第2講待定系數(shù)法(幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化)(原卷版+解析)

第2講待定系數(shù)法（幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化）考情分析待定系數(shù)法是圓錐曲線里面一種非?；A(chǔ)但也是非常重要的方法，是我們幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化的橋梁。要學好圓錐曲線這一部分，掌握并記住基礎(chǔ)的結(jié)論是學習圓錐曲線第一步，待定系數(shù)法就是我們突破圓錐曲線的第二步，幾何分析+方程思想離不開待定系數(shù)法;設(shè)而不求+加韋達定理更是離不開待定系數(shù)法。本文以此為出發(fā)點，從不同角度分析和處理圓錐曲線。二、經(jīng)驗分享求圓錐曲線方程的策略一般有以下幾種：①幾何分析法＋方程思想；。幾何分析法，利用圖形結(jié)合圓錐曲線的定義與幾何性質(zhì)，分析圖中已知量與未知量之間的關(guān)系，列出關(guān)于方程中參數(shù)的方程，解出參數(shù)值即可得到圓錐曲線方程，要求平面幾何中相似等數(shù)學知識必須十分熟練。②設(shè)而不求＋韋達定理；設(shè)而不求、韋達定理是解圓錐曲線問題的通性通法，缺點是計算量較大，費時費力，容易出錯，通常根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)出點的坐標和直線方程，將直線方程代入曲線方程，化為關(guān)于的一元二次方程，利用韋達定理用參數(shù)表示出來，根據(jù)題中條件列出關(guān)于參數(shù)的方程，通過解方程解出參數(shù)值，即可得出圓錐曲線的方程。③第二定義＋數(shù)形結(jié)合；④參數(shù)法＋方程思想。不管是哪種方法，最終都要列出關(guān)于圓錐曲線方程中的參數(shù)的方程問題，通過解方程解出參數(shù)值，即可得到圓錐曲線方程，故將利用平面幾何知識和圓錐曲線的定義與性質(zhì)是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，簡化解析幾何計算的重要途徑.不管我們采取何種方法，待定系數(shù)法都是我們的幾何與代數(shù)的橋梁，面對紛繁復雜的數(shù)學圓錐曲線大題，唯有靜下心來。合理設(shè)置參數(shù)，選取最適用的方法，代數(shù)與幾何靈活轉(zhuǎn)化，才是我們攻克圓錐曲線的正確之道三、題型分析(一)用待定系數(shù)法求解圓錐曲線方程例1【2014年全國課標Ⅱ，理20】設(shè),分別是橢圓的左右焦點，M是C上一點且與x軸垂直，直線與C的另一個交點為N.（Ⅰ）若直線MN的斜率為，求C的離心率；（Ⅱ）若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b.【變式訓練1】設(shè)橢圓C：的左焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60o，．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）如果|AB|=，求橢圓C的方程．

(二)利用參數(shù)求圓錐曲線方程例2.設(shè)橢圓的方程為，點為坐標原點，點的坐標為，點的坐標為，點在線段上，滿足，直線的斜率為．（Ⅰ）求的離心率；（Ⅱ）設(shè)點的坐標為，為線段的中點，點關(guān)于直線的對稱點的縱坐標為，求的方程．【變式訓練1】已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．設(shè)為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）當點為直線上的定點時，求直線的方程；（Ⅲ）當點在直線上移動時，求的最小值．

(三)利用設(shè)而不求與韋達定理求拋物線方程例3．已知拋物線C：的焦點為F，平行于x軸的兩條直線，分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點.（Ⅰ）若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR∥FQ；【變式訓練1】.已知橢圓：的離心率，若橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上一動點和，組成的面積最大為.（1）求橢圓的方程；（2）若存在直線和橢圓相交于不同的兩點，，且原點與,連線的斜率之和滿足：=2，求直線的斜率的取值范圍.

中點弦問題-點差法例4.已知雙曲線為該雙曲線的右焦點，過的直線交該雙曲線于兩點，且的中點，則該雙曲線的方程為.【變式訓練1】.已知拋物線的一條弦恰好以為中點，則弦所在直線的方程是（）A. B. C. D.【變式訓練1】已知橢圓，（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，求線段中點的軌跡方程．

四、遷移應用1.如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為，過右焦點作平行于一條漸近線的直線交雙曲線于點，若的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2.已知橢圓的左焦點為，過的直線和橢圓交于兩點，和軸交于.若,則橢圓的離心率（）A. B. C. D.3．直線與坐標軸的交點為，以線段為直徑的圓經(jīng)過點.（1）求圓的標準方程；（2）若直線與圓交于兩點，求.

4如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為，為拋物線上異于原點的任意一點，以為直徑作圓，當直線的斜率為時，（1）求拋物線的標準方程；（2）過焦點作的垂線與圓的一個交點為，交拋物線與（點在之間），記的面積為，求的最小值。5.已知橢圓：的離心率，若橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上一動點和，組成的面積最大為.（1）求橢圓的方程；（2）若存在直線和橢圓相交于不同的兩點，，且原點與,連線的斜率之和滿足：=2，求直線的斜率的取值范圍.

6.已知橢圓的離心率為，焦距為，與拋物線有公共焦點.（Ⅰ）求橢圓C1與拋物線的方程；（Ⅱ）已知直線是圓的一條切線，與橢圓C1交于兩點，若直線斜率存在且不為，在橢圓C1上存在點，使，其中為坐標原點，求實數(shù)λ的取值范圍．第2講待定系數(shù)法（幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化）考情分析待定系數(shù)法是圓錐曲線里面一種非?；A(chǔ)但也是非常重要的方法，是我們幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化的橋梁。要學好圓錐曲線這一部分，掌握并記住基礎(chǔ)的結(jié)論是學習圓錐曲線第一步，待定系數(shù)法就是我們突破圓錐曲線的第二步，幾何分析+方程思想離不開待定系數(shù)法;設(shè)而不求+加韋達定理更是離不開待定系數(shù)法。本文以此為出發(fā)點，從不同角度分析和處理圓錐曲線。二、經(jīng)驗分享求圓錐曲線方程的策略一般有以下幾種：①幾何分析法＋方程思想；。幾何分析法，利用圖形結(jié)合圓錐曲線的定義與幾何性質(zhì)，分析圖中已知量與未知量之間的關(guān)系，列出關(guān)于方程中參數(shù)的方程，解出參數(shù)值即可得到圓錐曲線方程，要求平面幾何中相似等數(shù)學知識必須十分熟練。②設(shè)而不求＋韋達定理；設(shè)而不求、韋達定理是解圓錐曲線問題的通性通法，缺點是計算量較大，費時費力，容易出錯，通常根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)出點的坐標和直線方程，將直線方程代入曲線方程，化為關(guān)于的一元二次方程，利用韋達定理用參數(shù)表示出來，根據(jù)題中條件列出關(guān)于參數(shù)的方程，通過解方程解出參數(shù)值，即可得出圓錐曲線的方程。③第二定義＋數(shù)形結(jié)合；④參數(shù)法＋方程思想。不管是哪種方法，最終都要列出關(guān)于圓錐曲線方程中的參數(shù)的方程問題，通過解方程解出參數(shù)值，即可得到圓錐曲線方程，故將利用平面幾何知識和圓錐曲線的定義與性質(zhì)是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，簡化解析幾何計算的重要途徑.不管我們采取何種方法，待定系數(shù)法都是我們的幾何與代數(shù)的橋梁，面對紛繁復雜的數(shù)學圓錐曲線大題，唯有靜下心來。合理設(shè)置參數(shù)，選取最適用的方法，代數(shù)與幾何靈活轉(zhuǎn)化，才是我們攻克圓錐曲線的正確之道三、題型分析(一)用待定系數(shù)法求解圓錐曲線方程例1【2014年全國課標Ⅱ，理20】設(shè),分別是橢圓的左右焦點，M是C上一點且與x軸垂直，直線與C的另一個交點為N.（Ⅰ）若直線MN的斜率為，求C的離心率；（Ⅱ）若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b.【解析】（Ⅰ）根據(jù)及題設(shè)知將代入，解得（舍去）故C的離心率為．（Ⅱ）由題意，原點為的中點，∥軸，所以直線與軸的交點是線段的中點，故，即①由得。設(shè)，由題意知，則，即代入C的方程，得。②將①及代入②得解得，故.【變式訓練1】設(shè)橢圓C：的左焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60o，．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）如果|AB|=，求橢圓C的方程．【解析】設(shè)，由題意知＜0，＞0.（Ⅰ）直線l的方程為，其中.聯(lián)立得解得因為，所以.即得離心率.（Ⅱ）因為，所以.由得.所以，得a=3，.橢圓C的方程為．(二)利用參數(shù)求圓錐曲線方程例2.設(shè)橢圓的方程為，點為坐標原點，點的坐標為，點的坐標為，點在線段上，滿足，直線的斜率為．（Ⅰ）求的離心率；（Ⅱ）設(shè)點的坐標為，為線段的中點，點關(guān)于直線的對稱點的縱坐標為，求的方程．【解析】（1）由題設(shè)條件知，點的坐標為，又，從而，進而得，故．（2）由題設(shè)條件和（I）的計算結(jié)果可得，直線的方程為，點的坐標為，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點的坐標為，則線段的中點的坐標為．又點在直線上，且,從而有，解得，所以，故橢圓的方程為．【變式訓練1】已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．設(shè)為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）當點為直線上的定點時，求直線的方程；（Ⅲ）當點在直線上移動時，求的最小值．【解析】（Ⅰ）依題意，解得（負根舍去）拋物線的方程為．（Ⅱ）設(shè)點,，，由,即得．∴拋物線在點處的切線的方程為，即．∵，∴．∵點在切線上,∴.①同理，.②綜合①、②得，點的坐標都滿足方程.∵經(jīng)過兩點的直線是唯一的，∴直線的方程為，即．（Ⅲ）由拋物線的定義可知，所以聯(lián)立，消去得，當時，取得最小值為．(三)利用設(shè)而不求與韋達定理求拋物線方程例3．已知拋物線C：的焦點為F，平行于x軸的兩條直線，分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點.（Ⅰ）若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR∥FQ；【解析】由題設(shè).設(shè)，則，且.記過兩點的直線為，則的方程為.（Ⅰ）由于在線段上，故.記的斜率為，的斜率為，則.所以.（Ⅱ）設(shè)與軸的交點為，則.由題設(shè)可得，所以（舍去），.設(shè)滿足條件的的中點為.當與軸不垂直時，由可得.而，所以.（Ⅱ）若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程．【變式訓練1】.已知橢圓：的離心率，若橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上一動點和，組成的面積最大為.（1）求橢圓的方程；（2）若存在直線和橢圓相交于不同的兩點，，且原點與,連線的斜率之和滿足：=2，求直線的斜率的取值范圍.【答案】：（1）（2）【解析】：（1）由題可知的面積最大為.橢圓的方程（2）設(shè)，將代入得：，由韋達定理得，又由判別式得=1\*GB3①=2\*GB3②聯(lián)立=1\*GB3①=2\*GB3②有：，解得：中點弦問題-點差法例4.已知雙曲線為該雙曲線的右焦點，過的直線交該雙曲線于兩點，且的中點，則該雙曲線的方程為.【答案】：.【解析】解法一：中點弦問題一般采用點差法.，設(shè)兩式作差得即，所以雙曲線方程為.解法二：設(shè)直線，消去，可得所以，所以雙曲線方程為【變式訓練1】.已知拋物線的一條弦恰好以為中點，則弦所在直線的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得：設(shè)，都在拋物線上，直線還經(jīng)過，所以直線方程為【變式訓練1】已知橢圓，（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，求線段中點的軌跡方程．【解析】：設(shè)弦兩端點分別為，，線段的中點，則①－②得．由題意知，則上式兩端同除以，有，將③④代入得．⑤（1）將，代入⑤，得，故所求直線方程為：．⑥將⑥代入橢圓方程得，符合題意，為所求．（2）將代入⑤得所求軌跡方程為：．（橢圓內(nèi)部分）（3）將代入⑤得所求軌跡方程為：．（橢圓內(nèi)部分）（4）由①＋②得：，⑦，將③④平方并整理得，⑧，，⑨將⑧⑨代入⑦得：，⑩再將代入⑩式得：，即．此即為所求軌跡方程．當然，此題除了設(shè)弦端坐標的方法，還可用其它方法解決．

四、遷移應用1.如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為，過右焦點作平行于一條漸近線的直線交雙曲線于點，若的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C.【解析】：設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，可得直線的方程為，聯(lián)立雙曲線，可得，設(shè)，，由三角形的面積的等積法可得，化簡可得①，由雙曲線的定義可得②在三角形中，為直線的傾斜角），由，，可得，可得，③由①②③化簡可得，即為，可得，則．故選：．2.已知橢圓的左焦點為，過的直線和橢圓交于兩點，和軸交于.若,則橢圓的離心率（）A. B. C. D.【答案】D.【解析】：方法1：根據(jù)直線可知，所以，又及，得，代入橢圓方程有，將代入，解得或（舍去），則方法2：如圖直線化簡為,過做x軸的垂線，垂足為C，所以由題意得,在三角形中易得在中由勾股定理可得易得，所以3．直線與坐標軸的交點為，以線段為直徑的圓經(jīng)過點.（1）求圓的標準方程；（2）若直線與圓交于兩點，求.【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）由題：在中，令，得，令，得，不妨設(shè)，因為以線段為直徑的圓經(jīng)過點，則，即，解得，故，圓心為，半徑，所以圓的標準方程為；（2）由（1）可知，圓為，圓心到直線的距離，由垂徑定理，即，解得。4如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為，為拋物線上異于原點的任意一點，以為直徑作圓，當直線的斜率為時，（1）求拋物線的標準方程；（2）過焦點作的垂線與圓的一個交點為，交拋物線與（點在之間），記的面積為，求的最小值?！敬鸢浮浚海?）（2）【解析】：（1）設(shè)，