1.31.4特殊角的三角函數(shù)及其運(yùn)算（A卷基礎(chǔ)鞏固）-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)分層練習(xí)（基礎(chǔ)鞏固＋能力拓展北師大版）

1.3—1.4特殊角的三角函數(shù)及其運(yùn)算學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________A卷（基礎(chǔ)鞏固）一、單選題1．（2021·陽谷縣九年級(jí)月考）的值為（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：原式．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟知特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．2．（2021·重慶實(shí)外九年級(jí)入學(xué)考試）在中，，若，則sinC=（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠C，根據(jù)60°的正弦值是解答．【詳解】解：∵，，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．3．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)（，），則點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)cos30°=，縱坐標(biāo)tan45°=1，

∴點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為1．

選項(xiàng)C符合．故選：C．【點(diǎn)睛】考查點(diǎn)的坐標(biāo)的相關(guān)知識(shí)；熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵；用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．4．（2021·山東青島市九年級(jí)期末）如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別為OB、OC的中點(diǎn)，則sin∠OMN的值為（）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可知∠MON＝90°，OB＝0C，又知點(diǎn)M、N分別為OB、OC的中點(diǎn)，可知ON＝OM，從而得到△OMN為等腰直角三角形，求出∠OMN＝45°，據(jù)此即可得到sin∠OMN的值．【詳解】解：在正方形ABCD中，OB＝OC，∠MON＝90°，又∵點(diǎn)M、N分別為OB、OC的中點(diǎn)，∴ON＝OM，∴∠OMN＝45°，∴sin∠OMN＝sin45°＝．故選：C．【點(diǎn)睛】此題結(jié)合正方形的性質(zhì)考查了特殊角的三角函數(shù)值，要注意等腰直角三角形的判定和性質(zhì)．5．（2021·山東青島市中考一模）如圖，在菱形中，，，是中點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則的長為（）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】連接DB，四邊形ABCD為菱形，∠BCD=60°，可得△ABD為等邊三角形，求出AF的長度，再證明△AEF≌△DEF，即可求出DF的長度．【詳解】如圖：連接DB∵四邊形ABCD為菱形，∠BCD=60°，∴∠BCD=∠BAD=60°，∴AB=AD，∠DAC=∠BAC=∠DAB=30°，即△ABD為等邊三角形，又E為AD的中點(diǎn)，∴BE⊥AD，∴AE=AD=AB=3，cos∠EAF==cos30°=，即AF=2又在△AEF和△DEF中，∠AEF=∠DEF=90°，AE=DE，EF=EF，∴△AEF≌△DEF，∴DF=AF=2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及特殊銳角三角函數(shù)值，熟悉并靈活運(yùn)用以上性質(zhì)式解題的關(guān)鍵．6．（2021·遼寧沈陽市九年級(jí)二模）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，于點(diǎn)，則的長為（）A． B． C．4 D．2【答案】A【分析】利用菱形的性質(zhì)求出CD=8，∠ODC=30°，在Rt△DOC中，利用銳角三角函數(shù)求出OD，在Rt△DOE中，利用銳角三角函數(shù)求出OE即可【詳解】解：連接OC，∵四邊形是菱形，點(diǎn)O為對(duì)角線的中點(diǎn)，∴OC⊥BD，AB=AD=DC=8，DC∥AB，∵∠BAD=120°，∴∠ADB=∠ABD=，∴∠CDB=∠ABD=30°，在Rt△DOC中，∴OD=CDcos30°=，∵，∴△DCE是直角三角形，∴OE=ODsin30°=．故選擇：A．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，掌握菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．7．（2021·浙江寧波市中考真題）如圖，在中，于點(diǎn)D，．若E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則的長為（）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)條件可知△ABD為等腰直角三角形，則BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC長，再根據(jù)中位線定理可知EF=?！驹斀狻拷猓阂?yàn)锳D垂直BC，則△ABD和△ACD都是直角三角形，又因?yàn)樗訟D=，因?yàn)閟in∠C=，所以AC=2，因?yàn)镋F為△ABC的中位線，所以EF==1，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形、銳角三角形函數(shù)值、中位線相關(guān)知識(shí)，根據(jù)條件分析利用定理推導(dǎo)，是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題8．（2021·福州市九年級(jí)月考）________．【答案】1【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)、二次根式的乘法計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：．故答案為1【點(diǎn)睛】本題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)、二次根式的乘法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)計(jì)算法則．9．化簡：__________．【答案】【分析】先根據(jù)特殊三角函數(shù)值求值，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求解.【詳解】解：，=，=，因?yàn)?，所以，故答案為?【點(diǎn)睛】本題主要考查特殊三角函數(shù)值和二次根式的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握特殊三角函數(shù)值和二次根式的性質(zhì).10．（2021·貴州黔東南州九年級(jí)二模）在中，，則為________三角形．【答案】直角【分析】根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則它們都為0，可得，，因而可求得∠A、∠B的度數(shù)，由此可判斷△ABC的形狀．【詳解】∵，，且∴，∴，∴∠A=60゜，∠B=30゜∵∠A+∠B=90゜∴△ABC是直角三角形故答案為：直角．【點(diǎn)睛】本題考查了幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0則它們都為0的性質(zhì)，已知三角函數(shù)值求角，直角三角形的判定等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)非負(fù)數(shù)和為0的性質(zhì)求得∠A、∠B的三角函數(shù)值．11．（2021·山東泰安市九年級(jí)月考）在中，，，，則___________，___________，__________．【答案】3【分析】利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖所示，∵∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，∴，，∴，故答案為：；；3．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．12．（2021·江蘇鹽城市九年級(jí)期末）銳角滿足，則_____．【答案】【分析】根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可得答案．【詳解】解：，，又，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知特殊角的三角函數(shù)值．13．（2021·吉林長春市中考模擬）如圖，是一個(gè)直角三角形紙片，，，，點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn).將紙片沿剪開，用剪開后的兩部分紙片拼成一個(gè)不重疊無縫隙的矩形，則矩形的周長為________________．【答案】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)解出AB的長度，根據(jù)拼接的性質(zhì)以及矩形性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：在中，，，，，由題意，四邊形CBDF為矩形，且由拼接而成，，矩形BDFC周長為；．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意找出拼接前后對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．（2021·江蘇泰興市九年級(jí)期末）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AC＝，則BC的長為________．【答案】3或【分析】過A作AD⊥BC于D，分為兩種情況，畫出圖形，求出BD和CD，即可求出答案．【詳解】解：如圖1，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵∠B＝30°，AB＝4，∴AD＝AB＝2，BD＝AB?cos30°＝4×＝．在Rt△ACD中，∵AD＝2，AC＝，∴∴BC＝BD+DC＝；如圖2，同理可得，AD＝AB＝2，BD＝AB?cos30°＝4×＝，，∴BC＝BD﹣DC＝．綜上所述，BC的長為或；故答案為：3或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.三、計(jì)算題15．計(jì)算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）1；（2）2，；（3）．【分析】（1）直接把各特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算即可；（2）把各特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算即可；（3）把被開方數(shù)化為完全平方的性質(zhì)，再把各特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）；（2）（3）【點(diǎn)睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．16．（2021·昆明市九年級(jí)月考）計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）5；（2）．【分析】（1）首先利用零次冪的性質(zhì)、絕對(duì)值的代數(shù)意義、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，再算加減即可．（2）首先利用乘方的意義、二次根式的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，再算加減即可．【詳解】解：（1）===5；（2）====．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．四、解答題17．（2021·濟(jì)寧市九年級(jí)月考）如圖，是的高，，，，求的長．【答案】【分析】在中，利用銳角三角函數(shù)可得：，然后在中，由，可得，從而得到，即可求解．【詳解】解：∵是的高，∴AD⊥BC，在中，，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，特殊銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．18．如圖，物華大廈離小偉家，小偉從自家的窗中眺望大廈，并測得大廈頂部的仰角（angleofelevation）是，而大廈底部的俯角（angleofdepression）是，求該大廈的高度（結(jié)果精確到）．（sin37°≈0.602，cos37°≈0.799，tan37°≈0.754）【答案】【分析】先用證明表示小偉家為A，物華大廈為CD，過A作AB⊥CD，根據(jù)等腰直角三角形可得AB=CB=60m，利用正切三角函數(shù)求出DB，再求和即可．【詳解】解：設(shè)小偉家為A，物華大廈為CD，過A作AB⊥CD，∵測得大廈頂部的仰角是，∠CAB=45°，大廈底部的俯角是，∠BAD=37°，在Rt△ABC中，∠CAB=45°，∴AB=CB=60m，在Rt△ABD中，∠BAD=37°，∴tan∠BAD=，∴m，∴CD=BC+BD≈60+45.24=105.24≈105.2m．該大廈的高度約105.2m．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，仰角與俯角，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，掌握解直角三角形的應(yīng)用解決問題能力，仰角與俯角的區(qū)分，等腰直角三角形判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19．（2021·北京市九年級(jí)二模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的中線，AE∥BC，CE∥AD．（1）求證：四邊形ADCE是菱形；（2）連接BE，若∠ABC＝30°，AC＝2，求BE的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）先利用兩組對(duì)邊分別平行AE∥BC，CE∥AD，證四邊形ADCE是平行四邊形．利用直角三角形斜邊中線性質(zhì)AD=BD=CD．可證四邊形ADCE是菱形．（2）過點(diǎn)E作EH⊥BA交BA的延長線于點(diǎn)H．在Rt△ABC中，由30°直角三角形性質(zhì)可求BC，利用勾股定理可求AB．進(jìn)而可求AD，由四邊形ADCE是菱形與AE//BC，可求∠EAH∠ABC30°．在Rt△AEH中，由三角函數(shù)EH=1，AH．HB．在Rt△BEH中，BE．【詳解】（1）證明：∵AE∥BC，CE∥AD，∴四邊形ADCE是平行四邊形．∵∠BAC=90°，AD是BC邊上的中線，∴AD=BD=CD．∴四邊形ADCE是菱形．（2）解：過點(diǎn)E作EH⊥BA交BA的延長線于點(diǎn)H．在Rt△ABC中，∠ABC30°，AC2，∴BC，AB．∴ADBC2，∵四邊形ADCE是菱形，∴AEAD2，∵AE//BC，∴∠EAH∠ABC30°．在Rt△AEH中，EH，AH．∴HBAH＋AB．在Rt△BEH中，BE．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線性質(zhì)，30°角直角三角形性質(zhì)，勾股定理，特殊角銳角三角函數(shù)，通過引輔助線構(gòu)造直角三角形，用勾股定理解決問題是關(guān)鍵．20．（2021·安徽豪州市九年級(jí)月考）在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M、N分別為DE、BC的中點(diǎn)．（1）如圖①，若點(diǎn)P為DC的中點(diǎn)，連接MN、PM、PN．①求證：PM＝PN；②求證：△ADE∽△PNM；（2）如圖②，若點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)P為EC的中點(diǎn)，求的值．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）．【分析】（1）①根據(jù)中位線的性質(zhì)可證得，，再證明BD=CE即可得到結(jié)論；②根據(jù)平行線的性質(zhì)及直角三角形兩銳角互余證明△PMN是等腰直角三角形即可證明結(jié)論；（2）連接BE，根據(jù)SAS證明≌，利用全等三角形及中位線的性質(zhì)證得MP=NP，再利用平行線的性質(zhì)及直角三角形兩銳角互余證得