設(shè)商店購進(jìn)甲型號(hào)的電視機(jī)臺(tái)，則購進(jìn)乙型號(hào)的電視機(jī)臺(tái)，總利潤為，根據(jù)題意可得：，解得：，總利潤，∵，∴當(dāng)時(shí)，最大利潤元，答：甲種型號(hào)的電視機(jī)臺(tái)時(shí)，最大利潤為元．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，根據(jù)題意列出相應(yīng)的代數(shù)式是解本題的關(guān)鍵．②稍提升——題意理解7.（2022初二下期末臺(tái)江區(qū)考倒三）某水果商從外地購進(jìn)某種水果若干箱，需要租賃貨車運(yùn)回．經(jīng)了解，當(dāng)?shù)剡\(yùn)輸公司有大、小兩種型號(hào)貨車，其運(yùn)力和租金如表：運(yùn)力（箱輛）租金（元輛）大貨車45400小貨車35320（1）若該水果商計(jì)劃租用大、小貨車共8輛，其中大貨車輛，共需付租金元，請(qǐng)寫出與的函數(shù)關(guān)系式；（2）在（1）的條件下，若這批水果共340箱，所租用的8輛貨車可一次將購進(jìn)的水果全部運(yùn)回，請(qǐng)給出最節(jié)省費(fèi)用的租車方案，并求出最低費(fèi)用．【答案】（1）；（2）最節(jié)省費(fèi)用的租車方案是大貨車6輛，小貨車2輛，最低費(fèi)用是3040元．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以得到x的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到最低費(fèi)用和此時(shí)的租車方案．【詳解】解：（1）由題意可得，，即與的函數(shù)關(guān)系式為；（2）由題意可得，，解得，，，，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，，答：最節(jié)省費(fèi)用的租車方案是大貨車6輛，小貨車2輛，最低費(fèi)用是3040元．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答．8.（2022初二下期末廈門雙十倒三）某醫(yī)藥器械廠接受了生產(chǎn)一批高質(zhì)量醫(yī)用口罩的任務(wù)，要求在8天之內(nèi)（含8天）生產(chǎn)A型和B型口罩共5萬只，其中A型口罩不得少于1.8萬只，若生產(chǎn)A型口罩每天能生產(chǎn)0.6萬只，生產(chǎn)B型口罩每天能生產(chǎn)0.8萬只，工廠同一天只能生產(chǎn)同一種型號(hào)的口罩；已知生產(chǎn)一只A型口罩可獲利0.5元，生產(chǎn)一只B型口罩可獲利0.3元．（1）若要在最短時(shí)間內(nèi)完成任務(wù)，應(yīng)該安排生產(chǎn)A型口罩______萬只和B型口罩______萬只，完成任務(wù)最短時(shí)間是______天．（2）在完成任務(wù)的前提下，如何安排A型口罩和B型口罩的生產(chǎn)天數(shù)，使獲得的總利潤最大，最大總利潤是多少？【答案】（1）1.8，3.2，7（2）安排7天生成A型口罩，1天生產(chǎn)B型口罩，產(chǎn)生的利潤最大，最大利潤為2.34萬元．【解析】【分析】（1）設(shè)生成A型口罩x萬只，B型口罩y萬只，加工天數(shù)為t，根據(jù)題意列出不等式組，解得，，且、為整數(shù)，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）設(shè)總利潤為W，根據(jù)題意有：，可知t隨x的增大而增大，再結(jié)合，，且、為整數(shù)，即可求解．【小問1詳解】設(shè)生成A型口罩x萬只，B型口罩y萬只，加工天數(shù)為t，根據(jù)題意有：，且、為整數(shù)，解得：，，且、為整數(shù)，即：，可知t隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=1.8時(shí)，t有最小值，且最小值為：，此時(shí)y=51.8=3.2，故要在最短時(shí)間內(nèi)完成任務(wù)，應(yīng)該安排生產(chǎn)A型口罩1.8萬只和B型口罩3.2萬只，完成任務(wù)最短時(shí)間是7天．【小問2詳解】設(shè)總利潤為W，根據(jù)題意有：，即根據(jù)有，可知t隨x的增大而增大，∵，，且、為整數(shù)，∴當(dāng)x=4.2時(shí)，W有最大值，且最大值為：（萬元），此時(shí)y=54.2=0.8，∴（天），，即安排7天生成A型口罩，1天生產(chǎn)B型口罩，產(chǎn)生的利潤最大，最大利潤為2.34萬元．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用等知識(shí)，根據(jù)題意列出相關(guān)的代數(shù)式和不等式是解答本題的關(guān)鍵．③稍提升——分段函數(shù)9.（2022初二下期末外國語倒四）公園計(jì)劃購進(jìn)A，B兩種花卉500株，其中A花卉每株單價(jià)為6元，購買B種花卉所需費(fèi)用y（單位：元）與購買數(shù)量x（單位：株）之間函數(shù)關(guān)系如圖：（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若B種花卉不超過300株，但不少于A種花卉的數(shù)量的四分之一，請(qǐng)你設(shè)計(jì)購買方案，使總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用．【答案】（1）（2）購買B種花卉300株時(shí)，總費(fèi)用最低為2020（元）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：，再代入圖中數(shù)據(jù)求解即可；（2）設(shè)購買B種花卉m株，A種花卉（500m）株；由題意得，，求出m的取值范圍，再分不同情況進(jìn)行討論并求解即可；【小問1詳解】解；設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：將（200，600）代入得，，解得：，∴；將（200，600）、（400，1040）代入得，解得：，∴，∴；【小問2詳解】設(shè)購買B種花卉m株，A種花卉（500m）株；由題意得，，解得：，當(dāng)時(shí)，兩種花卉所需費(fèi)用為：當(dāng)時(shí)，w最小=2400（元）；當(dāng)時(shí)，兩種花卉所需費(fèi)用為：當(dāng)時(shí)，w最小=2020（元）；綜上，購買B種花卉300株時(shí)，總費(fèi)用最低2020（元）.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，解一元一次不等式組，掌握相關(guān)知識(shí)，結(jié)合圖像數(shù)據(jù)，正確求出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（二）二次函數(shù)，區(qū)間最值①籬笆問題10.（2022初二下期末一中倒四）如圖，學(xué)校要用一段長為36米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形花圃，墻長為16米．（1）若矩形ABCD的面積為144平方米，求矩形的邊AB的長．（2）要想使花圃的面積最大、AB邊的長應(yīng)為多少米？最大面積為多少平方米？【答案】（1）矩形的邊AB的長為12米；（2）當(dāng)花圃的面積最大時(shí)，邊AB的長為10米，最大面積為160平方米．【解析】【分析】（1）設(shè)矩形的邊AB的長為x米，則有，然后根據(jù)題意可列出方程進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)花園的面積為y平方米，由（1）可列出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【小問1詳解】解：設(shè)矩形的邊AB的長為x米，則有，由題意得：，解得：，∵墻長為16米，∴，解得：，∴；即矩形的邊AB的長為12米；【小問2詳解】解：設(shè)花園的面積為y平方米，由（1）可得：，∵2＜0，開口向下，對(duì)稱軸為直線x=9，且，∴當(dāng)x=10時(shí)，y有最大值，即為，答：當(dāng)花圃的面積最大時(shí)，邊AB的長為10米，最大面積為160平方米．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．②獲利問題11.（2022初二下期末立志倒四）為預(yù)防新冠病毒，口罩成了生活必需品，某藥店銷售一種口罩，每包進(jìn)價(jià)為6元，日均銷售量y（包）與每包售價(jià)x（元）滿足y＝﹣5x+80，且10≤x≤16．（1）當(dāng)每包售價(jià)為13元時(shí)，求日均利潤為多少元？（2）每包售價(jià)定為多少元時(shí)，藥店的日均利潤最大？最大為多少元？【分析】（1）把x＝13代入y＝﹣5x+80求出y＝15，再用一包的利潤×15即可；（2）設(shè)日均毛利潤為w，根據(jù)日均利潤＝每包利潤×銷售量列出函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）∵日均銷售量y（包）與每包售價(jià)x（元）滿足y＝﹣5x+80，∴當(dāng)x＝13時(shí)，y＝﹣5×13+80＝15，∴日均利潤為：（13﹣6）×15＝105（元），∴當(dāng)每包售價(jià)為13元時(shí)，日均利潤為105元；（2）設(shè)藥店的日均利潤為w元，由題意得：w＝（x﹣6）y＝（x﹣6）（﹣5x+80）＝﹣5x2+110x﹣480＝﹣5（x﹣11）2+125，∵﹣5＜0，