2025屆廣東省廣州市番禺區(qū)數學高一上期末達標檢測試題含解析

2025屆廣東省廣州市番禺區(qū)數學高一上期末達標檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．定義域為R的函數，若關于的方程恰有5個不同的實數解，則=A.0 B.C. D.12．已知冪函數f（x）=xa的圖象經過點P（-2，4），則下列不等關系正確的是（）A. B.C. D.3．我國東漢末數學家趙爽在《周髀算經》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若，則（）A. B.C. D.4．設為定義在上的偶函數，且在上為增函數，則的大小順序是（）A. B.C. D.5．在中，已知，則角（）A. B.C. D.或6．若?x∈[0，3]，使得不等式x2﹣2x+a≥0成立，則實數a的取值范圍是（）A.﹣3≤a≤0 B.a≥0C.a≥1 D.a≥﹣37．已知直線和互相平行，則實數等于（）A.或3 B.C. D.1或8．若函數是偶函數，則的單調遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.9．下列選項中，與最接近的數是A. B.C. D.10．若，則值為（）A. B.C. D.7二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如果直線與直線互相垂直，則實數__________12．已知函數，且函數恰有兩個不同零點，則實數的取值范圍是___________.13．若直線與互相垂直，則點到軸的距離為__________14．函數（且）的圖象過定點___________.15．下列命題中所有正確的序號是______________①函數最小值為4；②函數的定義域是，則函數的定義域為；③若，則的取值范圍是；④若(,)，則16．下列一組數據的分位數是___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，函數.（1）若有兩個零點，且的最小值為，當時，判斷函數在上的單調性，并說明理由；（2）設，記為集合中元素的最大者與最小者之差.若對，恒成立，求實數a的取值范圍.18．已知：，．設函數求：（1）的最小正周期；（2）的對稱中心，（3）若，且，求19．計算：（1）.（2）20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些風眼蓮（其覆蓋面積為），這些風眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為，三月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為，鳳眼蓮的覆蓋面積（單位：）與月份（單位：月）的關系有兩個函數模型與）可供選擇（1）試判斷哪個函數模型更合適并求出該模型的解析式；（2）求鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積倍以上的最小月份．（參考數據：，）21．已知，，且函數有奇偶性，求a，b的值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】本題考查學生的推理能力、數形結合思想、函數方程思想、分類討論等知識如圖，由函數的圖象可知，若關于的方程恰有5個不同的實數解，當時，方程只有一根為2；當時，方程有兩不等實根（），從而方程，共有四個根，且這四個根關于直線對稱分布，故其和為8.從而，，選C【點評】本題需要學生具備扎實的基本功，難度較大2、A【解析】根據冪函數的圖像經過點，可得函數解析式，然后利用函數單調性即可比較得出大小關系【詳解】因為冪函數的圖像經過點，所以，解得，所以函數解析式為：，易得為偶函數且在單調遞減，在單調遞增A：，正確；B：，錯誤；C：，錯誤；D：，錯誤故選A【點睛】本題考查利用待定系數法求解函數解析式，函數奇偶性和單調性的關系：奇函數在對應區(qū)間的函數單調性相同；偶函數在對應區(qū)間的函數單調性相反3、B【解析】由題，根據向量加減數乘運算得，進而得.【詳解】解：因為在“趙爽弦圖”中，若，所以，所以，所以，所以.故選：B4、A【解析】根據單調性結合偶函數性質，進行比較大小即可得解.【詳解】因為為偶函數，所以又在上為增函數，所以，所以故選：A5、C【解析】利用正弦定理求出角的正弦值，再求出角的度數.【詳解】因為，所以，解得：，，因為，所以.故選：C.6、D【解析】等價于二次函數的最大值不小于零，即可求出答案.【詳解】設，，使得不等式成立，須，即，或，解得.故選:D【點睛】本題考查特稱命題成立求參數的問題，等價轉化是解題的關鍵，屬于基礎題.7、A【解析】由兩直線平行，得到，求出，再驗證，即可得出結果.詳解】∵兩條直線和互相平行，∴，解得或，若，則與平行，滿足題意；若，則與平行，滿足題意；故選：A8、B【解析】利用函數是偶函數，可得，解出．再利用二次函數的單調性即可得出單調區(qū)間【詳解】解：函數是偶函數，，，化為，對于任意實數恒成立，，解得；，利用二次函數的單調性，可得其單調遞增區(qū)間為故選：B【點睛】本題考查函數的奇偶性和對稱性的應用，熟練掌握函數的奇偶性和二次函數的單調性是解題的關鍵.9、C【解析】，該值接近，選C.10、B【解析】根據兩角和的正切公式，結合同角的三角函數關系式中商關系進行求解即可.【詳解】由，所以，故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或2【解析】分別對兩條直線的斜率存在和不存在進行討論，利用兩條直線互相垂直的充要條件，得到關于的方程可求得結果【詳解】設直線為直線；直線為直線，①當直線率不存在時，即，時，直線的斜率為0，故直線與直線互相垂直，所以時兩直線互相垂直②當直線和斜率都存在時，，要使兩直線互相垂直，即讓兩直線的斜率相乘為，故③當直線斜率不存在時，顯然兩直線不垂直，綜上所述：或，故答案為或.【點睛】本題主要考查兩直線垂直的充要條件，若利用斜率之積等于，應注意斜率不存在的情況，屬于中檔題.12、【解析】作出函數的圖象，把函數的零點轉化為直線與函數圖象交點問題解決.【詳解】由得，即函數零點是直線與函數圖象交點橫坐標，當時，是增函數，函數值從1遞增到2(1不能取)，當時，是增函數，函數值為一切實數，在坐標平面內作出函數的圖象，如圖，觀察圖象知，當時，直線與函數圖象有2個交點，即函數有2個零點，所以實數的取值范圍是：.故答案為：13、或.【解析】分析：由題意首先求得實數m的值，然后求解距離即可.詳解：由直線垂直的充分必要條件可得：，即：，解得：，，當時點到軸的距離為0，當時點到軸的距離為5，綜上可得：點到軸的距離為或.點睛：本題主要考查直線垂直的充分必要條件，分類討論的數學思想等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.14、【解析】由可得圖像所過的定點.【詳解】當時，，故的圖像過定點.填.【點睛】所謂含參數的函數的圖像過定點，是指若是與參數無關的常數，則函數的圖像必過.我們也可以根據圖像的平移把復雜函數的圖像所過的定點歸結為常見函數的圖像所過的定點（兩個定點之間有平移關系）.15、③④【解析】利用基本不等式可判斷①正誤；利用抽象函數的定義域可判斷②的正誤；解對數不等式可判斷③；構造函數，函數在上單調遞減，結合，求得可判斷④.詳解】對于①，當時，，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，但，故等號不成立，所以，函數，的最小值不是，①錯誤；對于②，若函數的定義域為，則有，解得，即函數的定義域為，②錯誤；對于③，若，所以當時，解得：，不滿足；當時，解得：，所以的取值范圍是，③正確；對于④，令，函數在上單調遞減，由得，則，即，故④正確.故答案為：③④.16、26【解析】根據百分位數的定義即可得到結果.【詳解】解：，該組數據的第分位數為從小到大排序后第2與3個數據的平均數，第2與3個數據分別是25、27，故該組數據的第分位數為，故答案為：26三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）函數在區(qū)間上是單調遞減，理由見解析（2）【解析】（1）運用單調性的定義去判斷或者根據函數本身的性質去判斷即可；（2）區(qū)間與二次函數的對稱軸比較，從而的情況中分類討論，而后得到的解析式，通過函數解析式求出最小值，再解不等式即可.【小問1詳解】方法1：因為，由題意得，即，所以時，即，所以，，對于任意設，所以，因為，又，所以而，所以，所以，所以函數在區(qū)間上是單調遞減的.方法2：因為，由題意得，即，所以時，即，所以，，因為，所以函數圖像的對稱軸方程為，因為，所以，即，所以函數在上是單調遞減的.【小問2詳解】設，，因為函數對稱軸為，①當即時，在上單調遞減，，②當即時，，③當即時，，④當即時，在上單調遞增，，綜上可得：可知在上單調遞減，在上單調遞增，所以最小值為，對，恒成立，只需即可，解得，所以a的取值范圍是.18、（1）；（2）（k∈Z）；（3）或.【解析】（1）解：由題意，，（1）函數的最小正周期為；（2），得，所以對稱中心；（3）由題意，，得或，所以或點睛：本題考查三角函數的恒等關系的綜合應用．本題中，由向量的數量積，同時利用三角函數化簡的基本方法，得到，利用三角函數的性質，求出周期、對稱中心等19、（1）20（2）-2【解析】根據指數運算公式以及對數運算公式即可求解?！驹斀狻浚?）=（2）=【點睛】本題考查指數與對數的運算，以及計算能力，（1）根據指數冪的運算法則求解即可。（2）根據對數運算的性質求解即可，屬于基礎題。20、（1）函數模型較為合適，且該函數模型的解析式為；（2）月份.【解析】（1）根據兩個函數模型增長的快慢可知函數模型較為合適，將點、代入函數解析式，求出、的值，即可得出函數模型的解析式；（2）分析得出，解此不等式即可得出結論.【詳解】（1）由題設可知，兩個函數、）在上均為增函數，隨著的增大，函數的值增加得越來越快，而函數的值增加得越來越慢，由于風眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，故而函數模型滿足要求.由題意可得，解得，，故該函數模型的解析式為；（2）當時，，故元旦放入鳳眼蓮的面積為，由，即，故，由于，故.因此，鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積倍以上的最小月份是月份.【點睛】思路點睛：解函數應用題的一般程序：第一步：審題——弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系；第二步：建?！獙⑽淖终Z