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文檔簡介
遼寧省撫順十中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.圓截直線所得弦的最短長度為()A.2 B.C. D.42.《九章算術(shù)》中,將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑(nào).如圖所示的三棱錐為一鱉臑,且平面,平面,若,,,則()A. B.C. D.3.若點P是曲線上任意一點,則點P到直線的最小距離為()A.0 B.C. D.4.已知雙曲線的離心率為2,則C的漸近線方程為()A. B.C. D.5.點,是橢圓的左焦點,是橢圓上任意一點,則的取值范圍是()A. B.C. D.6.已知,則條件“”是條件“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件.7.?dāng)?shù)列的通項公式是()A. B.C. D.8.直線的一個法向量為()A. B.C. D.9.已知雙曲線的一條漸近線方程是,它的一個焦點在拋物線的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為()A. B.C. D.10.甲、乙兩名同學(xué)8次考試的成績統(tǒng)計如圖所示,記甲、乙兩人成績的平均數(shù)分別為,,標(biāo)準(zhǔn)差分別為,,則()A.>,< B.>,>C.<,< D.<,>11.在的展開式中,只有第4項的二項式系數(shù)最大,且所有項的系數(shù)和為0,則含的項的系數(shù)為()A.-20 B.-15C.-6 D.1512.若直線與直線垂直,則a的值為()A.2 B.1C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為__________.14.在等差數(shù)列中,,那么等于______.15.已知函數(shù),若存在唯一零點,則的取值范圍是__________.16.如圖,在三棱錐中,,二面角的余弦值為,若三棱錐的體積為,則三棱錐外接球的表面積為______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,底面ABCD,,,,(1)證明:;(2)當(dāng)PB的長為何值時,直線AB與平面PCD所成角的正弦值為?18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,動點到點的距離和它到直線的距離之比為.動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程,并說明曲線是什么圖形;(2)已知曲線與軸的交點分別為,點是曲線上異于的一點,直線的斜率為,直線的斜率為,求證:為定值.19.(12分)為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年,某校舉行了黨史知識競賽,在必答題環(huán)節(jié),甲、乙兩位選手分別從3道選擇題(1)甲至少抽到1道填空題(2)甲答對的題數(shù)比乙多的概率.20.(12分)已知命題p:實數(shù)x滿足;命題q:實數(shù)x滿足.若p是q的必要條件,求實數(shù)a的取值范圍21.(12分)如圖,在三棱錐中,,,為的中點(1)證明:平面;(2)若點在棱上,且二面角為,求與平面所成角正弦值.22.(10分)已知拋物線過點.(1)求拋物線方程;(2)若直線與拋物線交于兩點兩點在軸的兩側(cè),且,求證:過定點.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由題知直線過定點,且在圓內(nèi),進(jìn)而求解最值即可.【詳解】解:將直線化為,所以聯(lián)立方程得所以直線過定點將化為標(biāo)準(zhǔn)方程得,即圓心為,半徑為,由于,所以點在圓內(nèi),所以點與圓圓心間的距離為,所以圓截直線所得弦的最短長度為故選:A2、A【解析】根據(jù)平面,平面求解.【詳解】因為平面,平面,所以,又,,,所以,所以,故選:A3、D【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線上與直線平行的切線方程的切線坐標(biāo),求出切點到直線的距離即為所求最小距離【詳解】點是曲線上的任意一點,設(shè),令,解得1或(舍去),,∴曲線上與直線平行的切線的切點為,點到直線的最小距離.故選:D.4、A【解析】根據(jù)離心率及a,b,c的關(guān)系,可求得,代入即可得答案.【詳解】因為離心率,所以,所以,,則,所以C的漸近線方程為.故選:A5、A【解析】由,當(dāng)三點共線時,取得最值【詳解】設(shè)是橢圓的右焦點,則又因為,,所以,則故選:A6、A【解析】若命題,則p是q的充分不必要條件,q是p的必要不充分條件【詳解】因為,所以,所以.故選:A7、C【解析】根據(jù)數(shù)列前幾項,歸納猜想出數(shù)列的通項公式.【詳解】依題意,數(shù)列的前幾項為:;;;……則其通項公式.故選C.【點睛】本小題主要考查歸納推理,考查數(shù)列通項公式的猜想,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】直線化為,求出直線的方向向量,因為法向量與方向向量垂直,逐項驗證可得答案.【詳解】直線的方向向量為,化為,直線的方向向量為,因為法向量與方向向量垂直,設(shè)法向量為,所以,由于,A錯誤;,故B正確;,故C錯誤;,故D錯誤;故選:B.9、A【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程得a和b的關(guān)系,根據(jù)焦點在拋物線準(zhǔn)線上得c的值,結(jié)合a、b、c關(guān)系即可求解.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程是,∴,∵準(zhǔn)線方程是,∴,∵,∴,,∴雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為:.故選:A.10、A【解析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖,結(jié)合均值、方差的實際含義判斷、及、的大小.【詳解】由統(tǒng)計圖知:甲總成績比乙總成績要高,則>,又甲成績的分布比乙均勻,故<.故選:A.11、C【解析】先由只有第4項的二項式系數(shù)最大,求出n=6;再由展開式的所有項的系數(shù)和為0,用賦值法求出,用通項公式求出的項的系數(shù).【詳解】∵在的展開式中,只有第4項的二項式系數(shù)最大,∴在的展開式有7項,即n=6;而展開式的所有項的系數(shù)和為0,令x=1,代入,即,所以.∴是展開式的通項公式為:,要求含的項,只需,解得,所以系數(shù)為.故選:C12、A【解析】根據(jù)兩條直線垂直的條件列方程,解方程求得的值.【詳解】由于直線與直線垂直,所以,解得.故選:A二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】先對函數(shù)求導(dǎo)判斷其單調(diào)性,然后利用單調(diào)性求函數(shù)的最小值【詳解】解:由,得,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,即取等號,因為,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時,函數(shù)取得最小值0,故答案為:014、14【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到,求得,再由,即可求解.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列,且,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),可得,解答,又由.故答案為:14.15、【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到是的唯一零點,轉(zhuǎn)化為方程無實數(shù)根或只存在實數(shù)根,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為和的圖象至多有一個交點(且如果有交點,交點必須在處),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值,即可求解.【詳解】由題意,函數(shù),可得,因為存在唯一零點,所以是的唯一零點,則關(guān)于的方程無實數(shù)根或只存在實數(shù)根,所以函數(shù)和的圖象至多有一個交點(且如果有交點,交點必須在處),又由,當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增,所以,所以,即即的取值范圍是.故答案為:.16、【解析】取的中點,連接,,過點A作,垂足為,設(shè),利用三角形的邊角關(guān)系求出,利用錐體的體積公式求出的值,確定三棱錐外接球的球心,求解外接球的半徑,由表面積公式求解即可【詳解】取的中點,連接,,過點A作,交DE的延長線于點,所以為二面角的平面角,設(shè),則,,所以,所以,EH=,因為三棱錐的體積為,所以,解得:,,設(shè)外接圓的圓心為,三棱錐外接球的球心為,連接,,,過點O作OF⊥AH于點F,則,,,,設(shè),則,,由勾股定理得:,解得:,所以三棱錐外接球的半徑滿足,則三棱錐的外接球的表面積為故答案為:【點睛】本題考查了幾何體的外接球問題,棱錐的體積公式的理解與應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是確定外接球球心的位置,三棱錐的外接球的球心在過各面外心且與此面垂直的直線上,由此結(jié)論可以找到外接球的球心,三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】(1)由線面垂直的判斷定理證明平面PAB,再由線面垂直的性質(zhì)定理即可證明;(2)以A為原點,AB,AC,AP分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),求出平面PCD的法向量的坐標(biāo),根據(jù)直線AB與平面PCD所成角的正弦值為,利用向量法可求得,從而可求解PB的長.【小問1詳解】證明:因為底面ABCD,又平面ABCD,所以,又,,AB,平面PAB,所以平面PAB,又平面PAB,所以;小問2詳解】解:因為底面ABCD,,所以以A為原點,AB,AC,AP分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,因為,,,所以,則,,所以,,,,設(shè),則,,,設(shè)平面PCD的法向量為,則,令,則,,所以,所以,解得,則,所以當(dāng)時,直線AB與平面PCD所成角正弦值為18、(1),曲線是以為焦點的橢圓;(2)證明見解析.【解析】(1)由題可得,即求;(2)利用斜率公式及橢圓方程計算即得.【小問1詳解】設(shè)點坐標(biāo)為,根據(jù)題意,得,左右同時平方,得,整理得,,即,所以曲線的方程是,曲線是以為焦點的橢圓.【小問2詳解】由題意得,設(shè)的坐標(biāo)是,因為點在曲線上,所以,因為,所以,所以為定值.19、(1);(2).【解析】(1)把3道選擇題(2)設(shè),分別表示甲答對1道題,2道題的事件,,分別表示乙答對0道題,1道題的事件,分別求出它們的概率,甲答對的題數(shù)比乙多這個事件是,然后由相互獨立的事件和互斥事件的概率公式計算【詳解】解:(1)記3道選擇題則試驗的樣本空間,.共有10個樣本點,且每個樣本點是等可能發(fā)生的,所以這是一個古典概型.記事件A=“甲至少抽到1道填空題,.所以,,.所以,.因此,甲至少抽到1道填空題(2)設(shè),分別表示甲答對1道題,2道題的事件,分別表示乙答對0道題,1道題的事件,根據(jù)獨立性假定,得,.,.記事件B=“甲答對的題數(shù)比乙多”,則,且,,兩兩互斥,與,與,與分別相互獨立,所以..因此,甲答對的題數(shù)比乙多的概率為.20、【解析】由題設(shè)得是為真時的子集,即,法一:討論、,根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)范圍;法二:利用在恒成立,結(jié)合參變分離及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍.【詳解】由,得,則命題對應(yīng)的集合為,設(shè)命題對應(yīng)的集合為,是的必要條件,則,由,得,又,法一:若時,,則,顯然成立;若時,,則,可得,綜上:法二:在恒成立,即,∵在單調(diào)遞減,∴.21、(1)證明見解析;(2).【解析】(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC,再通過計算,根據(jù)勾股定理得PO垂直O(jiān)B,最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論;(2)根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點坐標(biāo),根據(jù)方程組解出平面PAM一個法向量,利用向量數(shù)量積求出兩個法向量夾角,根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程,解得M坐標(biāo),再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角,最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果【詳解】(1)因為,為的中點,所以,且連結(jié)因為,所以為等腰直角三角形,且由知由知平面(2)如圖,以為坐標(biāo)原點,的方向為軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系由已知得取平面的法向量設(shè),則設(shè)平面的法向量為由得,可取所以.由已知得所以.解得(舍去),所以又,所以所以與平面所成角的正弦值為【點睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”:第一,破“建系
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