高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)專題9.5拋物線專題練習(xí)（學(xué)生版+解析）

專題9.5拋物線練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1.（2020·全國高考真題（理））已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（）A．2 B．3 C．6 D．92．（2020·北京高三二模）焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．x2＝4y B．y2＝4x C．x2＝8y D．y2＝8x3.（全國高考真題）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，曲線與交于點(diǎn)，軸，則（）A． B． C． D．4．（2020·全國高考真題（文））設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線C：交于，兩點(diǎn)，若，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．5.（2019·四川高三月考（文））若拋物線的準(zhǔn)線為圓的一條切線，則拋物線的方程為（）A. B. C. D.6.（2019·北京高考真題（文））設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為__________．7.（2019·山東高三月考（文））直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時，則弦中點(diǎn)到軸距離的最小值為______.8.（2021·沙灣縣第一中學(xué)（文））設(shè)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且直線AB的傾斜角為，則線段AB的長是____，焦點(diǎn)F到A，B兩點(diǎn)的距離之積為_________.9．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，又知此拋物線上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則的值為__________；拋物線方程為__________.10.（2019·廣東高三月考（理））已知為拋物線的焦點(diǎn)，直線與相交于兩點(diǎn).若，求的值；點(diǎn)，若，求直線的方程.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·吉林長春市·高三（理））已知是拋物線上的一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，若以為始邊，為終邊的角，則等于（）A． B． C． D．2.（2017·全國高考真題（文））過拋物線的焦點(diǎn)，且斜率為的直線交于點(diǎn)（在軸上方），為的準(zhǔn)線，點(diǎn)在上且，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.3．（2020·廣西南寧三中其他（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，且的縱坐標(biāo)為正數(shù)，是直線與拋物線的一個交點(diǎn)，若，則直線的方程為（）A． B．C． D．4.（2020·浙江高三月考）如圖，已知拋物線和圓，直線經(jīng)過的焦點(diǎn)，自上而下依次交和于A，B，C，D四點(diǎn)，則的值為（）A． B． C．1 D．25．【多選題】（2022·全國高三專題練習(xí)）已知拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則下列結(jié)論正確的有（）A．雙曲線的離心率為2 B．雙曲線的漸近線為C． D．點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)的距離為46．【多選題】（2021·海南鑫源高級中學(xué)）在下列四個命題中，真命題為（）A．當(dāng)a為任意實數(shù)時，直線(a-1)x-y+2a+1=0恒過定點(diǎn)P，則過點(diǎn)P且焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是B．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為(5，0)，一條漸近線方程為2x-y=0，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為C．拋物線y=ax2(a≠0)的準(zhǔn)線方程D．已知雙曲線，其離心率，則m的取值范圍(-12，0)7．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，若點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之和最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．8．（2021·全國高二課時練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)，為拋物線上的兩個動點(diǎn)，且滿足，過弦的中點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為______.9．（2020·山東濟(jì)南外國語學(xué)校高三月考）拋物線：的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________；經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則________.10.（2019·四川高考模擬（文））拋物線：的焦點(diǎn)為，拋物線過點(diǎn).（Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其準(zhǔn)線的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)作直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，過，分別作拋物線的切線，證明兩條切線的交點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題）拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則（）A．1 B．2 C． D．42．（2021·天津高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn)，若．則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．33．（2020·北京高考真題）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點(diǎn)，過作于，則線段的垂直平分線（）．A．經(jīng)過點(diǎn) B．經(jīng)過點(diǎn)C．平行于直線 D．垂直于直線4.（2021·全國高考真題）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：()的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為______.5．（2020·山東海南省高考真題）斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則=________．6．（2020·浙江省高考真題）如圖，已知橢圓，拋物線，點(diǎn)A是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交橢圓于點(diǎn)B，交拋物線于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）若存在不過原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值．專題9.5拋物線練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1.（2020·全國高考真題（理））已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【解析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，由拋物線的定義知，即，解得.故選：C.2．（2020·北京高三二模）焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．x2＝4y B．y2＝4x C．x2＝8y D．y2＝8x【答案】D【解析】根據(jù)題意，要求拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為，又由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，即p＝4，故要求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x，故選：D.3.（全國高考真題）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，曲線與交于點(diǎn)，軸，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由拋物線的性質(zhì)可得，故選D.4．（2020·全國高考真題（文））設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線C：交于，兩點(diǎn)，若，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B.5.（2019·四川高三月考（文））若拋物線的準(zhǔn)線為圓的一條切線，則拋物線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵拋物線的準(zhǔn)線方程為，垂直于x軸．而圓垂直于x軸的一條切線為，則，即．故拋物線的方程為．故選：C．6.（2019·北京高考真題（文））設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為__________．【答案】(x-1)2+y2=4.【解析】拋物線y2=4x中，2p=4，p=2，焦點(diǎn)F（1,0），準(zhǔn)線l的方程為x=-1，以F為圓心，且與l相切的圓的方程為(x-1)2+y2=22,即為(x-1)2+y2=4.7.（2019·山東高三月考（文））直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時，則弦中點(diǎn)到軸距離的最小值為______.【答案】【解析】由題意，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），根據(jù)拋物線的定義如圖，所求d=故答案為：．8.（2021·沙灣縣第一中學(xué)（文））設(shè)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且直線AB的傾斜角為，則線段AB的長是____，焦點(diǎn)F到A，B兩點(diǎn)的距離之積為_________.【答案】88【分析】由題意可得直線AB的方程為，然后將直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組，消去后，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合拋物線的定義可求得答案【詳解】解：由題意得，則直線AB的方程為，設(shè)，由，得，所以，所以，因為，所以，故答案為：8，89．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，又知此拋物線上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則的值為__________；拋物線方程為__________.【答案】答案見解析答案見解析【分析】由于拋物線的開口方向未定，根據(jù)點(diǎn)在拋物線上這一條件，拋物線開口向下，向左、向右均有可能，以此分類討論，利用焦半徑公式列方程可得的值，根據(jù)點(diǎn)在拋物線上可得的值.【詳解】根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，可知拋物線開口向下，向左、向右均有可能，當(dāng)拋物線開口向下時，設(shè)拋物線方程為（），此時準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義知，解得.所以拋物線方程為，這時將代入方程得.當(dāng)拋物線開口向左或向右時，可設(shè)拋物線方程為（），從知準(zhǔn)線方程為，由題意知，解此方程組得，，，，綜合（1）、（2）得，；，；，；，；，.故答案為：，，，，；，，，，.10.（2019·廣東高三月考（理））已知為拋物線的焦點(diǎn)，直線與相交于兩點(diǎn).若，求的值；點(diǎn)，若，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意，可得，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，則，，又由.（2）由題意，知，，，由，可得又，，則，整理得，解得，所以直線的方程為.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·吉林長春市·高三（理））已知是拋物線上的一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，若以為始邊，為終邊的角，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)，取，可得，求出的值，利用拋物線的定義可求得的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，其中，則，，取，則，可得，因為，可得，解得，則，因此，.故選：D.2.（2017·全國高考真題（文））過拋物線的焦點(diǎn)，且斜率為的直線交于點(diǎn)（在軸上方），為的準(zhǔn)線，點(diǎn)在上且，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，，設(shè)，因為，所以，所以，解得：，設(shè)，由焦半徑公式得：，所以，，所以，所以點(diǎn)到直線的距離為.3．（2020·廣西南寧三中其他（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，且的縱坐標(biāo)為正數(shù)，是直線與拋物線的一個交點(diǎn)，若，則直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】過點(diǎn)作于，因為，由拋物線的定義得，所以在中，，所以，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故選B.4.（2020·浙江高三月考）如圖，已知拋物線和圓，直線經(jīng)過的焦點(diǎn)，自上而下依次交和于A，B，C，D四點(diǎn)，則的值為（）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】因為拋物線的焦點(diǎn)為，又直線經(jīng)過的焦點(diǎn)，設(shè)直線，由得，設(shè)，則由題意可得：，同理，所以.故選C5．【多選題】（2022·全國高三專題練習(xí)）已知拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則下列結(jié)論正確的有（）A．雙曲線的離心率為2 B．雙曲線的漸近線為C． D．點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)的距離為4【答案】ACD【分析】由雙曲線方程寫出離心率、漸近線及焦點(diǎn)，即可知A、B、C的正誤，根據(jù)所得拋物線方程求，即知D的正誤.【詳解】雙曲線的離心率為，故A正確；雙曲線的漸近線為，故B錯誤；由有相同焦點(diǎn)，即，即，故C正確；拋物線焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，則，故或，所以P到的焦點(diǎn)的距離為4，故D正確．故選：ACD．6．【多選題】（2021·海南鑫源高級中學(xué)）在下列四個命題中，真命題為（）A．當(dāng)a為任意實數(shù)時，直線(a-1)x-y+2a+1=0恒過定點(diǎn)P，則過點(diǎn)P且焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是B．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為(5，0)，一條漸近線方程為2x-y=0，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為C．拋物線y=ax2(a≠0)的準(zhǔn)線方程D．已知雙曲線，其離心率，則m的取值范圍(-12，0)【答案】ACD【分析】求出直線定點(diǎn)設(shè)出拋物方程即可判斷A；根據(jù)漸近線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)求出即可判斷B；根據(jù)拋物線方程的準(zhǔn)線方程公式即可判斷C；利用雙曲線離心率公式即可判斷D．【詳解】對A選項，直線(a-1)x-y+2a+1=0恒過定點(diǎn)為，則過點(diǎn)且焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)為，將點(diǎn)代入可得，所以，故A正確；對B選項，知，又，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故B錯；對C選項，得，所以準(zhǔn)線方程，正確；對D選項，化雙曲線方程為，所以，解得，故正確．故選：ACD7．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，若點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之和最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】【分析】過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義可得，易知當(dāng)，，三點(diǎn)共線時取得最小值且為，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線的定義，知點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離相等，即，所以，易知當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，取得最小值，所以，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：8．（2021·全國高二課時練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)，為拋物線上的兩個動點(diǎn)，且滿足，過弦的中點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為______.【答案】【分析】設(shè)，，根據(jù)中位線定理以及拋物線定義可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最大值．【詳解】設(shè)，，作垂直拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，垂直拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn).由拋物線的定義，知，.由余弦定理得.又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，∴，∴，即的最大值為.故答案為：．9．（2020·山東濟(jì)南外國語學(xué)校高三月考）拋物線：的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________；經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則________.【答案】9【解析】拋物線：的焦點(diǎn)．

過作準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，過作準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，過作準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，

則由拋物線的定義可得．

再根據(jù)為線段的中點(diǎn)，，∴，

故答案為：焦點(diǎn)坐標(biāo)是，．10.（2019·四川高考模擬（文））拋物線：的焦點(diǎn)為，拋物線過點(diǎn).（Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其準(zhǔn)線的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)作直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，過，分別作拋物線的切線，證明兩條切線的交點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上.【答案】（Ⅰ）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線的方程為；（Ⅱ）詳見解析.【解析】（Ⅰ）由，得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線的方程為.（Ⅱ）根據(jù)題意直線的斜率一定存在，又焦點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立，得，.設(shè)，，則，.∴.由得，，過，的拋物線的切線方程分別為，即，兩式相加，得，化簡，得，即，所以，兩條切線交于點(diǎn)，該點(diǎn)顯然在拋物線的準(zhǔn)線：上.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題）拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則（）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】首先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.2．（2021·天津高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn)，若．則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】設(shè)公共焦點(diǎn)為，進(jìn)而可得準(zhǔn)線為，代入雙曲線及漸近線方程，結(jié)合線段長度比值可得，再由雙曲線離心率公式即可得解.【詳解】設(shè)雙曲線與拋物線的公共焦點(diǎn)為，則拋物線的準(zhǔn)線為，令，則，解得，所以,又因為雙曲線的漸近線方程為，所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.3．（2020·北京高考真題）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點(diǎn)，過作于，則線段的垂直平分線（）．A．經(jīng)過點(diǎn) B．經(jīng)過點(diǎn)C．平行于直線 D．垂直于直線【答案】B【解析】如圖