數學教案：空間中的平行關系平面與平面平行

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設計）)教學分析教材通過實際操作歸納出了平面與平面平行的判定定理和性質定理，并通過兩個例題展示了應用．值得注意的是根據課程標準，不需要證明判定定理．在教學中，應加強對判定定理和性質定理應用的教學．三維目標1．掌握平面與平面平行的判定定理和性質定理,提高學生的歸納能力．2．利用判定和性質定理解決平行問題,提高學生的應用能力，培養(yǎng)學生的空間想象能力．重點難點教學重點：判定定理和性質定理的應用．教學難點:判定定理的歸納．課時安排1課時eq\o(\s\up7（），\s\do5（教學過程）)導入新課設計1。前面我們已經學習了兩直線平行、直線與平面平行的判定定理和性質定理,今天我們學習第三種平行，教師點出課題．設計2.工人師傅在制造我們學習用的課桌時,怎樣檢驗桌面與地面平行呢?教師點出課題．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出問題）)eq\a\vs4\al（1觀察教室，兩個不重合的平面的位置關系除相交外,還有什么情況?，2試用兩條相交直線歸納出平面與平面平行的判定定理。，3通過學習平面與平面平行的判定定理和推論,怎樣畫兩平行的平面？,4平面與平面平行有什么性質？)討論結果：（1）教室內的天花板和地面不相交,而是平行，因此兩平面的位置關系有兩種:相交和平行．如果兩個平面沒有公共點,則稱這兩個平面平行．平面α平行于平面β，記作α∥β.(2)如下圖，在平面α內，作兩條直線a，b，并且a∩b＝P，平移這兩條相交的直線a，b到直線a′，b′的位置，設a′∩b′＝P′，由直線與平面平行的判定定理可知：a′∥α，b′∥α.想必同學們已經認識到，由相交直線a′，b′所確定的平面β與平面α不會有公共點．否則，如下圖，如果兩平面相交，交線為c，于是a′，b′都平行于這兩個平面的交線c，這時，過點P′有兩條直線平行于交線c,根據平行公理，這是不可能的．由此，我們可以歸納出兩個平面平行的判定定理：定理如果一個平面內有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．利用直線與平面平行的判定定理,我們可以得到：推論如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條直線,則這兩個平面平行．（3)根據上述定理和推論,在畫兩個平面平行時，通常把表示這兩個平面的平行四邊形的相鄰兩邊分別畫成平行線（如下圖)．(4)觀察長方體形的教室，天花板面與地面是平行的．直觀上能感覺到，墻面分別與天花板面、地面相交所得到的兩條交線也是平行的．一般來說，兩個平面平行有如下性質：定理如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行．事實上，由于兩條交線分別在兩個平行平面內，所以它們不相交,它們又都在同一平面內，由平行線的定義可知它們是平行的．(如下圖)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（應用示例))思路1例1已知三棱錐P—ABC中，D，E,F分別是棱PA,PB，PC的中點(如下圖)．求證:平面DEF∥平面ABC.證明：在△PAB中，因為D,E分別是PA,PB的中點，所以DE∥AB.又知DE平面ABC，因此DE∥平面ABC.同理EF∥平面ABC.又因為DE∩EF＝E,所以平面DEF∥平面ABC.點評：證明面面平行,通常轉化為證明線面平行．變式訓練已知：正方體ABCD—A1B1C1D1,求證：平面AB1D1∥平面C1BD。證明：如下圖所示，ABCD—A1B1C1D1是正方體，所以BD∥B1D1.又B1D1平面AB1D1，BD平面AB1D1，從而BD∥平面AB1D1.同理可證，BC1∥平面AB1D1.又直線BD與直線BC1交于點B，因此平面C1BD∥平面AB1D1。例2已知：平面α∥平面β∥平面γ，兩條直線l,m分別與平面α，β，γ相交于點A，B，C和點D，E，F(如下圖)．求證:eq\f(AB，BC）＝eq\f(DE，EF）。證明：連結DC，設DC與平面β相交于點G，則平面ACD與平面α，β分別相交于直線AD，BG。平面DCF與平面β,γ分別相交于直線GE，CF.因為α∥β,β∥γ，所以BG∥AD,GE∥CF.于是，得eq\f（AB，BC）＝eq\f(DG，GC),eq\f(DG,GC)＝eq\f（DE,EF)。所以eq\f（AB,BC）＝eq\f（DE,EF)。點評：本例通?？蓴⑹鰹椋簝蓷l直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例．變式訓練如下圖,平面α，β，γ兩兩平行，且直線l與α，β，γ分別相交于點A，B，C，直線m與α,β，γ分別相交于點D,E，F，AB＝6，BC＝2，EF＝3。求DE的長．解：連結DC.設DC與β相交于點G，則平面ACD與α，β分別相交于直線AD，BG，平面DCF與β，γ分別相交于直線GE，CF.因為α，β，γ兩兩平行，所以BG∥AD,GE∥CF.因此eq\f(AB，BC）＝eq\f（DG,GC），eq\f(DG，GC）＝eq\f(DE，EF)。所以eq\f（AB,BC）＝eq\f（DE,EF).又因為AB＝6,BC＝2,EF＝3,所以DE＝9.思路2例3已知：a、b是異面直線，a平面α，b平面β，a∥β，b∥α。求證：α∥β。證明:如下圖，在b上任取點P,顯然Pa.于是a和點P確定平面γ，且γ與β有公共點P.設γ∩β＝a′,∵a∥β.∴a′∥a.∴a′∥α。這樣β內相交直線a′和b都平行于α,∴α∥β。變式訓練如下圖,平面α∥平面β，平面γ與α交于直線a，γ與β交于直線b，直線c在β內，且c∥b。（1)判斷c與α的位置關系,并說明理由;（2）判斷c與a的位置關系，并說明理由．答案:（1）c∥α;(2)c∥a。（理由，略）2。2008江西高考,文9設直線m與平面α相交但不垂直，則下列說法中正確的是()A．在平面α內有且只有一條直線與直線m垂直B．過直線m有且只有一個平面與平面α垂直C．與直線m垂直的直線不可能與平面α平行D．與直線m平行的平面不可能與平面α垂直解析：由題意，m與α斜交,令其在α內的射影為m′,則在α內可作無數條與m′垂直的直線，它們彼此平行．故A錯，如下圖．在α外，可作與α內直線l平行的直線，故C錯;如下圖，mβ,β⊥α，故B正確．與直線m垂直與平面α平行的直線有無數條，故C錯．可實現作β的平行平面γ，則m∥γ且γ⊥α，故D錯．答案:B例4如下圖，在正方體ABCD-EFGH中,M、N、P、Q、R分別是EH、EF、BC、CD、AD的中點，求證：平面MNA∥平面PQG。證明：∵M、N、P、Q、R分別是EH、EF、BC、CD、AD的中點，∴MN∥HF,PQ∥BD.∵BD∥HF,∴MN∥PQ.∵PR∥GH，PR＝GH，MH∥AR，MH＝AR，∴四邊形RPGH為平行四邊形，四邊形ARHM為平行四邊形．∴AM∥RH，RH∥PG?！郃M∥PG.∵MN∥PQ，MN平面PQG，PQ平面PQG，∴MN∥平面PQG。同理可證，AM∥平面PQG。又直線AM與直線MN相交，∴平面MNA∥平面PQG.點評：證面面平行，通常轉化為證線面平行,而證線面平行又轉化為證線線平行,所以關鍵是證線線平行．變式訓練如下圖(1),已知平面α∥平面β，A、C∈α,B、D∈β，E、F分別為AB、CD的中點．(1)(2）求證:EF∥α,EF∥β.證明:當AB、CD共面時，平面ABCD∩α＝AC，平面ABCD∩β＝BD?！擀痢桅?∴AC∥BD?！逧、F分別為AB、CD的中點，∴EF∥AC.∵ACα,EFα,∴EF∥α.同理，EF∥β.當AB、CD異面時，如上圖（2）∵ECD，∴可在平面ECD內過點E作C′D′∥CD，與α、β分別交于C′、D′。平面AC′BD′∩α＝AC′,平面AC′BD′∩β＝BD′,∵α∥β，∴AC′∥BD′.∵E是AB中點，∴E也是C′D′的中點．平面CC′D′D∩α＝CC′，平面CC′D′D∩β＝DD′，∵α∥β，∴CC′∥DD′.∵E、F分別為C′D′、CD的中點，∴EF∥CC′，EF∥DD′.∵CCα，EFα，∴EF∥α。同理，EF∥β。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（知能訓練）)1．如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行．已知：α∥β，γ∥β，求證:α∥γ。證明：如下圖，作兩個相交平面分別與α、β、γ交于a、c、e和b、d、f，eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(α∥β\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a∥c,b∥d）),β∥γ\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（c∥e，d∥f）))）eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（a∥ea∥γ,b∥fb∥γ)）α∥γ。點評：欲將面面平行轉化為線線平行，先要作平面．2。如下圖，EFGH的四個頂點分別在空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上，求證：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH.證明：∵四邊形EFGH是平行四邊形eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（EH∥FG,FG面BDC,EH面BDC））eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（，,,,，\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（EH∥面BDC，EH面ABD,面ABD∩面BDC＝BD））)）eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（EH∥BD,EH面EFGH，BD面EFGH)）BD∥面EFGH.同理，可證AC∥面EFGH.3．已知:如下圖，正方體ABCD-A1B1C1D，AA1＝2，E為棱CC1的中點．求證：AC∥平面B1DE.分析:取BB1的中點F,轉化為證明平面ACF∥面B1DE.證明：取BB1的中點F，連結AF、CF、EF。如下圖．∵E、F是CC1、BB1的中點，∴CEB1F，∴四邊形B1FCE是平行四邊形，∴CF∥B1E.∴CF∥平面B1DE?！逧，F是CC1,BB1的中點,∴EFBC，又BCAD，∴EFAD.∴四邊形ADEF是平行四邊形,∴AF∥ED，∴AF∥平面B1DE.又∵AF∩CF＝F，AF平面B1DE，CF平面B1DE.∴平面ACF∥面B1DE。又AC平面ACF.∴AC∥面B1DE.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升))如下圖，兩條異面直線AB、CD與三個平行平面α、β、γ分別相交于A、E、B及C、F、D，又AD、BC與平面的交點為H、G。求證：四邊形EHFG為平行四邊形．eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（證明:平面ABC∩α＝AC,平面ABC∩β＝EG,α∥β）)AC∥EG.同理,AC∥HF.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（AC∥EG,AC∥HF））EG∥HF。同理，EH∥FG.故四邊形EHFG是平行四邊形．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結）)本節(jié)課學習了：平面與平面平行的判定定理和性質，平行關系的證明策略——轉化．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作業(yè)））本節(jié)練習B2，3題．eq\o（\s\up7（）,\s\do5（設計感想)）本節(jié)教學設計依據課程標準，通過操作，歸納平面與平面平行的判定定理和性質定理．精選了典型題目，體會判定定理和性質定理的應用．由于課堂容量較大，建議使用信息技術．eq\o(\s\up7（）,\s\do5（備課資料))備選習題1．如下圖，P是△ABC所在平面外的一點,A′、B′、C′分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心．(1）求證：平面ABC∥平面A′B′C′；(2）求△A′B′C′與△ABC的面積之比．(1）證明:連結PA′、PB′、PC′并延長交BC、AC、AB于D、E、F，連結DE、EF、DF.∵A′、C′分別是△PBC、△PAB的重心，∴PA′＝eq\f（2，3）PD，PC′＝eq\f(2,3)PF.∴A′C′∥DF?！逜′C′平面ABC，DF平面ABC，∴A′C′∥平面ABC.同理，A′B′∥平面ABC.又A′C′∩A′B′＝A′，A′C′、A′B′