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文檔簡介
2024屆湖北省黃岡市晉梅中學高三第一次教學質(zhì)量檢測試題數(shù)學試題試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,若則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示,則針對2019年這一年的收支情況,下列說法中錯誤的是()A.月收入的極差為60 B.7月份的利潤最大C.這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.這一年的總利潤超過400萬元3.已知雙曲線,過原點作一條傾斜角為直線分別交雙曲線左、右兩支P,Q兩點,以線段PQ為直徑的圓過右焦點F,則雙曲線離心率為A. B. C.2 D.4.已知點,點在曲線上運動,點為拋物線的焦點,則的最小值為()A. B. C. D.45.若的二項展開式中的系數(shù)是40,則正整數(shù)的值為()A.4 B.5 C.6 D.76.已知雙曲線的左、右頂點分別是,雙曲線的右焦點為,點在過且垂直于軸的直線上,當?shù)耐饨訄A面積達到最小時,點恰好在雙曲線上,則該雙曲線的方程為()A. B.C. D.7.已知四棱錐中,平面,底面是邊長為2的正方形,,為的中點,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.8.已知集合,集合,若,則()A. B. C. D.9.已知集合,集合,則()A. B. C. D.10.設(shè)雙曲線的左右焦點分別為,點.已知動點在雙曲線的右支上,且點不共線.若的周長的最小值為,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.11.函數(shù)(或)的圖象大致是()A. B. C. D.12.已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若的展開式中所有項的系數(shù)之和為,則______,含項的系數(shù)是______(用數(shù)字作答).14.已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,若,則的最小值為________.15.二項式的展開式的各項系數(shù)之和為_____,含項的系數(shù)為_____.16.已知半徑為的圓周上有一定點,在圓周上等可能地任意取一點與點連接,則所得弦長介于與之間的概率為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)拋物線的焦點為,準線為,為拋物線過焦點的弦,已知以為直徑的圓與相切于點.(1)求的值及圓的方程;(2)設(shè)為上任意一點,過點作的切線,切點為,證明:.18.(12分)已知函數(shù),.(1)求函數(shù)在處的切線方程;(2)當時,證明:對任意恒成立.19.(12分)第十四屆全國冬季運動會召開期間,某校舉行了“冰上運動知識競賽”,為了解本次競賽成績情況,從中隨機抽取部分學生的成績(得分均為整數(shù),滿分100分)進行統(tǒng)計,請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù),解答下列問題:(1)求、、的值及隨機抽取一考生其成績不低于70分的概率;(2)若從成績較好的3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取5人參加“普及冰雪知識”志愿活動,并指定2名負責人,求從第4組抽取的學生中至少有一名是負責人的概率.組號分組頻數(shù)頻率第1組150.15第2組350.35第3組b0.20第4組20第5組100.1合計1.0020.(12分)如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=CB=C1C=1,M,N分別是AB,A1C的中點.(1)求證:直線MN⊥平面ACB1;(2)求點C1到平面B1MC的距離.21.(12分)的內(nèi)角,,的對邊分別為,,已知,.(1)求;(2)若的面積,求.22.(10分)設(shè)函數(shù),.(1)求函數(shù)的極值;(2)對任意,都有,求實數(shù)a的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù),得到有解,則,得,,得到,再根據(jù),有,即,可化為,根據(jù),則的解集包含求解,【詳解】因為,所以有解,即有解,所以,得,,所以,又因為,所以,即,可化為,因為,所以的解集包含,所以或,解得,故選:C【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法及集合的關(guān)系的應(yīng)用,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題,2、D【解析】
直接根據(jù)折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為,故選項A正確;1至12月份的利潤分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利潤最高,故選項B正確;易求得總利潤為380萬元,眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項C正確,選項D錯誤.故選:.【點睛】本題考查了折線圖,意在考查學生的理解能力和應(yīng)用能力.3、B【解析】
求得直線的方程,聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程,求得兩點坐標的關(guān)系,根據(jù)列方程,化簡后求得離心率.【詳解】設(shè),依題意直線的方程為,代入雙曲線方程并化簡得,故,設(shè)焦點坐標為,由于以為直徑的圓經(jīng)過點,故,即,即,即,兩邊除以得,解得.故,故選B.【點睛】本小題主要考查直線和雙曲線的交點,考查圓的直徑有關(guān)的幾何性質(zhì),考查運算求解能力,屬于中檔題.4、D【解析】
如圖所示:過點作垂直準線于,交軸于,則,設(shè),,則,利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示:過點作垂直準線于,交軸于,則,設(shè),,則,當,即時等號成立.故選:.【點睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題,意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.5、B【解析】
先化簡的二項展開式中第項,然后直接求解即可【詳解】的二項展開式中第項.令,則,∴,∴(舍)或.【點睛】本題考查二項展開式問題,屬于基礎(chǔ)題6、A【解析】
點的坐標為,,展開利用均值不等式得到最值,將點代入雙曲線計算得到答案.【詳解】不妨設(shè)點的坐標為,由于為定值,由正弦定理可知當取得最大值時,的外接圓面積取得最小值,也等價于取得最大值,因為,,所以,當且僅當,即當時,等號成立,此時最大,此時的外接圓面積取最小值,點的坐標為,代入可得,.所以雙曲線的方程為.故選:【點睛】本題考查了求雙曲線方程,意在考查學生的計算能力和應(yīng)用能力.7、B【解析】
由題意建立空間直角坐標系,表示出各點坐標后,利用即可得解.【詳解】平面,底面是邊長為2的正方形,如圖建立空間直角坐標系,由題意:,,,,,為的中點,.,,,異面直線與所成角的余弦值為即為.故選:B.【點睛】本題考查了空間向量的應(yīng)用,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
根據(jù)或,驗證交集后求得的值.【詳解】因為,所以或.當時,,不符合題意,當時,.故選A.【點睛】本小題主要考查集合的交集概念及運算,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】
可求出集合,,然后進行并集的運算即可.【詳解】解:,;.故選.【點睛】考查描述法、區(qū)間的定義,對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,以及并集的運算.10、A【解析】
依題意可得即可得到,從而求出雙曲線的離心率的取值范圍;【詳解】解:依題意可得如下圖象,所以則所以所以所以,即故選:A【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于中檔題.11、A【解析】
確定函數(shù)的奇偶性,排除兩個選項,再求時的函數(shù)值,再排除一個,得正確選項.【詳解】分析知,函數(shù)(或)為偶函數(shù),所以圖象關(guān)于軸對稱,排除B,C,當時,,排除D,故選:A.【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,解題時可通過研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等,研究特殊的函數(shù)的值、函數(shù)值的正負,以及函數(shù)值的變化趨勢,排除錯誤選項,得正確結(jié)論.12、B【解析】
求出導函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)的最值,根據(jù)零點存在定理可確定參數(shù)范圍.【詳解】,當時,,單調(diào)遞增,當時,,單調(diào)遞減,∴在上只有一個極大值也是最大值,顯然時,,時,,因此要使函數(shù)有兩個零點,則,∴.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)的零點,考查用導數(shù)研究函數(shù)的最值,根據(jù)零點存在定理確定參數(shù)范圍.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】的展開式中所有項的系數(shù)之和為,,,項的系數(shù)是,故答案為(1),(2).14、40【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù),可得,因為,根據(jù)均值不等式,即可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,,等比數(shù)列的各項為正數(shù),,,當且僅當,即時,取得最小值.故答案為:.【點睛】本題主要考查了求數(shù)列值的最值問題,解題關(guān)鍵是掌握等比數(shù)列通項公式和靈活使用均值不等式,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.15、【解析】
將代入二項式可得展開式各項系數(shù)之和,寫出二項展開式通項,令的指數(shù)為,求出參數(shù)的值,代入通項即可得出項的系數(shù).【詳解】將代入二項式可得展開式各項系數(shù)和為.二項式的展開式通項為,令,解得,因此,展開式中含項的系數(shù)為.故答案為:;.【點睛】本題考查了二項式定理及二項式展開式通項公式,屬基礎(chǔ)題.16、【解析】在圓上其他位置任取一點B,設(shè)圓半徑為R,其中滿足條件AB弦長介于與之間的弧長為?2πR,則AB弦的長度大于等于半徑長度的概率P==;故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)2,;(2)證明見解析.【解析】
(1)由題意得的方程為,根據(jù)為拋物線過焦點的弦,以為直徑的圓與相切于點..利用拋物線和圓的對稱性,可得,圓心為,半徑為2.(2)設(shè),的方程為,代入的方程,得,根據(jù)直線與拋物線相切,令,得,代入,解得.將代入的方程,得,得到點N的坐標為,然后求解.【詳解】(1)解:由題意得的方程為,所以,解得.又由拋物線和圓的對稱性可知,所求圓的圓心為,半徑為2.所以圓的方程為.(2)證明:易知直線的斜率存在且不為0,設(shè),的方程為,代入的方程,得.令,得,所以,解得.將代入的方程,得,即點N的坐標為,所以,,故.【點睛】本題主要考查拋物線的定義幾何性質(zhì)以及直線與拋物線的位置關(guān)系,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.18、(1)(2)見解析【解析】
(1)因為,可得,即可求得答案;(2)要證對任意恒成立,即證對任意恒成立.設(shè),,當時,,即可求得答案.【詳解】(1),,,函數(shù)在處的切線方程為.(2)要證對任意恒成立.即證對任意恒成立.設(shè),,當時,,,令,解得,當時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減;當時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增.,,,當時,對任意恒成立,即當時,對任意恒成立.【點睛】本題主要考查了求曲線的切線方程和求證不等式恒成立問題,解題關(guān)鍵是掌握由導數(shù)求切線方程的解法和根據(jù)導數(shù)求證不等式恒成立的方法,考查了分析能力和計算能力,屬于難題.19、(1),,,;(2)【解析】
(1)根據(jù)第1組的頻數(shù)和頻率求出,根據(jù)頻數(shù)、頻率、的關(guān)系分別求出,進而求出不低于70分的概率;(2)由(1)得,根據(jù)分層抽樣原則,分別從抽出2人,2人,1人,并按照所在組對抽出的5人編號,列出所有2名負責人的抽取方法,得出第4組抽取的學生中至少有一名是負責人的抽法數(shù),由古典概型概率公式,即可求解.【詳解】(1),,,由頻率分布表可得成績不低于70分的概率約為:(2)因為第3、4、5組共有50名學生,所以利用分層抽樣在50名學生中抽取5名學生,每組分別為:第3組:人,第4組:人,第5組:人,所以第3、4、5組分別抽取2人,2人,1人設(shè)第3組的3位同學為、,第4組的2位同學為、,第5組的1位同學為,則從五位同學中抽兩位同學有10種可能抽法如下:,,,,,,,,,,其中第4組的2位同學、至少有一位同學是負責人有7種抽法,故所求的概率為.【點睛】本題考查補全頻率分布表、古典概型的概率,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)證明見解析.(2)【解析】
(1)連接AC1,BC1,結(jié)合中位線定理可證MN∥BC1,再結(jié)合線面垂直的判定定理和線面垂直的性質(zhì)分別求證AC⊥BC1,BC1⊥B1C,即可求證直線MN⊥平面ACB1;(2)作交于點,通過等體積法,設(shè)C1到平面B1CM的距離為h,則有,結(jié)合幾何關(guān)系即可求解【詳解】(1)證明:連接AC1,BC1,則N∈AC1且N為AC1的中點;∵M是AB的中點.所以:MN∥BC1;∵A1A⊥平面ABC,AC?平面ABC,∴A1A⊥AC,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1∥CC,∴AC⊥CC1,∵∠ACB=90°,BC∩CC1=C,BC?平面BB1C1C,CC1?平面BB1C1C,∴AC⊥平面BB1C1C,BC?平面BB1C1C,∴AC⊥BC1;又MN∥BC1∴AC⊥MN,∵CB=C1C=1,∴四邊形BB1C1C正方形,∴BC1⊥B1C,∴MN⊥B1C,而AC∩B1C=C,且AC?平面ACB1,CB1?平面ACB1,∴MN⊥平面ACB1,(2)作交于點,設(shè)C1到平面B1CM的距離為h,因為MP,所以?MP,因為CM,B1C;B1M,所以所以:CM?B1M.因為,所以,解得所以點,到平面的距離為【點睛】本題主要考查面面垂直的證明以及點到平面的距離,一般證明面面垂直都用線面垂直轉(zhuǎn)化為面面垂直,而點到面的距離常用體積轉(zhuǎn)化來求,屬于中檔題21、(1);(2)【解析】
試題分析:(1)根據(jù)余弦定理求出B,帶入條件求出,利用同角三角函數(shù)關(guān)系求其余
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