高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識題型全歸納專題10導(dǎo)數(shù)含參單調(diào)性討論詳述版(原卷版+解析)

更多精品資料請關(guān)注微信公眾號：超級高中生導(dǎo)數(shù)章節(jié)知識全歸納專題10導(dǎo)數(shù)含參單調(diào)性討論（詳述版）知識點歸納：核心知識：1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（1）設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，如果，則在此區(qū)間上為增函數(shù)；如果，則在此區(qū)間上為減函數(shù)。如果在某區(qū)間內(nèi)恒有，則為常函數(shù)?？偨Y(jié)：含參單調(diào)性討論主要針對學(xué)生對于含有參數(shù)的函數(shù)進行單調(diào)性討論存在嚴(yán)重問題，時常分不清楚何時討論參數(shù)，以及先哪一步在哪一步：這里君哥給大家總結(jié)如下：第一類：簡單含參--獨立含參，先討論恒成立，再分類。第二類：多位置含參數(shù)：首先考慮是否可以進行十字相乘，在討論根的大小，再討論單調(diào)性。第三類：二次函數(shù)型含參：必考慮?，在討論根的大小，最后討論單調(diào)性。第四類：其他函數(shù)型含參：畫圖看交點。導(dǎo)數(shù)含參單調(diào)性討論典型例題：類型一：獨立含參討論：例：1．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；例：2．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；變式：1．函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；變式：2．已知函數(shù)，其中.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；變式：3．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；類型二：獨立含參難：例：1.已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；例2．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；例3．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；變式：1．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；變式：2．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；類型三：二次函數(shù)類型含參：例：1.已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；例2．已知函數(shù).（1）時，求在處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；變式：1．已知函數(shù)，其中且（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；變式：2．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性.變式：3．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；類型四：多參函數(shù)討論：例：1.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的極值；（2）若，求的單調(diào)區(qū)間．例2．已知函數(shù).（1）若，求的最小值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.變式：1．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求證：；（2）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性．變式：2．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；變式：3．已知實數(shù)，函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；類型五：其他函數(shù)含參討論：例：1.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；例2.．已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；例3．已知函數(shù)（）．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；變式：1．設(shè)，,其中，且.（1）試討論的單調(diào)性；變式：2．已知函數(shù)．（1）求討論函數(shù)的單調(diào)性；變式：3．已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)區(qū)間；更多精品資料請關(guān)注微信公眾號：超級高中生導(dǎo)數(shù)章節(jié)知識全歸納專題10導(dǎo)數(shù)含參單調(diào)性討論（詳述版）知識點歸納：核心知識：1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（1）設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，如果，則在此區(qū)間上為增函數(shù)；如果，則在此區(qū)間上為減函數(shù)。如果在某區(qū)間內(nèi)恒有，則為常函數(shù)?？偨Y(jié)：含參單調(diào)性討論主要針對學(xué)生對于含有參數(shù)的函數(shù)進行單調(diào)性討論存在嚴(yán)重問題，時常分不清楚何時討論參數(shù)，以及先哪一步在哪一步：這里君哥給大家總結(jié)如下：第一類：簡單含參--獨立含參，先討論恒成立，再分類。第二類：多位置含參數(shù)：首先考慮是否可以進行十字相乘，在討論根的大小，再討論單調(diào)性。第三類：二次函數(shù)型含參：必考慮?，在討論根的大小，最后討論單調(diào)性。第四類：其他函數(shù)型含參：畫圖看交點。導(dǎo)數(shù)含參單調(diào)性討論典型例題：類型一：獨立含參討論：例：1．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；解：【分析】求導(dǎo)，對參數(shù)進行分類討論判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，最后判斷原函數(shù)的單調(diào)?！驹斀狻浚?）解：函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，恒成立，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.例：2．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；解：【分析】（1）對參數(shù)a分類討論，分別求得對于范圍內(nèi)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】（1）函數(shù)的定義域為當(dāng)時，恒成立，故函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增當(dāng)時，令，得；令，得.故函數(shù)在上遞增，在遞減變式：1．函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；解：【分析】（1）求導(dǎo)，分別討論和兩種情況的正負(fù)，即可求得的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以在為增函數(shù)，當(dāng)時，令，解得；當(dāng)時，，為增函數(shù)，當(dāng)時，，為減函數(shù)，綜上：當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.變式：2．已知函數(shù)，其中.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；解：【分析】對參數(shù)進行分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】（1），，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，得，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.變式：3．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；解：【分析】（1）先求導(dǎo)得到，再分和兩種情況討論的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；【詳解】解：（1）由題意知的定義域是，，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由得，所以在上單調(diào)遞增，由得，所以在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.類型二：獨立含參難：例：1.已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；解：【分析】（1）求導(dǎo)，分，討論求解；【詳解】（1）∵，當(dāng)時，在上恒成立，∴在上是遞增的.當(dāng)時，令，則；令，則.∴在上遞減，在上遞增.綜上所述，當(dāng)時，是上的增函數(shù)，當(dāng)時，在是減函數(shù)，在上是增函數(shù).例2．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；解：【分析】（1）首先對函數(shù)進行求導(dǎo)，通過對a進行分類討論，可得的單調(diào)性；【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，若，則；若，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；例3．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；解：【分析】（1）先寫定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，再討論時和時導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況，即得函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】解：（1）的定義域為，，①當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時，，由解得，由解得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．變式：1．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；解：【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，然后分析導(dǎo)函數(shù)符號只與含參一次因式有關(guān)，所以對分三種情況進行討論；【詳解】解：（1）因為，所以.若，則，是上的增函數(shù)；若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，.故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.變式：2．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；解：【分析】（1）求導(dǎo)，分，，討論求解；【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得：，當(dāng)時，，所以在上遞減；當(dāng)時，，令，則方程有兩個不同的根，.，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增；當(dāng)時，在上遞減，在上遞減，所以在遞減；類型三：二次函數(shù)類型含參：例：1.已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；解：【分析】（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，再分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】（1）由題意的定義域為，，①若，則，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)；②若，由解得，，的解為或，的解為，即的增區(qū)間為，，減區(qū)間為．例2．已知函數(shù).（1）時，求在處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；解：【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直接求切線方程；（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】當(dāng)時，，，，，，在處的切線方程是.（2），當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，令，解得：，令，解得：，的增區(qū)間是，減區(qū)間是，綜上可知：時，函數(shù)的減區(qū)間是，無增區(qū)間；時，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是.變式：1．已知函數(shù)，其中且（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；解：【分析】（1）求出，然后分a>0、a<0兩種情況討論即可；【詳解】（1）函數(shù)的定義域為(0，+∞)，，當(dāng)a>0時，，f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，此時的增區(qū)間為(0，+∞)；當(dāng)a<0時，令，解得(舍去)，則時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增.此時的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是綜上，當(dāng)a>0時，的增區(qū)間為(0，+∞)；當(dāng)a<0時，的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是變式：2．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性.解：【分析】（1）求導(dǎo)，分，情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，可得原函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】（1）解：.當(dāng)，即時，，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即或時，令，得.當(dāng)時，兩根均為負(fù)數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，兩根均為正數(shù)，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.變式：3．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；解：【分析】（1）明確函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，對參數(shù)分類討論，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系得到結(jié)果；【詳解】（1）的定義域是，求導(dǎo)得.記，①當(dāng)時，令，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增；②當(dāng)時，，（負(fù)根舍去），當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增；③當(dāng)時，令得，則在恒成立，于是在恒成立，在定義域上單調(diào)遞減.若，則，令，，有2個不相等正根，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時，函數(shù)增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時，函減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)增區(qū)間為，減區(qū)間為，；類型四：多參函數(shù)討論：例：1.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的極值；（2）若，求的單調(diào)區(qū)間．解：【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，判斷函數(shù)的單調(diào)性后得到函數(shù)的極值；（2），分，和三種情況討論求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解：（1）因為當(dāng)時，，所以，由得或，當(dāng)變化時，，的變化情況列表如下：1200單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以當(dāng)時，取極大值；當(dāng)時，取極小值．（2），①當(dāng)時，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增．②當(dāng)時，在恒成立，所以在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，綜上所述，①當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，．單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時，單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間；③當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．例2．已知函數(shù).（1）若，求的最小值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：【分析】（1）若，利用導(dǎo)數(shù)得出在的單調(diào)性即可求解.（2）再討論、、、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】（1）若，定義域為，，由可得，由可得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的最小值為；（2）①當(dāng)時，，由可得，由可得，此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，②當(dāng)時，由可得或由可得，此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和，③當(dāng)時，恒成立，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為，④當(dāng)時，由可得或，由可得，此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和，綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和，變式：1．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求證：；（2）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性．解：【分析】（1）當(dāng)時，可得，利用導(dǎo)數(shù)求得，由此可證得結(jié)論成立；（2）求得，對實數(shù)的取值進行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間.【詳解】（1）當(dāng)時，，該函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，，因此，當(dāng)時，求證：；（2）當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，.①當(dāng)時，即當(dāng)時，則.由可得，由可得.此時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；②當(dāng)時，即當(dāng)時，由可得，由可得或.此時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為、；③當(dāng)時，即當(dāng)時，則對任意的恒成立，此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；④當(dāng)時，即當(dāng)時，由可得，由可得或.此時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為、.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為、；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為、.變式：2．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；解：【分析】（1），，分，兩種情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),利用判別式結(jié)合函數(shù)的定義域，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷；【詳解】（1），，若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減.若，則二次函數(shù)的判別式，當(dāng)，即或時，若，則，等號不恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；若，則，等號不恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)，即且時，令，即，此時，，，，若，則，，此時恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減；若，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，即函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.變式：3．已知實數(shù)，函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；解【分析】（1）求導(dǎo)后得；分別在和兩種情況下，根據(jù)的符號可確定的單調(diào)性；【詳解】（1）.，，.①當(dāng)，即當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)，即時，當(dāng)時，；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.類型五：其他函數(shù)含參討論：例：1.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；解：【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，分和兩種情況，分別得出函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】（1），當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．例2.．已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；解：【分析】（1）求導(dǎo)，分，，，討論求解.【詳解】（1），①當(dāng)時，，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增．②當(dāng)時，，，，，單調(diào)遞增，，，，單調(diào)遞減，，，，單調(diào)遞增，③當(dāng)時，，，單調(diào)遞增④當(dāng)時，，，，，單調(diào)遞增，，，，單調(diào)遞減，，，，單調(diào)遞增．例3．已知函數(shù)（）．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；解：【分析】（1）求導(dǎo)后，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的符號可得函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】（1）的定義域為，且．當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，若，則，在上單調(diào)遞增；若，則，在上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．變式：1．設(shè)，,其中，且.（1）試討論的單調(diào)性；