新高考數(shù)學概率統(tǒng)計分章節(jié)特訓專題15正態(tài)分布專題練習(原卷版+解析)

專題15正態(tài)分布例1．當前，以“立德樹人”為目標的課程改革正在有序推進．高中聯(lián)招對初三畢業(yè)學生進行體育測試，是激發(fā)學生、家長和學校積極開展體育活動，保證學生健康成長的有效措施．某地區(qū)2019年初中畢業(yè)生升學體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試，三項考試滿分為50分，其中立定跳遠15分，擲實心球15分，1分鐘跳繩20分．某學校在初三上期開始時要掌握全年級學生每分鐘跳繩的情況，隨機抽取了100名學生進行測試，得到如下頻率分布直方圖，且規(guī)定計分規(guī)則如表：每分鐘跳繩個數(shù)，，，，，得分1617181920（Ⅰ）現(xiàn)從樣本的100名學生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于33分的概率；（Ⅱ）若該校初三年級所有學生的跳繩個數(shù)服從正態(tài)分布，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計總體的期望和方差（結(jié)果四舍五入到整數(shù)），已知樣本方差（各組數(shù)據(jù)用中點值代替）．根據(jù)往年經(jīng)驗，該校初三年級學生經(jīng)過一年的訓練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進步，假設明年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學期開始時個數(shù)增加10個，利用現(xiàn)所得正態(tài)分布模型：（?。╊A估全年級恰好有1000名學生，正式測試時每分鐘跳193個以上的人數(shù)．（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）（ⅱ）若在該地區(qū)2020年所有初三畢業(yè)生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳202個以上的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和期望．附：若隨機變量服從正態(tài)分布，，則，，例2．在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中，運城市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查（一位市民只能參加一次），通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計結(jié)果如表所示：．組別，，，，，，，頻數(shù)212202524134（1）由頻數(shù)分布表可以大致認為，此次問卷調(diào)查的得分，近似為這100人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），利用該正態(tài)分布，求；（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費；②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：贈送話費的金額（單位：元）2050概率現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列與數(shù)學期望．附：參考數(shù)據(jù)與公式：，若，則；，．例3．“過大年，吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習俗．2018年春節(jié)前夕，A市某質(zhì)檢部門隨機抽取了100包某種品牌的速凍水餃作樣本，檢測其某項質(zhì)量指標，檢測結(jié)果如頻率分布直方圖所示．

（1）求所抽取的100包速凍水餃該項質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）若該品牌的速凍水餃的某項質(zhì)量指標Z服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．①求Z落在內(nèi)的概率；②若某人從某超市購買了1包這種品牌的速凍水餃，發(fā)現(xiàn)該包速凍水餃某項質(zhì)量指標值為55，根據(jù)原則判斷該包速凍水餃某項質(zhì)量指標值是否正常附：①；②若，則，，.例4．為了改善市民的生活環(huán)境，長沙某大型工業(yè)城市決定對長沙市的1萬家中小型化工企業(yè)進行污染情況摸排，并出臺相應的整治措施．通過對這些企業(yè)的排污口水質(zhì)，周邊空氣質(zhì)量等的檢驗，把污染情況綜合折算成標準分100分，發(fā)現(xiàn)長沙市的這些化工企業(yè)污染情況標準分基本服從正態(tài)分布N（50，162），分值越低，說明污染越嚴重；如果分值在［50，60］內(nèi)，可以認為該企業(yè)治污水平基本達標．（Ⅰ）如圖為長沙市的某工業(yè)區(qū)所有被調(diào)査的化工企業(yè)的污染情況標準分的頻率分布直方圖，請計算這個工業(yè)區(qū)被調(diào)査的化工企業(yè)的污染情況標準分的平均值，并判斷該工業(yè)區(qū)的化工企業(yè)的治污平均值水平是否基本達標；（Ⅱ）大量調(diào)査表明，如果污染企業(yè)繼續(xù)生產(chǎn)，那么標準分低于18分的化工企業(yè)每月對周邊造成的直接損失約為10萬元，標準分在［18，34）內(nèi)的化工企業(yè)每月對周邊造成的直接損失約為4萬元．長沙市決定關(guān)停80％的標準分低于18分的化工企業(yè)和60％的標準分在［18，34）內(nèi)的化工企業(yè)，每月可減少的直接損失約有多少？（附：若隨機變量，則，，）例5．為了改善市民的生活環(huán)境，南陽市決定對南陽市的1萬家中小型化工企業(yè)進行污染情況摸排，并出臺相應的整治措施.通過對這些企業(yè)的排污口水質(zhì)，周邊空氣質(zhì)量等的檢驗，把污染情況綜合折算成標準分100分，發(fā)現(xiàn)南陽市的這些化工企業(yè)污染情況標準分基本服從正態(tài)分布，分值越低，說明污染越嚴重；如果分值在內(nèi)，可以認為該企業(yè)治污水平基本達標.（1）如圖是南陽市的某工業(yè)區(qū)所有被調(diào)查的化工企業(yè)的污染情況標準分的頻率分布直方圖，請計算這個工業(yè)區(qū)被調(diào)查的化工企業(yè)的污染情況標準分的平均值，并判斷該工業(yè)區(qū)的化工企業(yè)的治污平均值水平是否基本達標；（2）大量調(diào)查表明，如果污染企業(yè)繼續(xù)生產(chǎn)，那么標準分低于18分的化工企業(yè)每月對周邊造成的直接損失約為10萬元，標準分在內(nèi)的化工企業(yè)每月對周邊造成的直接損失約為4萬元.南陽市決定關(guān)停的標準分低于18分的化工企業(yè)和的標準分在內(nèi)的化工企業(yè)，每月可減少的直接損失約有多少？（附：若隨機變量，則，，）例6．2019年2月13日《煙臺市全民閱讀促進條例》全文發(fā)布，旨在保障全民閱讀權(quán)利，培養(yǎng)全民閱讀習慣，提高全民閱讀能力，推動文明城市和文化強市建設．某高校為了解條例發(fā)布以來全校學生的閱讀情況，隨機調(diào)查了200名學生每周閱讀時間(單位：小時)并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這200名學生每周閱讀時間的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表)；（2）由直方圖可以認為，目前該校學生每周的閱讀時間服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．（i）一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布的概率進行計算：若令，則，且．利用直方圖得到的正態(tài)分布，求．(ii)從該高校的學生中隨機抽取20名，記表示這20名學生中每周閱讀時間超過10小時的人數(shù)，求(結(jié)果精確到0．0001)以及的數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：．若，則．例7．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，一條流水線年產(chǎn)量為件，該生產(chǎn)線分為兩段，流水線第一段生產(chǎn)的半成品的質(zhì)量指標會影響第二段生產(chǎn)成品的等級，具體見下表：第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標或或第二段生產(chǎn)的成品為一等品概率0.20.40.6第二段生產(chǎn)的成品為二等品概率0.30.30.3第二段生產(chǎn)的成品為三等品概率0.50.30.1從第一道生產(chǎn)工序抽樣調(diào)查了件，得到頻率分布直方圖如圖：若生產(chǎn)一件一等品、二等品、三等品的利潤分別是元、元、元.（Ⅰ）以各組的中間值估計為該組半成品的質(zhì)量指標，估算流水線第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標的平均值；（Ⅱ）將頻率估計為概率，試估算一條流水線一年能為該公司創(chuàng)造的利潤；（Ⅲ）現(xiàn)在市面上有一種設備可以安裝到流水線第一段，價格是萬元，使用壽命是年，安裝這種設備后，流水線第一段半成品的質(zhì)量指標服從正態(tài)分布，且不影響產(chǎn)量.請你幫該公司作出決策，是否要購買該設備？說明理由.（參考數(shù)據(jù)：，，）例8．2019年春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費政策”.某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速收費點處記錄了大年初三上午9:20～10:40這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有600輛車通過該收費點，它們通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如圖所示，其中時間段9:20～9：40記作區(qū)間，9:40～10:00記作，10:00～10:20記作，10:20～10:40記作.比方：10點04分，記作時刻64.（1）估計這600輛車在9:20～10:40時間段內(nèi)通過該收費點的時刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）為了對數(shù)據(jù)進行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，記為9:20～10:00之間通過的車輛數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望；（3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在春節(jié)期間每天通過該收費點的時刻服從正態(tài)分布，其中可用這600輛車在9:20～10:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點，估計在9:46～10:40之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：若，則，，.例9．某工廠抽取了一臺設備在一段時間內(nèi)生產(chǎn)的一批產(chǎn)品，測量一項質(zhì)量指標值，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）計算該樣本的平均值，方差；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）（2）根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這臺設備在正常狀態(tài)下生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均值，近似為樣本方差.任取一個產(chǎn)品，記其質(zhì)量指標值為.若，則認為該產(chǎn)品為一等品；，則認為該產(chǎn)品為二等品；若，則認為該產(chǎn)品為不合格品.已知設備正常狀態(tài)下每天生產(chǎn)這種產(chǎn)品1000個.（i）用樣本估計總體，問該工廠一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中不合格品是否超過？（ii）某公司向該工廠推出以舊換新活動，補足50萬元即可用設備換得生產(chǎn)相同產(chǎn)品的改進設備.經(jīng)測試，設備正常狀態(tài)下每天生產(chǎn)產(chǎn)品1200個，生產(chǎn)的產(chǎn)品為一等品的概率是，二等品的概率是，不合格品的概率是.若工廠生產(chǎn)一個一等品可獲得利潤50元，生產(chǎn)一個二等品可獲得利潤30元，生產(chǎn)一個不合格品虧損40元，試為工廠做出決策，是否需要換購設備？參考數(shù)據(jù)：①；②；③，.例10．為評估設備生產(chǎn)某種零件的性能，從設備生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：直徑5859616263646566676869707173合計件數(shù)11356193318442121100經(jīng)計算，樣本的平均值，標準差，以頻率值作為概率的估計值，用樣本估計總體.（1）將直徑小于等于或直徑大于的零件認為是次品，從設備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取3個零件，計算其中次品個數(shù)的數(shù)學期望；（2）為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進行評判（表示相應事件的概率）：①；②；③.評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設備的性能等級并說明理由.例11．十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康。經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設取得巨大進步，農(nóng)民年收入也逐年增加。為了更好的制定2019年關(guān)于加快提升農(nóng)民年收人力爭早日脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統(tǒng)計了2018年位農(nóng)民的年收人并制成如下頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計位農(nóng)民的年平均收入（單位：千元）（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示）；（2）由頻率分布直方圖，可以認為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入服從正態(tài)分布，其中近似為年平均收入，近似為樣本方差，經(jīng)計算得.利用該正態(tài)分布，求:(i)在2019年脫貧攻堅工作中，若使該地區(qū)約有占總農(nóng)民人數(shù)的的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標準，則最低年收入大約為多少千元？（ii）為了調(diào)研“精準扶貧，不落一人”的政策要求落實情況，扶貧辦隨機走訪了位農(nóng)民。若每個農(nóng)民的年收人相互獨立，問：這位農(nóng)民中的年收入不少于千元的人數(shù)最有可能是多少？附：參考數(shù)據(jù)與公式則①；②；③.例12．某城市新開大型樓盤，該樓盤位于城市的黃金地段，預售場面異?；鸨试摌潜P開發(fā)商采用房屋競價策略，競價的基本規(guī)則是：①所有參與競價的人都是網(wǎng)絡報價，每個人并不知曉其他人的報價，也不知道參與當期競價的總?cè)藬?shù)；②競價采用“一月一期制”，當月競價時間截止后，系統(tǒng)根據(jù)當期房屋配額，按照競拍人的出價從高到低分配名額。某人擬參加2019年10月份的房屋競拍，他為了預測最低成交價，根據(jù)網(wǎng)站的公告，統(tǒng)計了最近5個月參與競價的人數(shù)（如表）：月份2019.052019.062019.072019.082019.09月份編號t12345競拍人數(shù)（萬人）0.50.611.41.7（1）由收集數(shù)據(jù)的散點圖發(fā)現(xiàn)，可用線性回歸模型擬合競拍人數(shù)y（萬人）與月份編號t之間的相關(guān)關(guān)系。請用最小二乘法求y關(guān)于t的線性回歸方程：，并預測2019年10月份（幾份編號為6）參與競拍的人數(shù)；（2）某市場調(diào)研機構(gòu)對200位擬參加2019年10月份房屋競價人員的報價進行了一個抽樣調(diào)查，得到如下圖所示的頻數(shù)表：報價區(qū)間(萬元/)頻數(shù)206060302010（i）求這200位競拍人員報價X的平均值和樣本方差（同一區(qū)間的報價用該價格區(qū)間的中點值代替）；（ii）假設所有參與競價人員的報價X可視為服從正態(tài)分布，且μ與可分別由（i）中所求的樣本平均數(shù)及估計。若2019年10月份計劃發(fā)放房源數(shù)量為3174，請你合理預測（需說明理由）競拍的最低成交價。參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程，其中，②；，③若隨機變量Z服從正態(tài)分布，則，，.專題15正態(tài)分布例1．當前，以“立德樹人”為目標的課程改革正在有序推進．高中聯(lián)招對初三畢業(yè)學生進行體育測試，是激發(fā)學生、家長和學校積極開展體育活動，保證學生健康成長的有效措施．某地區(qū)2019年初中畢業(yè)生升學體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試，三項考試滿分為50分，其中立定跳遠15分，擲實心球15分，1分鐘跳繩20分．某學校在初三上期開始時要掌握全年級學生每分鐘跳繩的情況，隨機抽取了100名學生進行測試，得到如下頻率分布直方圖，且規(guī)定計分規(guī)則如表：每分鐘跳繩個數(shù)，，，，，得分1617181920（Ⅰ）現(xiàn)從樣本的100名學生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于33分的概率；（Ⅱ）若該校初三年級所有學生的跳繩個數(shù)服從正態(tài)分布，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計總體的期望和方差（結(jié)果四舍五入到整數(shù)），已知樣本方差（各組數(shù)據(jù)用中點值代替）．根據(jù)往年經(jīng)驗，該校初三年級學生經(jīng)過一年的訓練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進步，假設明年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學期開始時個數(shù)增加10個，利用現(xiàn)所得正態(tài)分布模型：（ⅰ）預估全年級恰好有1000名學生，正式測試時每分鐘跳193個以上的人數(shù)．（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）（ⅱ）若在該地區(qū)2020年所有初三畢業(yè)生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳202個以上的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和期望．附：若隨機變量服從正態(tài)分布，，則，，【解析】解：（Ⅰ）現(xiàn)從樣本的100名學生中，任意選取2人，兩人得分之和不大于33分，即兩人得分均為16分，或兩人中1人16分，1人17分，由題意知：得16分的分數(shù)為5人，得17分的人數(shù)為9人，兩人得分之和不大于33分的概率為：．（Ⅱ）（個，，，正式測試時，，，，，，，正式測試時每分鐘跳193個以上的人數(shù)為841個．由正態(tài)分布模型得，在該地區(qū)2020年初三畢業(yè)生中任取1人，每分鐘跳繩個數(shù)202以上的概率為，即，，，，，的分布列為：0123．例2．在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中，運城市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查（一位市民只能參加一次），通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計結(jié)果如表所示：．組別，，，，，，，頻數(shù)212202524134（1）由頻數(shù)分布表可以大致認為，此次問卷調(diào)查的得分，近似為這100人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），利用該正態(tài)分布，求；（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費；②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：贈送話費的金額（單位：元）2050概率現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列與數(shù)學期望．附：參考數(shù)據(jù)與公式：，若，則；，．【解析】解：（1）．故，易知．．又．故．（2）由題意一位市民得分高于或低于的概率各為．該市民參與活動獲贈話費的可能取值為20，40，50，70，100．；；；；．故的分布列為：20405070100所以．故該市民參與活動獲贈話費的數(shù)學期望為41.25元．例3．“過大年，吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習俗．2018年春節(jié)前夕，A市某質(zhì)檢部門隨機抽取了100包某種品牌的速凍水餃作樣本，檢測其某項質(zhì)量指標，檢測結(jié)果如頻率分布直方圖所示．

（1）求所抽取的100包速凍水餃該項質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）若該品牌的速凍水餃的某項質(zhì)量指標Z服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．①求Z落在內(nèi)的概率；②若某人從某超市購買了1包這種品牌的速凍水餃，發(fā)現(xiàn)該包速凍水餃某項質(zhì)量指標值為55，根據(jù)原則判斷該包速凍水餃某項質(zhì)量指標值是否正常附：①；②若，則，，.【解析】（1）所抽取的100包速凍水餃該項質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)，方差．（2）因為Z服從正態(tài)分布，且，，即．①因為,所以Z落在內(nèi)的概率為；②因為，所以，即，根據(jù)原則判斷該包速凍水餃某項質(zhì)量指標值是正常的．例4．為了改善市民的生活環(huán)境，長沙某大型工業(yè)城市決定對長沙市的1萬家中小型化工企業(yè)進行污染情況摸排，并出臺相應的整治措施．通過對這些企業(yè)的排污口水質(zhì)，周邊空氣質(zhì)量等的檢驗，把污染情況綜合折算成標準分100分，發(fā)現(xiàn)長沙市的這些化工企業(yè)污染情況標準分基本服從正態(tài)分布N（50，162），分值越低，說明污染越嚴重；如果分值在［50，60］內(nèi)，可以認為該企業(yè)治污水平基本達標．（Ⅰ）如圖為長沙市的某工業(yè)區(qū)所有被調(diào)査的化工企業(yè)的污染情況標準分的頻率分布直方圖，請計算這個工業(yè)區(qū)被調(diào)査的化工企業(yè)的污染情況標準分的平均值，并判斷該工業(yè)區(qū)的化工企業(yè)的治污平均值水平是否基本達標；（Ⅱ）大量調(diào)査表明，如果污染企業(yè)繼續(xù)生產(chǎn)，那么標準分低于18分的化工企業(yè)每月對周邊造成的直接損失約為10萬元，標準分在［18，34）內(nèi)的化工企業(yè)每月對周邊造成的直接損失約為4萬元．長沙市決定關(guān)停80％的標準分低于18分的化工企業(yè)和60％的標準分在［18，34）內(nèi)的化工企業(yè)，每月可減少的直接損失約有多少？（附：若隨機變量，則，，）【解析】（Ⅰ）該工業(yè)區(qū)被調(diào)査的化工企業(yè)的污染情況標準分的平均值：，故該工業(yè)區(qū)的化工企業(yè)的治污平均值水平基本達標；（Ⅱ）化工企業(yè)污染情況標準分基本服從正態(tài)分布N（50，162）標準分在［18，34）內(nèi)的概率，∴60％的標準分在［18，34）內(nèi)的化工企業(yè)，每月可減少的直接損失為:萬元，標準分低于18分的概率，，∴萬元故長沙市決定關(guān)停80％的標準分低于18分的化工企業(yè)和60％的標準分在［18，34）內(nèi)的化工企業(yè)，每月可減少的直接損失約有例5．為了改善市民的生活環(huán)境，南陽市決定對南陽市的1萬家中小型化工企業(yè)進行污染情況摸排，并出臺相應的整治措施.通過對這些企業(yè)的排污口水質(zhì)，周邊空氣質(zhì)量等的檢驗，把污染情況綜合折算成標準分100分，發(fā)現(xiàn)南陽市的這些化工企業(yè)污染情況標準分基本服從正態(tài)分布，分值越低，說明污染越嚴重；如果分值在內(nèi)，可以認為該企業(yè)治污水平基本達標.（1）如圖是南陽市的某工業(yè)區(qū)所有被調(diào)查的化工企業(yè)的污染情況標準分的頻率分布直方圖，請計算這個工業(yè)區(qū)被調(diào)查的化工企業(yè)的污染情況標準分的平均值，并判斷該工業(yè)區(qū)的化工企業(yè)的治污平均值水平是否基本達標；（2）大量調(diào)查表明，如果污染企業(yè)繼續(xù)生產(chǎn)，那么標準分低于18分的化工企業(yè)每月對周邊造成的直接損失約為10萬元，標準分在內(nèi)的化工企業(yè)每月對周邊造成的直接損失約為4萬元.南陽市決定關(guān)停的標準分低于18分的化工企業(yè)和的標準分在內(nèi)的化工企業(yè)，每月可減少的直接損失約有多少？（附：若隨機變量，則，，）【解析】（1）該工業(yè)區(qū)被調(diào)查的化工企業(yè)的污染情況標準分的平均值：，故該工業(yè)區(qū)的化工企業(yè)的治污平均值水平基本達標；（2）化工企業(yè)污染情況標準分基本服從正態(tài)分布，標準分在內(nèi)的概率，，∴的標準分在內(nèi)的化工企業(yè)，每月可減少的直接損失為：萬元，標準分低于18分的概率，，∴萬元.故南陽市決定關(guān)停的標準分低于18分的化工企業(yè)和的標準分在內(nèi)的化工企業(yè)，每月可減少的直接損失約有萬元.例6．2019年2月13日《煙臺市全民閱讀促進條例》全文發(fā)布，旨在保障全民閱讀權(quán)利，培養(yǎng)全民閱讀習慣，提高全民閱讀能力，推動文明城市和文化強市建設．某高校為了解條例發(fā)布以來全校學生的閱讀情況，隨機調(diào)查了200名學生每周閱讀時間(單位：小時)并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這200名學生每周閱讀時間的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表)；（2）由直方圖可以認為，目前該校學生每周的閱讀時間服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．（i）一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布的概率進行計算：若令，則，且．利用直方圖得到的正態(tài)分布，求．(ii)從該高校的學生中隨機抽取20名，記表示這20名學生中每周閱讀時間超過10小時的人數(shù)，求(結(jié)果精確到0．0001)以及的數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：．若，則．【解析】（1），；（2）（i）由題知，，∴，．∴；（ⅱ）由（i）知，可得，.∴的數(shù)學期望.例7．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，一條流水線年產(chǎn)量為件，該生產(chǎn)線分為兩段，流水線第一段生產(chǎn)的半成品的質(zhì)量指標會影響第二段生產(chǎn)成品的等級，具體見下表：第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標或或第二段生產(chǎn)的成品為一等品概率0.20.40.6第二段生產(chǎn)的成品為二等品概率0.30.30.3第二段生產(chǎn)的成品為三等品概率0.50.30.1從第一道生產(chǎn)工序抽樣調(diào)查了件，得到頻率分布直方圖如圖：若生產(chǎn)一件一等品、二等品、三等品的利潤分別是元、元、元.（Ⅰ）以各組的中間值估計為該組半成品的質(zhì)量指標，估算流水線第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標的平均值；（Ⅱ）將頻率估計為概率，試估算一條流水線一年能為該公司創(chuàng)造的利潤；（Ⅲ）現(xiàn)在市面上有一種設備可以安裝到流水線第一段，價格是萬元，使用壽命是年，安裝這種設備后，流水線第一段半成品的質(zhì)量指標服從正態(tài)分布，且不影響產(chǎn)量.請你幫該公司作出決策，是否要購買該設備？說明理由.（參考數(shù)據(jù)：，，）【解析】（Ⅰ）平均值為：.（Ⅱ）由頻率直方圖，第一段生產(chǎn)半成品質(zhì)量指標或，或，，設生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為元，則，，，所以生產(chǎn)一件成品的平均利潤是元，所以一條流水線一年能為該公司帶來利潤的估計值是萬元.（Ⅲ），設引入該設備后生產(chǎn)一件成品利潤為元，則，，，所以引入該設備后生產(chǎn)一件成品平均利潤為元，所以引入該設備后一條流水線一年能為該公司帶來利潤的估計值是萬元，增加收入萬元，綜上，應該引入該設備.例8．2019年春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費政策”.某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速收費點處記錄了大年初三上午9:20～10:40這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有600輛車通過該收費點，它們通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如圖所示，其中時間段9:20～9：40記作區(qū)間，9:40～10:00記作，10:00～10:20記作，10:20～10:40記作.比方：10點04分，記作時刻64.（1）估計這600輛車在9:20～10:40時間段內(nèi)通過該收費點的時刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）為了對數(shù)據(jù)進行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，記為9:20～10:00之間通過的車輛數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望；（3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在春節(jié)期間每天通過該收費點的時刻服從正態(tài)分布，其中可用這600輛車在9:20～10:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點，估計在9:46～10:40之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：若，則，，.【解析】解：（1）這600輛車在9:20～10:40時間段內(nèi)通過該收費點的時刻的平均值為，即10點04分。（2）結(jié)合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知：抽取的10輛車中，在10:00前通過的車輛數(shù)就是位于時間分組中在這一區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)，即，所以的可能取值為0，1，2，3，4。所以，，，，，所以的分布列為01234所以.（3）由（1）可得，，所以.估計在9:46～10:40這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，也就是通過的車輛數(shù)，由，得，所以，估計在9:46～10:40這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)為（輛）.例9．某工廠抽取了一臺設備在一段時間內(nèi)生產(chǎn)的一批產(chǎn)品，測量一項質(zhì)量指標值，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）計算該樣本的平均值，方差；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）（2）根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這臺設備在正常狀態(tài)下生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均值，近似為樣本方差.任取一個產(chǎn)品，記其質(zhì)量指標值為.若，則認為該產(chǎn)品為一等品；，則認為該產(chǎn)品為二等品；若，則認為該產(chǎn)品為不合格品.已知設備正常狀態(tài)下每天生產(chǎn)這種產(chǎn)品1000個.（i）用樣本估計總體，問該工廠一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中不合格品是否超過？（ii）某公司向該工廠推出以舊換新活動，補足50萬元即可用設備換得生產(chǎn)相同產(chǎn)品的改進設備.經(jīng)測試，設備正常狀態(tài)下每天生產(chǎn)產(chǎn)品1200個，生產(chǎn)的產(chǎn)品為一等品的概率是，二等品的概率是，不合格品的概率是.若工廠生產(chǎn)一個一等品可獲得利潤50元，生產(chǎn)一個二等品可獲得利潤30元，生產(chǎn)一個不合格品虧損40元，試為工廠做出決策，是否需要換購設備？參考數(shù)據(jù)：①；②；③，.【解析】（1）由頻率分布直方圖可得.（2）（i）方法一：由（1）得，由圖可得質(zhì)量指標值在和的頻率為，所以該工廠一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中不合格品超過.方法二：由于.所以該工廠一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中不合格品超過.（ii）設，分別為設備，一天為工廠創(chuàng)造的利潤，則，，所以采用新設備利潤每天增加，因此，只需56天使用設備產(chǎn)生的利潤就超過使用設備產(chǎn)生的利潤和換購費用總和，從長遠來看，應該換購設備.例10．為評估設備生產(chǎn)某種零件的性能，從設備生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：直徑5859616263646566676869707173合計件數(shù)11356193318442121100經(jīng)計算，樣本的平均值，標準差，以頻率值作為概率的估計值，用樣本估計總體.（1）將直徑小于等于或直徑大于的零件認為是次品，從設備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取3個零件，計算其中次品個數(shù)的數(shù)學期望；（2）為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進行評判（表示相應事件的概率）：①；②；③.評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設備的性能等級并說明理由.【解析】（1）由圖表知道：直徑小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件，共計6件，從設備的生產(chǎn)流水線上任取一件，取到次品的概率為，依題意，故；（2）由題意知，，，，，，，所以由圖表知道：，，，所以該設備的性能為丙級別.例11．十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康。經(jīng)過不懈的奮力拼搏