2025屆山西省晉中市祁縣一中數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆山西省晉中市祁縣一中數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．曲線與曲線的（）A.實(shí)軸長(zhǎng)相等 B.虛軸長(zhǎng)相等C.焦距相等 D.漸進(jìn)線相同2．在下列命題中正確的是（）A.已知是空間三個(gè)向量，則空間任意一個(gè)向量總可以唯一表示為B.若所在的直線是異面直線，則不共面C.若三個(gè)向量?jī)蓛晒裁?，則共面D.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，若，則A，B，C，D四點(diǎn)共面3．已知等比數(shù)列中，，則由此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)所組成的新數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A. B.C. D.4．已知A，B，C，D是同一球面上的四個(gè)點(diǎn)，其中是正三角形，平面，，則該球的表面積為（）A. B.C. D.5．已知直四棱柱的棱長(zhǎng)均為，則直線與側(cè)面所成角的正切值為（）A. B.C. D.6．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，若，則（）A. B.C. D.7．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，則下列選項(xiàng)中的兩個(gè)事件為互斥事件的是（）A.至多有1個(gè)白球；都是紅球 B.至少有1個(gè)白球；至少有1個(gè)紅球C.恰好有1個(gè)白球；都是紅球 D.至多有1個(gè)白球；至多有1個(gè)紅球8．如圖所示，直三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.9．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．給出下列四個(gè)說(shuō)法，其中正確的是A.命題“若，則”的否命題是“若，則”B.“”是“雙曲線的離心率大于”的充要條件C.命題“，”的否定是“，”D.命題“在中，若，則是銳角三角形”的逆否命題是假命題11．設(shè)橢圓：的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為橢圓在第二象限內(nèi)的點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn)，為原點(diǎn)，若直線平分線段，則橢圓的離心率為A. B.C. D.12．設(shè)、是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則的離心率為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．與直線和直線的距離相等的直線方程為______14．一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體，其四個(gè)面涂有不同的顏色，拋擲這個(gè)正四面體一次，觀察它與地面接觸的顏色得到樣本空間{紅，黃，藍(lán)，綠}，設(shè)事件{紅，黃}，事件{紅，藍(lán)}，事件{黃，綠}，則下列判斷：①E與F是互斥事件；②E與F是獨(dú)立事件；③F與G是對(duì)立事件；④F與G是獨(dú)立事件．其中正確判斷的序號(hào)是______（請(qǐng)寫出所有正確判斷的序號(hào)）15．已知拋物線的焦點(diǎn)F在直線上，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△的面積是△面積的4倍，則直線l的方程為____________16．已知矩形的長(zhǎng)為2，寬為1，以該矩形的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的余弦值.18．（12分）已知，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍19．（12分）已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，且圓心C在軸上.（1）求圓C的方程；（2）直線與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若為等腰直角三角形，求直線的方程.20．（12分）已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，求直線的方程；（3）設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，求的面積的最大值21．（12分）冬奧會(huì)的全稱是冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，每四年舉辦一屆．第24屆冬奧會(huì)將于2022年在中國(guó)北京和張家口舉行．為了弘揚(yáng)奧林匹克精神，增強(qiáng)學(xué)生的冬奧會(huì)知識(shí)，廣安市某中學(xué)校從全校隨機(jī)抽取50名學(xué)生參加冬奧會(huì)知識(shí)競(jìng)賽，并根據(jù)這50名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間（1）求頻率分布直方圖中a的值：（2）求這50名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù)．（結(jié)果保留一位小數(shù)）22．（10分）如圖，三棱錐中，兩兩垂直，，且分別為線段的中點(diǎn).（1）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求證：直線平面；（2）求證：平面平面.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】將曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程后即可求解.【詳解】化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，由于，則兩曲線實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距均不相等，而漸近線方程同為.故選：2、D【解析】對(duì)于A，利用空間向量基本定理判斷，對(duì)于B，利用向量的定義判斷，對(duì)于C，舉例判斷，對(duì)于D，共面向量定理判斷【詳解】對(duì)于A，若三個(gè)向量共面，在平面，則空間中不在平面的向量不能用表示，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)橄蛄渴亲杂上蛄?，是可以自由平移，所以?dāng)所在的直線是異面直線時(shí)，有可能共面，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)三個(gè)向量?jī)蓛晒裁鏁r(shí)，如空間直角坐標(biāo)系中的3個(gè)基向量?jī)蓛晒裁?，但這3個(gè)向量不共面，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，，且，所以A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以D正確，故選：D3、B【解析】確實(shí)新數(shù)列是等比數(shù)列及公比、首項(xiàng)后，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算，【詳解】由題意，新數(shù)列為，所以，，前項(xiàng)和為故選：B.4、C【解析】由題意畫出幾何體的圖形，把、、、擴(kuò)展為三棱柱，上下底面中心連線的中點(diǎn)與的距離為球的半徑，由此能求出球的表面積【詳解】把、、、擴(kuò)展為三棱柱，上下底面中心連線的中點(diǎn)與的距離為球的半徑，，，是正三角形，，，球的表面積為故選：C5、D【解析】根據(jù)題意把直線與側(cè)面所成角的正切值轉(zhuǎn)化為在直角三角形中的正切值，即可求出答案.【詳解】由題意可知直四棱柱如下圖所示：取的中點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)，連接，在直四棱柱中，面，面，，在四邊形中，，，故且.面，面，面，.故直線與側(cè)面所成角的正切值為.故選：D.6、D【解析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用拋物線的定義可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】易知拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，可得準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，由拋物線的性質(zhì)，，可得，所以，，解得，即點(diǎn)，所以.故選：D.7、C【解析】根據(jù)試驗(yàn)過(guò)程進(jìn)行分析，利用互斥事件的定義對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“至多有1個(gè)白球”與“都是紅球”不是互斥事件.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：“至少有1個(gè)白球”包含都是白球和一紅一白，“至少有1個(gè)紅球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至少有1個(gè)白球”與“至少有1個(gè)紅球”不是互斥事件.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：“恰好有1個(gè)白球”包含一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“恰好有1個(gè)白球”與“都是紅球”是互斥事件.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：“至多有1個(gè)紅球”包含都是白球和一紅一白，“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至多有1個(gè)白球”與“至多有1個(gè)紅球”不是互斥事件.故D錯(cuò)誤.故選：C8、A【解析】取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，然后可得或其補(bǔ)角即為與所成角，然后在中求出答案即可.【詳解】取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，，，所以或其補(bǔ)角即為與所成角，設(shè)，則，，在，，故選：A9、B【解析】實(shí)數(shù)，滿足，通過(guò)討論，得到其圖象是橢圓、雙曲線的一部分組成的圖形，借助圖象分析可得的取值就是圖象上一點(diǎn)到直線距離范圍的2倍，求出切線方程根據(jù)平行直線距離公式算出最小值，和最大值的極限值即可得出答案.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿足，所以當(dāng)時(shí)，，其圖象是位于第一象限，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一部分（含點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，其圖象是位于第四象限，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的一部分，當(dāng)時(shí)，其圖象不存在，當(dāng)時(shí)，其圖象是位于第三象限，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一部分，作出橢圓和雙曲線的圖象，其中圖象如下：任意一點(diǎn)到直線的距離所以，結(jié)合圖象可得的范圍就是圖象上一點(diǎn)到直線距離范圍的2倍，雙曲線，其中一條漸近線與直線平行，通過(guò)圖形可得當(dāng)曲線上一點(diǎn)位于時(shí)，取得最小值，無(wú)最大值，小于兩平行線與之間的距離的倍，設(shè)與其圖像在第一象限相切于點(diǎn)，由因?yàn)榛颍ㄉ崛ィ┧灾本€與直線的距離為此時(shí)，所以的取值范圍是故選：B【點(diǎn)睛】三種距離公式：（1）兩點(diǎn)間的距離公式：平面上任意兩點(diǎn)間的距離公式為；（2）點(diǎn)到直線的距離公式：點(diǎn)到直線的距離;（3）兩平行直線間的距離公式：兩條平行直線與間的距離.10、D【解析】A選項(xiàng)：否命題應(yīng)該對(duì)條件結(jié)論同時(shí)否定，說(shuō)法不正確；B選項(xiàng)：雙曲線的離心率大于，解得，所以說(shuō)法不正確；C選項(xiàng)：否定應(yīng)該是：，，所以說(shuō)法不正確；D選項(xiàng)：“在中，若，則是銳角三角形”是假命題，所以其逆否命題也為假命題，所以說(shuō)法正確.【詳解】命題“若，則”的否命題是“若，則”，所以A選項(xiàng)不正確；雙曲線的離心率大于，即，解得，則“”是“雙曲線的離心率大于”的充分不必要條件，所以B選項(xiàng)不正確；命題“，”的否定是“，”，所以C選項(xiàng)不正確；命題“在中，若，則是銳角三角形”，在中，若，可能，此時(shí)三角形不是銳角三角形，所以這是一個(gè)假命題，所以其逆否命題也是假命題，所以該選項(xiàng)說(shuō)法正確.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查四個(gè)命題關(guān)系，充分條件與必要條件，含有一個(gè)量詞的命題的否定，關(guān)鍵在于弄清邏輯關(guān)系，正確求解.11、B【解析】如上圖，設(shè)AC中點(diǎn)為M,連OM，則OM為的中位線，易得∽，且,即可得，選B.點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是離心率的求法，本題的關(guān)鍵是利用中位線定理和相似三角形定理12、C【解析】如下圖所示，是底角為的等腰三角形，則有所以，所以又因?yàn)?，所以，，所以所以答案選C.考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)直線方程為，根據(jù)兩平行直線之間距離公式即可求解.【詳解】設(shè)該直線為：，則由兩平行直線之間距離公式得：，故該直線為：；故答案為：.14、②③【解析】由對(duì)立和互斥事件的定義判斷①③；由獨(dú)立事件的性質(zhì)判斷②④.【詳解】{紅}，則E與F不是互斥事件；且，則F與G是對(duì)立事件；，則E與F是獨(dú)立事件；，，則F與G不是獨(dú)立事件故答案為：②③15、【解析】設(shè)A，B分別為，由焦點(diǎn)在已知直線上求F坐標(biāo)及拋物線方程，再根據(jù)題設(shè)三角形的面積關(guān)系可得，并設(shè)直線l為，聯(lián)立拋物線應(yīng)用韋達(dá)定理求參數(shù)m，即可知直線l的方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，直線，令可得，故焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，所以，由，，而△的面積是△面積的4倍，所以，即，設(shè)直線l為，聯(lián)立方程，消去x后整理為，所以，代入，有，可得，則直線l的方程為故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)拋物線焦點(diǎn)位置及其所在直線求拋物線方程，由面積關(guān)系得到交點(diǎn)縱坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，注意交點(diǎn)在x軸兩側(cè)，再設(shè)直線聯(lián)立拋物線求參數(shù)即可.16、或##或【解析】分兩種情況進(jìn)行解答，①以邊長(zhǎng)為2的邊為軸旋轉(zhuǎn)，②以邊長(zhǎng)為1的邊為軸旋轉(zhuǎn)．進(jìn)行解答即可【詳解】解：①以邊長(zhǎng)為2的邊為軸旋轉(zhuǎn)，表面積兩個(gè)底面積側(cè)面積，即：，②以邊長(zhǎng)為1的邊為軸旋轉(zhuǎn)，表面積兩個(gè)底面積側(cè)面積，即：，故答案為：或三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析（3）【解析】（1）作輔助線，由中位線定理證明，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）連接，由勾股定理證明，，再結(jié)合線面垂直的判定定理證明即可；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求面面角的余弦值即可.【詳解】（1）連接交與點(diǎn)，連接四邊形為正方形，點(diǎn)為的中點(diǎn)又點(diǎn)為的中點(diǎn)，平面，平面平面（2）連接由勾股定理可知，，則同理可證，平面平面（3）建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系顯然平面的法向量即為平面的法向量，不妨設(shè)為由（2）可知平面，即平面的法向量為又二面角是鈍角二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在第一問中，關(guān)鍵是利用中位線定理找到線線平行，再由定義證明線面平行；在第二問中，關(guān)鍵是利用勾股定理證明線線垂直，從而得出線面垂直；在第三問中，關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，利用向量法求面面角的余弦值.18、（1）（2）【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）依題意可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)只需，參變分離得到，令，，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出參數(shù)的取值范圍；【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)定義域?yàn)?，所以，令，解得或，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】解：由，即，即，當(dāng)時(shí)顯然成立，當(dāng)時(shí)，只需，即，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.19、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)題意得到等量關(guān)系，求出，，進(jìn)而求出圓的方程；（2）結(jié)合第一問求出的圓心和半徑，及題干條件得到圓心到直線的距離為，列出方程，求出的值，進(jìn)而得到直線方程【小問1詳解】由題意得：直線過(guò)圓心，即，且，解得：，，所以圓C的方程為；【小問2詳解】的圓心為，半徑為2，由題意得：，圓心到直線的距離為，即，解得：或，所以直線的方程為：或.20、（1）（2）或（3）【解析】（1）解法一，根據(jù)題意設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，進(jìn)而待定系數(shù)法求解即可；解法二：由題知圓