2024-2025學年新教材高中數(shù)學第五章計數(shù)原理5.3習題課組合的應用課后素養(yǎng)落實含解析北師大版選擇性必修第一冊

PAGE課后素養(yǎng)落實(三十四)習題課組合的應用(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．從10名高校畢業(yè)生中選3人擔當村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法種數(shù)為()A．85B．56C．49D．28C[可分類計算：第一類是甲、乙兩人有1人入選，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＝42(種)選法；其次類是甲、乙都入選，有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7)＝7(種)選法，由分類加法計數(shù)原理可知，符合題設的方法共有42＋7＝49種．]2．將5名實習老師安排到高一年級的3個班實習，每班至少1名，最多2名，則不同的安排方案有()A．30種B．90種C．180種D．270種B[設三個班級為甲、乙、丙，則5名實習老師安排到3個班級，肯定有一個班級只安排到一名實習老師，其余兩個班級每個班級分到了兩名實習老師，故分步：第一步，選一名老師支配在一個班級中有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,3)種方法；其次步，余下的4名老師平均安排給剩下的兩個班級，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)種方法．故共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90種安排方案．]3．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為()A．232B．252C．472D．484C[分兩類：第一類，含有1張紅色卡片，共有不同的取法Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,12)＝264(種)；其次類，不含有紅色卡片，共有不同的取法Ceq\o\al(3,12)－3Ceq\o\al(3,4)＝220－12＝208(種)．由分類加法計數(shù)原理知不同的取法有264＋208＝472(種)．]4．6個人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不同的乘車方法有()A．40種B．50種C．60種D．70種B[先分組再排列，一組2人一組4人有Ceq\o\al(2,6)＝15種不同的分法；兩組各3人共有eq\f(C\o\al(3,6),A\o\al(2,2))＝10種不同的分法，所以共有(15＋10)×2＝50種不同的乘車方法．]5．將2名老師，4名學生分成2個小組，分別支配到甲、乙兩地參與社會實踐活動，每個小組由1名老師和2名學生組成，不同的支配方案共有()A．12種B．10種C．9種D．8種A[分兩步：第一步，選派一名老師到甲地，另一名到乙地，共有Ceq\o\al(1,2)＝2(種)選派方法；其次步，選派兩名學生到甲地，另外兩名到乙地，共有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)選派方法．由分步乘法計數(shù)原理得不同的選派方案共有2×6＝12(種)．]二、填空題6．從正方體ABCD-A′B′C′D′的8個頂點中選取4個作為四面體的頂點，可得到的不同的四面體的個數(shù)為________．58[從8個頂點中任取4個有Ceq\o\al(4,8)種方法，從中去掉6個面和6個對角面，所以有Ceq\o\al(4,8)－12＝58個不同的四面體．]7．某校有4個社團向高一學生招收新成員，現(xiàn)有3名同學，每人只選報1個社團，恰有2個社團沒有同學選報的報法有________種(用數(shù)字作答)．36[第一步，選2名同學報名某個社團，有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,4)＝12種報法；其次步，從剩余的3個社團里選一個社團支配另一名同學，有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,1)＝3(種)報法．由分步乘法計數(shù)原理得共有12×3＝36(種)報法．]8．12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調查，若每個路口4人，則不同的安排方案共有________．34650[先從12名同學選4個上第一個路口，再從剩下的8名同學選4個上其次個路口，那么剩下的4名同學上第三個路口，則不同的安排方案共有Ceq\o\al(4,12)Ceq\o\al(4,8)Ceq\o\al(4,4)＝34650種．]三、解答題9．某縣醫(yī)院聯(lián)合專家去農村義務會診，其中有5人只精通中醫(yī)，4人只精通西醫(yī)，還有2人既精通中醫(yī)又精通西醫(yī)，現(xiàn)從這11位專家中選4名中醫(yī)4名西醫(yī)，有多少種不同的選法？[解]法一：按選西醫(yī)的人數(shù)分三類：第一類，只精通西醫(yī)的4人都入選，則可從其余7人中任選4人作中醫(yī)，有Ceq\o\al(4,7)種；其次類，只精通西醫(yī)的4人選3人，則從均精通的兩位專家中選1人作西醫(yī)，余下6人選4人作中醫(yī)，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,6)種；第三類，只精通西醫(yī)的4人選2人，則均精通的兩位專家作西醫(yī)，余下5人選4人作中醫(yī)，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(4,5)．故由分類加法計數(shù)原理知，共有Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(4,5)＝185種選法．法二：按均精通的專家分類：第一類，兩人均不參與，有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,4)種；其次類，兩人有一人參與，有Ceq\o\al(1,2)(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5))種；第三類，兩人均參與，有(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4))×2＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)種．由分類加法計數(shù)原理知，共有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,4)＋[Ceq\o\al(1,2)(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5))]＋[(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4))×2＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)]＝185種選法．10．設集合A＝{1，2，3，…，10}．(1)設A的3個元素的子集的個數(shù)為n，求n的值；(2)設A的3個元素的子集中，3個元素的和分別為a1，a2，…，an，求a1＋a2＋a3＋…＋an的值．[解](1)A的3元素子集的個數(shù)為n＝Ceq\o\al(3,10)＝120．(2)在A的3元素子集中，含數(shù)k(1≤k≤10)的集合個數(shù)有Ceq\o\al(2,9)個，因此a1＋a2＋…＋an＝Ceq\o\al(2,9)×(1＋2＋3＋…＋10)＝1980．11．把甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名同學，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同的分法種數(shù)為()A．24B．30C．36D．81B[依據(jù)題意，總的分法種數(shù)為Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36．若甲、乙兩人分在同一個班，則分法種數(shù)為Aeq\o\al(3,3)＝6，所以甲、乙兩名學生不能分到同一個班的分法種數(shù)為36－6＝30，故選B．]12．若將9名會員分成三組探討問題，每組3人，共有不同的分組方法種數(shù)有()A．Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6) B．Aeq\o\al(3,9)Aeq\o\al(3,6)C．eq\f(C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(3,3)) D．Aeq\o\al(3,9)Aeq\o\al(3,6)Aeq\o\al(3,3)C[此題為平均分組問題，有eq\f(C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(3,3))種分法．]13．(多選題)有10只不同的試驗產品，其中有4只次品，6只正品．現(xiàn)每次取一只測試，直到4只次品全測出為止，則()A．最終一只次品正好在第四次測試時被發(fā)覺的不憐憫形有Aeq\o\al(4,4)種B．最終一只次品正好在第五次測試時被發(fā)覺的不憐憫形有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)種C．最終一只次品正好在第九次測試時被發(fā)覺的不憐憫形有Ceq\o\al(5,6)Ceq\o\al(3,8)Aeq\o\al(8,8)種D．4只次品全測出至多須要九次測試[答案]ABCD14．(一題兩空)從6雙不同的鞋子中任取4只，恰是兩雙的選法有________種，恰有一雙的選法有________種．15240[恰是兩雙的選法有Ceq\o\al(2,6)＝15種，對于恰有一雙的情形，可先選一雙完整的，再從剩下的5雙中選兩雙，然后在這兩雙中各選一只，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝240種選法．]15．在∠MON的邊OM上有5個異于O點的點，邊ON上有4個異于O點的點，以這10個點(含O點)為頂點，可以得到多少個三角形？[解]法一：(干脆法)分幾種狀況考慮：O為頂點的三角形中，必需另外兩個頂點分別在OM、ON上，所以有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)個；O不為頂點的三角形中，兩個頂點在OM上，一個頂點在ON上，有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(1,4)個；一個頂點在OM上，兩個頂點在ON，上有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)個．因為這是分類問題，所以用分類加法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)＝5×4＋10×4＋5×6＝90個．法二：(間接法)先不考慮共線點的問題，從10個不同元素中任取三點的組合數(shù)是Ceq\o\al(3,10)，但其中OM上的6個點(含O點)中任取三點不能得到三角形，ON上的5個點(含O點)中任取3點也不能得到三角形．所以共可以得到Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,5)，即Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,5)＝eq\f(10×9×8,1×2×3)－eq\f(6×5×4,1×2×3)－eq\f(5×4,1×2)＝120－20－10＝90個．法三