數(shù)學(xué)教案：條件概率

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2．2二項(xiàng)分布及其應(yīng)用2．2。1條件概率eq\o（\s\up7（）,\s\do5(整體設(shè)計))教材分析條件概率的概念在概率理論中占有十分重要的地位，教科書只是簡單介紹條件概率的初等定義．為了便于學(xué)生理解，教材以簡單事例為載體,逐步通過探究,引導(dǎo)學(xué)生體會條件概率的思想．課時分配1課時教學(xué)目標(biāo)知識與技能通過對具體情境的分析,了解條件概率的定義，掌握簡單的條件概率的計算．過程與方法發(fā)展抽象、概括能力，提高解決實(shí)際問題的能力．情感、態(tài)度與價值觀使學(xué)生了解數(shù)學(xué)來源于實(shí)際，應(yīng)用于實(shí)際的唯物主義思想．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：條件概率定義的理解．教學(xué)難點(diǎn)：概率計算公式的應(yīng)用．eq\o(\s\up7()，\s\do5（教學(xué)過程))eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(探究活動))抓鬮游戲:三張獎券中只有一張能中獎，現(xiàn)分別由三名同學(xué)無放回地抽取，問最后一名同學(xué)抽到中獎獎券的概率是否比前兩名同學(xué)?。顒咏Y(jié)果:法一:若抽到中獎獎券用“Y”表示，沒有抽到用“eq\x\to(Y）"表示，那么三名同學(xué)的抽獎結(jié)果共有三種可能：Yeq\x\to(Y)eq\x\to(Y),eq\x\to（Y)Yeq\x\to（Y)和eq\x\to（Y)eq\x\to（Y)Y。用B表示事件“最后一名同學(xué)抽到中獎獎券"，則B僅包含一個基本事件eq\x\to(Y)eq\x\to（Y）Y.由古典概型計算公式可知，最后一名同學(xué)抽到中獎獎券的概率為P(B）＝eq\f（1，3).故三名同學(xué)抽到中獎獎券的概率是相同的．法二：（利用乘法原理）記Ai表示：“第i名同學(xué)抽到中獎獎券”的事件，i＝1,2，3，則有P(A1）＝eq\f（1，3)，P(A2)＝eq\f(2×1，3×2）＝eq\f(1,3），P（A3)＝eq\f（2×1×1,3×2×1)＝eq\f（1，3)。提出問題：如果已經(jīng)知道第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券，那么最后一名同學(xué)抽到獎券的概率又是多少?設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生深入思考,小組內(nèi)同學(xué)合作討論，得出以下結(jié)論，教師因勢利導(dǎo)．學(xué)情預(yù)測：一些學(xué)生缺乏用數(shù)學(xué)語言來表述問題的能力,教師可適當(dāng)輔助完成．師生共同指出:因?yàn)橐阎谝幻瑢W(xué)沒有抽到中獎獎券，所以可能出現(xiàn)的基本事件只有eq\x\to(Y)eq\x\to（Y）Y和eq\x\to(Y）Yeq\x\to（Y）.而“最后一名同學(xué)抽到中獎獎券"包含的基本事件仍是eq\x\to（Y)eq\x\to（Y）Y。由古典概型計算公式可知，最后一名同學(xué)抽到中獎獎券的概率為eq\f（1,2），不妨記為P（B｜A），其中A表示事件“第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券”．進(jìn)一步提出:已知第一名同學(xué)的抽獎結(jié)果為什么會影響最后一名同學(xué)抽到中獎獎券的概率呢？共同指出:在這個問題中，知道第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券，等價于知道事件A一定會發(fā)生,導(dǎo)致可能出現(xiàn)的基本事件必然在事件A中，從而影響事件B發(fā)生的概率，使得P（B|A)≠P(B)．提出問題：對于上面的事件A和事件B，P(B|A)與它們的概率有什么關(guān)系呢？活動結(jié)果：用Ω表示三名同學(xué)可能抽取的結(jié)果全體，則它由三個基本事件組成，即Ω＝{Yeq\x\to(Y）eq\x\to(Y)，eq\x\to(Y)Yeq\x\to(Y)，eq\x\to（Y）eq\x\to(Y）Y}．既然已知事件A必然發(fā)生，那么只需在A＝{eq\x\to（Y）Yeq\x\to（Y)，eq\x\to(Y）eq\x\to(Y）Y｝的范圍內(nèi)考慮問題,即只有兩個基本事件eq\x\to(Y）Yeq\x\to（Y)和eq\x\to（Y）eq\x\to（Y）Y.在事件A發(fā)生的情況下事件B發(fā)生,等價于事件A和事件B同時發(fā)生，即AB發(fā)生．而事件AB中僅含一個基本事件eq\x\to(Y)eq\x\to(Y）Y，因此P（B|A)＝eq\f(1，2)＝eq\f（nAB，nA）.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（理解新知））(幾何解釋）其中n（A)和n(AB）分別表示事件A和事件AB所包含的基本事件個數(shù)．另一方面，根據(jù)古典概型的計算公式，P(AB）＝eq\f（n(AB)，n（Ω）)，P（A）＝eq\f（n(A），n（Ω))，其中n(Ω）表示Ω中包含的基本事件個數(shù)．所以，P(B｜A）＝eq\f（n(AB）,n（A))＝eq\f（\f（n（AB),n(Ω))，\f（n（A),n（Ω)））＝eq\f（P（AB),P（A））.因此，可以通過事件A和事件AB的概率來表示P(B|A）．(給出定義)1．定義設(shè)A和B為兩個事件，P(A)>0，稱P(B｜A）＝eq\f（P（AB）,P(A）)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．P（B｜A）讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率．補(bǔ)充說明：由這個定義易知，P（AB）＝P（B｜A）·P(A）．(概率的乘法公式）提出問題:根據(jù)概率的性質(zhì)可以得到P(B|A)的哪些性質(zhì)？活動結(jié)果：2．P(B|A)的性質(zhì)(1)非負(fù)性：0≤P(B｜A)≤1；（2）規(guī)范性：P（Ω|B)＝1；（3)可列可加性:如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C｜A）＝P(B｜A)＋P（C｜A)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（運(yùn)用新知））例1考慮恰有兩個小孩的家庭．若已知某家有男孩，求這家有兩個男孩的概率;若已知某家第一個是男孩，求這家有兩個男孩(相當(dāng)于第二個也是男孩）的概率．(假定生男生女為等可能)解：Ω＝{（男,男),(男，女），(女，男),(女，女）｝．設(shè)B＝“有男孩”,則B＝｛(男,男），(男，女），(女，男）}．A＝“有兩個男孩"，則A＝｛（男,男)｝，B1＝“第一個是男孩"，則B1＝｛（男，男)，（男,女）｝于是得P（B）＝eq\f(3，4)，P（BA)＝P(A）＝eq\f(1,4）,∴P(A|B）＝eq\f（P（BA）,P（B)）＝eq\f（1，3);P（B1）＝eq\f(1，2）,P(B1A）＝P(A)＝eq\f（1，4），∴P(A｜B1）＝eq\f（P（B1A)，P（B1）)＝eq\f(1,2)。例2一張儲蓄卡的密碼共有6位數(shù)字,每位數(shù)字都可從0～9中任選一個．某人在銀行自動提款機(jī)上取錢時，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：（1)任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對的概率；(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率．解:設(shè)“第i次按對密碼”為事件Ai（i＝1，2)，則A＝A1∪(eq\x\to(A1)A2)表示“不超過2次就按對密碼”．（1)因?yàn)槭录嗀1與事件eq\x\to（A1)A2互斥，由概率的加法公式得P（A)＝P（A1）＋P（eq\x\to(A1)A2)＝eq\f(1，10)＋eq\f（9×1,10×9）＝eq\f（1，5）.(2)用B表示“最后一位按偶數(shù)"的事件,則P（A|B）＝P（A1｜B）＋P（eq\x\to（A1）A2｜B）＝eq\f（1,5)＋eq\f(4×1，5×4)＝eq\f(2，5)。設(shè)計意圖：以上兩題都是從實(shí)際中來，到實(shí)際中去,這也是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的所在．【變練演編】盒中有球如下表:玻璃木質(zhì)總計紅235藍(lán)4711總計61016任取一球,若已知取的是藍(lán)球，問該球是玻璃球的概率．（eq\f(4，11))變式：若已知取的是玻璃球,求取的是藍(lán)球的概率．(eq\f（2，3））【達(dá)標(biāo)檢測】1．一批產(chǎn)品中有4%的次品，而合格品中一等品占45％。從這批產(chǎn)品中任取一件，求該產(chǎn)品是一等品的概率．解：設(shè)A表示“取到的產(chǎn)品是一等品"，B表示“取出的產(chǎn)品是合格品”,則P（A｜B）＝45％，P（eq\x\to（B）)＝4％，于是P(B）＝1－P（eq\x\to(B）)＝96%.所以P(A)＝P(AB）＝P(B）P（A｜B)＝96%×45％＝43.2％.2．?dāng)S兩顆均勻骰子，已知第一顆擲出6點(diǎn),問“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少？解：設(shè)A＝｛擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10｝,B＝{第一顆擲出6點(diǎn)｝,所以P（A|B)＝eq\f(n(AB),n（B）)＝eq\f（3，6)＝eq\f（1,2）。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié))）1．條件概率：P（B｜A)＝eq\f(P(AB),P(A））＝eq\f（n(AB)，n（B)）.2．概率P（B|A)與P（AB)的區(qū)別與聯(lián)系：P（AB)表示在樣本空間Ω中，計算AB發(fā)生的概率,而P（B|A）表示在縮小的樣本空間ΩA中，計算B發(fā)生的概率．用古典概率公式,則P(B|A）＝eq\f（AB中樣本點(diǎn)數(shù),ΩA中樣本點(diǎn)數(shù)），P(AB)＝eq\f（AB中樣本點(diǎn)數(shù)，Ω中樣本點(diǎn)數(shù))。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(補(bǔ)充練習(xí)))【基礎(chǔ)練習(xí)】1．拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子所得的樣本空間為S＝｛1,2,3,4,5，6｝，令事件A＝{2,3，5}，B＝{1，2,4,5，6}，則P(A)＝________，P(B)＝________，P（AB）＝________,P（A｜B）＝________.（eq\f（1,2)；eq\f（5，6);eq\f（1,3)；eq\f（2，5）)2．一個正方形被平均分成9個小正方形,向大正方形區(qū)域隨機(jī)地投擲一個點(diǎn)（假設(shè)每次都能投中)，設(shè)投中最左側(cè)3個小正方形區(qū)域的事件記為A,投中最上面3個小正方形或正中間的1個小正方形區(qū)域的事件記為B，求P（AB），P(A｜B)．解：P（AB）＝eq\f（1,9）；P（A｜B）＝eq\f(1，4）。【拓展練習(xí)】某種動物出生之后活到20歲的概率為0.7，活到25歲的概率為0。56，求現(xiàn)年為20歲的這種動物活到25歲的概率．解：設(shè)A表示“活到20歲”（即≥20),B表示“活到25歲”(即≥25)，則P（A)＝0.7，P（B）＝0。56，故P（B|A)＝eq\f（P（AB),P(A)）＝eq\f(P(B)，P(A））＝0。8.eq\o（\s\up7(）,\s\do5(設(shè)計說明))好的教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，等于成功的一半．因而,以一個輕松愉快的抽獎券游戲把學(xué)生帶進(jìn)一個輕松愉快的課堂環(huán)境中．從游戲開始，誘思深入，把老師在堂上講、學(xué)生在堂下聽的教學(xué)過程變?yōu)閹熒餐剿鳎餐芯康倪^程．學(xué)生圍繞老師提出的一系列具有趣味性和啟發(fā)性的層層深入的問題，展開討論，使問題得到解決,從而突出本節(jié)重點(diǎn)，突破本節(jié)難點(diǎn)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(備課資料))備用例題：1．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，則(1)兩次都是正面向上的概率是________．(2）在已知有一次出現(xiàn)正面向上的條件下，兩次都是正面向上的概率是________．答案:(1)eq\f(1,4)(2)eq\f（1，2)2．在5道題中有3道理科題和2道文科題．如果不放回地依次抽取2道題，求：（1)第1次抽到理科題的概率；（2)第1次和第2次都抽到理科題的概率；(3）在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率．解：設(shè)“第1次抽到理科題”為事件A,“第2次抽到理科題”為事件B，則“第1次和第2次都抽到理科題"為事件AB。（1)從5道題中不放回地依次抽取2道的事件數(shù)為n（Ω）＝Aeq\o\al(2,5)＝20.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，n（A)＝Aeq\o\al(1,3）×Aeq\o\al（1，4）＝12.于是P（A）＝eq\f（n(A），n（Ω）)＝eq\f（12，20）＝eq\f(3,5).（2)因?yàn)閚(AB）＝Aeq\o\al(2，3)＝6,所以P(AB)＝eq\f(n（AB），n（B))＝eq\f(6，20)＝eq\f(3,10）.(3）解法1：由（1）(2）可得,在“第1次抽到理