1.1.1(2)等腰三角形的判定（備作業(yè)）2021-2022學年八年級數(shù)學下冊(北師大版)

1.1.1(2)等腰三角形的判定一、單選題1．已知一個三角形中有兩個角度數(shù)如下，其中不能構成等腰三角形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角形內角和定理求出另一個角的度數(shù)，然后根據(jù)等角對等邊求解即可．【解析】解：A、由題意可得另一個角的度數(shù)為70°，即三角形的三個角的度數(shù)分別為40°，70°，70°是等腰三角形，不符合題意；B、由題意可得另一個角的度數(shù)為50°，即三角形的三個角的度數(shù)分別為50°，50°，80°是等腰三角形，不符合題意；C、由題意可得另一個角的度數(shù)為30°，即三角形的三個角的度數(shù)分別為30°，60°，90°不是等腰三角形，符合題意；D、由題意可得另一個角的度數(shù)為30°，即三角形的三個角的度數(shù)分別為30°，30°，120°是等腰三角形，不符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，三角形內角和定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．2．下列三角形中，等腰三角形的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】根據(jù)題圖所給信息，根據(jù)邊或角分析即可【解析】解：第一個圖形中有兩邊相等，故第一個三角形是等腰三角形，第二個圖形中的三個角分別為50°，35°，95°，故第二個三角形不是等腰三角形；第三個圖形中的三個角分別為100°，40°，40°，故第三個三角形是等腰三角形；第四個圖形中的三個角分別為90°，45°，45°，故第四個三角形是等腰三角形；故答案為：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定是解題的關鍵．3．用反證法證明“若，，則”時，應假設（）A．a(chǎn)不垂直于c B．a(chǎn)，b都不垂直于cC． D．a(chǎn)與b相交【答案】D【分析】根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立，即可解答．【解析】解：用反證法證明“在同一平面內，若a⊥c，b⊥c，則a∥b”，應假設：a不平行b或a與b相交．故選D．【點睛】本題考查了反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設結論不成立；（2）從假設出發(fā)推出矛盾；（3）假設不成立，則結論成立．在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．4．下列條件：①已知兩腰；②已知底邊和頂角；③已知頂角與底角；④已知底邊和底邊上的高，能確定一個等腰三角形的是（）A．①和② B．③和④ C．②和④ D．①和④【答案】C【分析】能不能確定一個等腰三角形，主要看給出同樣條件的兩個三角形是不是全等，根據(jù)這一標準對四個條件進行判斷即可確定選項．【解析】解：下列條件能不能確定一個等腰三角形，主要看給出的條件的兩個三角形是不是全等：①已知兩腰，SS不能判定兩個三角形全等，所以不能確定一個等腰三角形；②已知底邊和頂角，AAS或ASA能判定兩個三角形全等，所以可以確定一個等腰三角形；③已知頂角和底角，AAA不能判定兩個三角形全等，所以不能確定一個等腰三角形；④已知底邊和底邊上的高，可以判定兩個三角形全等，所以可以確定一個等腰三角形；∴②④可以確定一個等腰三角形，故選：C．【點睛】題目主要考查等腰三角形的性質及全等三角形的判定，把能不能確定一個等腰三角形轉化為同樣條件的兩個三角形是不是全等是解題的關鍵．5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E足BC上的點，∠BAD=∠DAE＝∠EAC，圖中等腰三角形的個數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E是BC上的點，∠BAD＝∠DAE＝∠EAC這些條件，再根據(jù)三角形的內角和是180°和等腰三角形的性質，求出各個角的度數(shù)，即可判斷．【解析】解：因為在△ABC中，AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形，因為∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝（180°?36°?36°）÷3＝36°，所以△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形，又因為∠BAE＝∠CAD＝36°＋36°＝72°，∠BEA＝∠CDA＝180°?72°?36°＝72°，所以∠BAE＝∠CAD＝∠BEA＝∠CDA＝72°，所以△BAE、△CAD是等腰三角形，一共有6個．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和判定、角的平分線的性質及三角形內角和定理；由已知條件利用相關的性質求得各個角的度數(shù)是正確解答本題的關鍵．6．如圖，已知ABC≌DCE，∠A＝∠B＝70°，連接AE，得到∠AED＝（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】B【分析】首先求出∠ACB，根據(jù)全等三角形的性質得到相等的邊和角，從而結合∠ACE求出∠CAE=∠CEA=75°，再利用角的和差得到∠AED．【解析】解：如圖，連接AE，∵∠A＝∠B＝70°，∴∠ACB=180°70°×2=40°，∵△ABC≌△DCE，∴∠EDC=∠ECD=∠A=70°，∠DEC=∠A=40°，AC=EC，∴∠CAE=∠CEA，∵∠ACE=∠ECD∠ACB=30°，∴∠CAE=∠CEA=75°，∴∠AED=∠CEA∠DEC=35°，故選B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，三角形內角和，解題的關鍵是要熟練運用這些定理進行邊和角的轉化．7．如圖，在ABC中，∠BAC＝80°，D，E為BC上的兩個點，且AB＝BE，AC＝CD，則∠DAE的度數(shù)為（）

A．60° B．50° C．45° D．40°【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形性質得出，，根據(jù)三角形內角和定理及各角之間的關系進行等量代換計算即可得到結論．【解析】解：∵，∴，∴，①∵，∴，∴，②①+②得：∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴．故選：B．【點睛】題目主要考查等腰三角形的性質及三角形內角和定理，找準各角之間的關系進行等量代換計算是解題關鍵．8．“三等分角”大約是在公元前五世紀由古希臘人提出來的．借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個三等分角儀由兩根有槽的棒，組成，兩根棒在點相連并可繞轉動，點固定，，點，可在槽中滑動，若，則的度數(shù)是（）

A．62° B．67° C．76° D．82°【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質，求出的度數(shù)，從而求得的度數(shù)．【解析】解：∵∴，又∵∴又∵∴，∴故答案為C．【點睛】此題主要考查了等腰三角形以及三角形外角的性質，熟練掌握相關基礎知識是解題的關鍵．9．如圖，在直角坐標系中，點A在x軸上，點B在軸y上，∠BAO＝45°，P是坐標軸上的一點．若以A、B、P三點組成的三角形為等腰三角形，則滿足條件的P點共有（）A．4個 B．6個 C．7個 D．8個【答案】C【分析】利用可得到點在原點滿足條件，然后分別以、為圓心，為半徑畫弧，所畫的弧與坐標軸的交點為點、兩點除外）．【解析】解：如圖，滿足條件的點有7個．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，解題的關鍵是掌握如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．10．如圖，在中，和的平分線交于點，過點作交于交于，若則線段的長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由∠ABC、∠ACB的平分線相交于點D，∠MBD=∠DBC，∠DCN=∠DCB，利用兩直線平行，內錯角相等，利用等量代換可∠MBD=∠MDB，∠NDC=∠DCN，然后即可求得結論．【解析】解：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點D，∴∠MBD=∠DBC，∠DCN=∠DCB，∵MN∥BC，∴∠DBC=∠MDB，∠NDC=∠DCB，∴∠MBD=∠MDB，∠NDC=∠DCN，∴BM=MD，DN=CN，∴MN=MD+DN，即MN=BM+CN．∵BM+CN=8∴MN=8，故選：A．【點睛】此題考查學生對等腰三角形的判定與性質和平行線性質的理解與掌握．此題關鍵是證明△BME△CNE是等腰三角形．二、填空題11．用反證法證明時應先假設__________，即__________．【答案】不小于大于或等于【分析】根據(jù)反證法的第一步是假設結論不成立而解答即可．【解析】用反證法證明命題若時，應先假設則，即．【點睛】本題考查的是反證法，解此題關鍵要懂反證法的意義及步驟．12．如圖，∠B＝∠C，∠1＝∠2，且BE＝6，DE＝2，則BC的長為_____．【答案】10【分析】結合題意，根據(jù)等腰三角形性質，得AD＝AE，根據(jù)補角的性質計算，得∠BDA＝∠CEA，根據(jù)全等三角形性質，通過證明△ABD≌△ACE，得BD＝CE，即可得出答案．【解析】∵∠1＝∠2，∴為等腰三角形∴∠BDA＝∠CEA，AD＝AE，在△ABD與△ACE中，∴△ABD≌△ACE∴BD＝CE，∵BE＝6，DE＝2，∴BD＝CE＝6﹣2＝4，∴BC＝BE+CE＝6+4＝10，故答案為：10．【點睛】本題考查了等腰三角形、全等三角形、補角的知識；解題的關鍵是熟練掌握等腰三角形、全等三角形的性質，從而完成求解．13．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，F(xiàn)是BC邊上任意一點，過F作FD⊥AB于D，F(xiàn)E⊥AC于E，若S△ABC＝12，則FE+FD＝___．【答案】4【分析】連接，根據(jù)，即可求解．【解析】解：連接，如圖：則，∴∵∴∴故答案為【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，正確理解題意，根據(jù)等面積法列出等式是解題的關鍵．14．如圖，△ABC中，BC=6，BO與CO分別是∠ABC與∠ACB的平分線，OD//AB，OE//AC．則△ODE的周長是__________．【答案】6【分析】由OB，OC分別是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分線和OD∥AB、OE∥AC可推出BD＝OD，OE＝EC，顯然△ODE的周長即為BC的長度．【解析】解：∵OD∥AB，∴∠ABO＝∠BOD，∵OB平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBD，∴∠OBD＝∠BOD，∴BD＝OD，則同理可得CE＝OE，∴△ODE的周長＝OD＋DE＋OE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6．故答案為：6．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，平行線的性質，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的判定和性質是解題的關鍵．15．如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉角α，得到△ADE，若點E恰好在CB的延長線上，則∠BED的度數(shù)為_________．（用含有α的式子表示）【答案】【分析】由旋轉的性質得，，，根據(jù)等邊對等角和三角形內角和定理即可得到，由此即可得到答案．【解析】由旋轉的性質得，，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質與判定，三角形內角和定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握旋轉的性質．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分線．問在直線BC上是否存在點P，使△CDP是以CD為一腰的等腰三角形．___（用“存在”或“不存在”填空）．如果存在，請直接寫出相應的∠CPD的度數(shù)；如果不存在，請說明理由．___【答案】存在72°或36°或54°【分析】使△CDP為等腰三角形，則可能是CD=CP，DP=CD，因為∠ACB=∠BDC，所以不可能PC=PD．【解析】解：存在3個點P，使得△CDP是等腰三角形．當以∠CDP為頂角，CD為一腰時，∠CPD=72°；當以∠DCP為頂角，CD為一腰時，存在兩點P，一點在線段BC延長線上，此時∠CPD=36°；一點在線段BC上，此時∠CPD==54°．故答案為：存在；72°或36°或54°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和判定、角的平分線的性質及三角形內角和定理；由已知條件利用相關的性質求得各個角的度數(shù)是正確解答本題的關鍵．17．如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰外角∠ACG的平分錢CF相交于F，過F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，則DE的長___．【答案】3cm【分析】根據(jù)已知條件，BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根據(jù)等角對等邊得出DF=BD，CE=EF，根據(jù)BDCE=DE即可求得．【解析】解：∵BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB的外角，∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，∴BD=FD=8cm，EF=CE=5cm，∴DE=FDEF=BDCE=85=3（cm），故答案為：3cm．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質以及平行線的性質，利用邊角關系并結合等量代換來推導證明是本題的特點．18．如圖，在中，，點D在邊BC上，過點D作，垂足為E，，垂足為D，連接EF，若，，則的度數(shù)為______．

【答案】60°【分析】根據(jù)，，可求∠ABC=∠ACB=，由，，可得∠BED=∠FDC=90°，可證△BED≌△CDF（AAS），得出∠EFD=∠FED，可求∠EDB=90°∠B=50°，∠EDF=90°∠EDB=40°，∠CFD=90°∠C=50°，利用等腰三角形的性質與內角和可求∠EFD=∠FED=，利用平角定義可求∠AFE=180°∠DFC∠EFD=180°50°70°=60°即可．【解析】解：∵，，∴∠ABC=∠ACB=，∵，，∴∠BED=∠FDC=90°，在△BED和△CDF中，，∴△BED≌△CDF（AAS），∴DE=FD，∴∠EFD=∠FED，∵∠BED=∠FDC=90°，∴∠EDB+∠B=90°，∠EDB+∠EDF=90°，∠C+∠CFD=90°，∴∠EDB=90°∠B=50°，∠EDF=90°∠EDB=40°，∠CFD=90°∠C=50°，∴∠EFD=∠FED=，∴∠AFE=180°∠DFC∠EFD=180°50°70°=60°．故答案為60°．【點睛】本題考查等腰三角形性質與判定，三角形全等判定與性質，三角形內角和，平角定義，掌握等腰三角形性質與判定，三角形全等判定與性質，三角形內角和，平角定義是解題關鍵．三、解答題19．用反證法證明：兩條直線被第三條直線所截．如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行．已知：如圖，直線l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．求證：l1l2證明：假設l1l2，即l1與l2交與相交于一點P．則∠1+∠2+∠P180°所以∠1+∠2180°，這與矛盾，故不成立．所以．【答案】；不平行；；三角形內角和定理；；∠1+∠2=180°；假設；結論成立，l1∥l2．【分析】先假設l1不平行l(wèi)2，根據(jù)三角形的內角和定理，可得∠1+∠2+∠P=180°，從而得到∠1+∠2＜180°，與已知矛盾，即可求證．【解析】已知：如圖，直線l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．求證：證明：假設l1不平行l(wèi)2，即l1與l2交與相交于一點P．則∠1+∠2+∠P=180°（三角形內角和定理），所以∠1+∠2＜180°，這與∠1+∠2=180°矛盾，故假設不成立．所以結論成立，l1∥l2．【點睛】本題主要考查了反證法，熟練掌握反證法證明的基本過程，解題的關鍵是找到與已知相矛盾的條件．20．如圖，點D是線段CE上一點，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）求證：BD＝CE；（2）若∠B＝40°，∠E＝80°，求∠CAD的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）證明△ABD≌△ACE（SAS），由全等三角形的性質可得出BD＝CE；（2）由全等三角形的性質及三角形內角和定理求出∠CAE＝60°，由等腰三角形的性質求出∠DAE＝20°，則可求出答案．【解析】解：（1）證明∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C＝40°，∵∠E＝80°，∴∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠E，∴∠DAE＝180°﹣2∠E＝180°﹣160°＝20°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝60°﹣20°＝40°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，等腰三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．21．如圖，在中，平分，點E在的延長線上，且于點F．求證：F是的中點．【答案】見解析【分析】根據(jù)已知條件證明，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質即可得解．【解析】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴是的中點．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質，三角形外角的性質，根據(jù)已知求證是解本題的關鍵．22．用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角．已知：．求證：中不能有兩個角是直角．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)反證法的證法步驟知：第一步反設，假設三角形的三個內角、、中有兩個直角，不妨設，第二步得出矛盾：，這與三角形內角和為相矛盾，不成立；第三步下結論：所以一個三角形中不能有兩個直角，從而得出原命題正確．【解析】證明：假設三角形的三個內角、、中有兩個直角，不妨設，則，這與三角形內角和為相矛盾，不成立；∴一個三角形中不能有兩個直角．【點睛】此題主要考查了反證法的應用，反證法是一種簡明實用的數(shù)學證題方法，也是一種重要的數(shù)學思想．相對于直接證明來講，反證法是一種間接證法．它是數(shù)學學習中一種很重要的證題方法．其實質是運用“正難則反”的策略，從否定結論出發(fā)，通過邏輯推理，導出矛盾．23．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，連結AD，BE平分∠ABC交AC于點E，過點E作EF∥BC交AB于點F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度數(shù)．（2）求證：FB＝FE．【答案】（1）54°，（2）見解析【分析】（1）利用等腰三角形的三線合一的性質證明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性質求出∠ABC即可解決問題．（2）利用角平分線性質和平行線性質證明∠FBE＝∠FEB即可．【解析】解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵D為BC的中點，∴AD⊥BC，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°．（2）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，又∵EF∥BC，∴∠EBC＝∠BEF，∴∠EBF＝∠FEB，∴BF＝EF．【點睛】本題考查等腰三角形的性質，平行線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握等腰三角形的性質和判定，熟練運用平行線進行角的推導和證明．24．已知：在中，，平分，交于點，點在線段上（點不與點，重合），且．求證：．

【答案】見解析【分析】在BC上截取BF=AB，連接EF，證明△ABE≌△FBE，推AE=EF，∠EAB=∠EFB，再根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的連個內角的和這一定理，寫出∠EFB=∠FEC+∠ECB，通過等量代換推∠ECB=∠FEC，進一步證明EF=FC，再通過等量代換，證明AE+AB=BC．【解析】證明：在BC上截取BF=AB，連接EF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，在△ABE與△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴AE=EF，∠EAB=∠EFB，∵∠EAB=2∠ECB，∠EFB=∠FEC+∠ECB，∴2∠ECB=∠FEC+∠ECB，∴∠ECB=∠FEC，∴EF=FC，∵BC=BF+FC，∴AE+AB=BC．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握判定與性質的綜合應用，在BC上截取BF=AB，連接EF，證明△ABE≌△FBE是解題的關鍵．25．（1）如圖①，在△ABC中，∠B=60°，∠C=80°，AD平分∠BAC．求證：AD=AC；（2）如圖②，在△ABC中，點E在BC邊上，中線BD與AE相交于點P，AP=BC．求證：PE=BE．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）先計算∠BAC=40°，再計算∠BAD=20°，從而計算∠ADC=80°，得到∠ADC=∠C即得到AD=AC；（2）過點C作CF∥AP，交BP的延長線于點F，證明CB=CF，從而利用平行線的性質，等角對等邊原理證明即可．【解析】（1）∵∠B=60°，∠C=80°，∴∠BAC=40°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=20°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°，∵∠C=80°，∴∠ADC=∠C，∴AD=AC．（2）過點C作CF∥AP，交BP的延長線于點F，∴∠DPA=∠DFC，∠DAP=∠DCF，∵AD=DC，∴△DPA≌△DFC，∴PA=FC，∵PA=BC，∴CB=CF，∴∠FBC=∠F，∵CF∥AP，∴∠BPE=∠F，∴∠FBC=∠BPE，∴PE=BE．【點睛】本題考查了三角形外角的性質，等腰三角形的判定定理，三角形全等的判定和性質，平行線的性質，熟練掌握等腰三角形的判定定理，三角形全等的判定是解題的關鍵．26．在△ABC中，AB＝AC，D、E分別是BC、AC上的點．（1）如圖1，若AB＝DC，∠ADE＝∠B，求證：△ABD≌△DCE（2）如圖2，若AB＝DC，F(xiàn)為BC的中點，DE⊥AC于點E，求證：AB＝CF＋AE【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)，結合平角的性質和三角形內角和性質，可求出，再結合已知條件即可證明（2）根據(jù)已知條件證明，得，利用，即可求解【解析】（1）證明：，，在和中（2），點為中點和中中【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握等腰三角形的性質和全等三角