第2講待定系數(shù)法(幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化)(原卷版+解析)

第2講待定系數(shù)法（幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化）考情分析待定系數(shù)法是圓錐曲線(xiàn)里面一種非常基礎(chǔ)但也是非常重要的方法，是我們幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化的橋梁。要學(xué)好圓錐曲線(xiàn)這一部分，掌握并記住基礎(chǔ)的結(jié)論是學(xué)習(xí)圓錐曲線(xiàn)第一步，待定系數(shù)法就是我們突破圓錐曲線(xiàn)的第二步，幾何分析+方程思想離不開(kāi)待定系數(shù)法;設(shè)而不求+加韋達(dá)定理更是離不開(kāi)待定系數(shù)法。本文以此為出發(fā)點(diǎn)，從不同角度分析和處理圓錐曲線(xiàn)。二、經(jīng)驗(yàn)分享求圓錐曲線(xiàn)方程的策略一般有以下幾種：①幾何分析法＋方程思想；。幾何分析法，利用圖形結(jié)合圓錐曲線(xiàn)的定義與幾何性質(zhì)，分析圖中已知量與未知量之間的關(guān)系，列出關(guān)于方程中參數(shù)的方程，解出參數(shù)值即可得到圓錐曲線(xiàn)方程，要求平面幾何中相似等數(shù)學(xué)知識(shí)必須十分熟練。②設(shè)而不求＋韋達(dá)定理；設(shè)而不求、韋達(dá)定理是解圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的通性通法，缺點(diǎn)是計(jì)算量較大，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，容易出錯(cuò)，通常根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線(xiàn)方程，將直線(xiàn)方程代入曲線(xiàn)方程，化為關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理用參數(shù)表示出來(lái)，根據(jù)題中條件列出關(guān)于參數(shù)的方程，通過(guò)解方程解出參數(shù)值，即可得出圓錐曲線(xiàn)的方程。③第二定義＋數(shù)形結(jié)合；④參數(shù)法＋方程思想。不管是哪種方法，最終都要列出關(guān)于圓錐曲線(xiàn)方程中的參數(shù)的方程問(wèn)題，通過(guò)解方程解出參數(shù)值，即可得到圓錐曲線(xiàn)方程，故將利用平面幾何知識(shí)和圓錐曲線(xiàn)的定義與性質(zhì)是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，簡(jiǎn)化解析幾何計(jì)算的重要途徑.不管我們采取何種方法，待定系數(shù)法都是我們的幾何與代數(shù)的橋梁，面對(duì)紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)圓錐曲線(xiàn)大題，唯有靜下心來(lái)。合理設(shè)置參數(shù)，選取最適用的方法，代數(shù)與幾何靈活轉(zhuǎn)化，才是我們攻克圓錐曲線(xiàn)的正確之道三、題型分析(一)用待定系數(shù)法求解圓錐曲線(xiàn)方程例1【2014年全國(guó)課標(biāo)Ⅱ，理20】設(shè),分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線(xiàn)與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.（Ⅰ）若直線(xiàn)MN的斜率為，求C的離心率；（Ⅱ）若直線(xiàn)MN在y軸上的截距為2，且，求a,b.【變式訓(xùn)練1】設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l的傾斜角為60o，．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）如果|AB|=，求橢圓C的方程．

(二)利用參數(shù)求圓錐曲線(xiàn)方程例2.設(shè)橢圓的方程為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在線(xiàn)段上，滿(mǎn)足，直線(xiàn)的斜率為．（Ⅰ）求的離心率；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的方程．【變式訓(xùn)練1】已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為．設(shè)為直線(xiàn)上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，其中為切點(diǎn)．（Ⅰ）求拋物線(xiàn)的方程；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)為直線(xiàn)上的定點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)的方程；（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)上移動(dòng)時(shí)，求的最小值．

(三)利用設(shè)而不求與韋達(dá)定理求拋物線(xiàn)方程例3．已知拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線(xiàn)，分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線(xiàn)于P，Q兩點(diǎn).（Ⅰ）若F在線(xiàn)段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明AR∥FQ；【變式訓(xùn)練1】.已知橢圓：的離心率，若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)和，組成的面積最大為.（1）求橢圓的方程；（2）若存在直線(xiàn)和橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，且原點(diǎn)與,連線(xiàn)的斜率之和滿(mǎn)足：=2，求直線(xiàn)的斜率的取值范圍.

中點(diǎn)弦問(wèn)題-點(diǎn)差法例4.已知雙曲線(xiàn)為該雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交該雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)，則該雙曲線(xiàn)的方程為.【變式訓(xùn)練1】.已知拋物線(xiàn)的一條弦恰好以為中點(diǎn)，則弦所在直線(xiàn)的方程是（）A. B. C. D.【變式訓(xùn)練1】已知橢圓，（1）求過(guò)點(diǎn)且被平分的弦所在直線(xiàn)的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（3）過(guò)引橢圓的割線(xiàn)，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點(diǎn)、，為原點(diǎn)，且有直線(xiàn)、斜率滿(mǎn)足，求線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程．

四、遷移應(yīng)用1.如圖，已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)右焦點(diǎn)作平行于一條漸近線(xiàn)的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)，若的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B. C. D.2.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)的直線(xiàn)和橢圓交于兩點(diǎn)，和軸交于.若,則橢圓的離心率（）A. B. C. D.3．直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，以線(xiàn)段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，求.

4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，為拋物線(xiàn)上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，以為直徑作圓，當(dāng)直線(xiàn)的斜率為時(shí)，（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)焦點(diǎn)作的垂線(xiàn)與圓的一個(gè)交點(diǎn)為，交拋物線(xiàn)與（點(diǎn)在之間），記的面積為，求的最小值。5.已知橢圓：的離心率，若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)和，組成的面積最大為.（1）求橢圓的方程；（2）若存在直線(xiàn)和橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，且原點(diǎn)與,連線(xiàn)的斜率之和滿(mǎn)足：=2，求直線(xiàn)的斜率的取值范圍.

6.已知橢圓的離心率為，焦距為，與拋物線(xiàn)有公共焦點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓C1與拋物線(xiàn)的方程；（Ⅱ）已知直線(xiàn)是圓的一條切線(xiàn)，與橢圓C1交于兩點(diǎn)，若直線(xiàn)斜率存在且不為，在橢圓C1上存在點(diǎn)，使，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．第2講待定系數(shù)法（幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化）考情分析待定系數(shù)法是圓錐曲線(xiàn)里面一種非?；A(chǔ)但也是非常重要的方法，是我們幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化的橋梁。要學(xué)好圓錐曲線(xiàn)這一部分，掌握并記住基礎(chǔ)的結(jié)論是學(xué)習(xí)圓錐曲線(xiàn)第一步，待定系數(shù)法就是我們突破圓錐曲線(xiàn)的第二步，幾何分析+方程思想離不開(kāi)待定系數(shù)法;設(shè)而不求+加韋達(dá)定理更是離不開(kāi)待定系數(shù)法。本文以此為出發(fā)點(diǎn)，從不同角度分析和處理圓錐曲線(xiàn)。二、經(jīng)驗(yàn)分享求圓錐曲線(xiàn)方程的策略一般有以下幾種：①幾何分析法＋方程思想；。幾何分析法，利用圖形結(jié)合圓錐曲線(xiàn)的定義與幾何性質(zhì)，分析圖中已知量與未知量之間的關(guān)系，列出關(guān)于方程中參數(shù)的方程，解出參數(shù)值即可得到圓錐曲線(xiàn)方程，要求平面幾何中相似等數(shù)學(xué)知識(shí)必須十分熟練。②設(shè)而不求＋韋達(dá)定理；設(shè)而不求、韋達(dá)定理是解圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的通性通法，缺點(diǎn)是計(jì)算量較大，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，容易出錯(cuò)，通常根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線(xiàn)方程，將直線(xiàn)方程代入曲線(xiàn)方程，化為關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理用參數(shù)表示出來(lái)，根據(jù)題中條件列出關(guān)于參數(shù)的方程，通過(guò)解方程解出參數(shù)值，即可得出圓錐曲線(xiàn)的方程。③第二定義＋數(shù)形結(jié)合；④參數(shù)法＋方程思想。不管是哪種方法，最終都要列出關(guān)于圓錐曲線(xiàn)方程中的參數(shù)的方程問(wèn)題，通過(guò)解方程解出參數(shù)值，即可得到圓錐曲線(xiàn)方程，故將利用平面幾何知識(shí)和圓錐曲線(xiàn)的定義與性質(zhì)是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，簡(jiǎn)化解析幾何計(jì)算的重要途徑.不管我們采取何種方法，待定系數(shù)法都是我們的幾何與代數(shù)的橋梁，面對(duì)紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)圓錐曲線(xiàn)大題，唯有靜下心來(lái)。合理設(shè)置參數(shù)，選取最適用的方法，代數(shù)與幾何靈活轉(zhuǎn)化，才是我們攻克圓錐曲線(xiàn)的正確之道三、題型分析(一)用待定系數(shù)法求解圓錐曲線(xiàn)方程例1【2014年全國(guó)課標(biāo)Ⅱ，理20】設(shè),分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線(xiàn)與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.（Ⅰ）若直線(xiàn)MN的斜率為，求C的離心率；（Ⅱ）若直線(xiàn)MN在y軸上的截距為2，且，求a,b.【解析】（Ⅰ）根據(jù)及題設(shè)知將代入，解得（舍去）故C的離心率為．（Ⅱ）由題意，原點(diǎn)為的中點(diǎn)，∥軸，所以直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，故，即①由得。設(shè)，由題意知，則，即代入C的方程，得。②將①及代入②得解得，故.【變式訓(xùn)練1】設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l的傾斜角為60o，．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）如果|AB|=，求橢圓C的方程．【解析】設(shè)，由題意知＜0，＞0.（Ⅰ）直線(xiàn)l的方程為，其中.聯(lián)立得解得因?yàn)?，所?即得離心率.（Ⅱ）因?yàn)?，所?由得.所以，得a=3，.橢圓C的方程為．(二)利用參數(shù)求圓錐曲線(xiàn)方程例2.設(shè)橢圓的方程為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在線(xiàn)段上，滿(mǎn)足，直線(xiàn)的斜率為．（Ⅰ）求的離心率；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的方程．【解析】（1）由題設(shè)條件知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，從而，進(jìn)而得，故．（2）由題設(shè)條件和（I）的計(jì)算結(jié)果可得，直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為．又點(diǎn)在直線(xiàn)上，且,從而有，解得，所以，故橢圓的方程為．【變式訓(xùn)練1】已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為．設(shè)為直線(xiàn)上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，其中為切點(diǎn)．（Ⅰ）求拋物線(xiàn)的方程；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)為直線(xiàn)上的定點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)的方程；（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)上移動(dòng)時(shí)，求的最小值．【解析】（Ⅰ）依題意，解得（負(fù)根舍去）拋物線(xiàn)的方程為．（Ⅱ）設(shè)點(diǎn),，，由,即得．∴拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程為，即．∵，∴．∵點(diǎn)在切線(xiàn)上,∴.①同理，.②綜合①、②得，點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程.∵經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)是唯一的，∴直線(xiàn)的方程為，即．（Ⅲ）由拋物線(xiàn)的定義可知，所以聯(lián)立，消去得，當(dāng)時(shí)，取得最小值為．(三)利用設(shè)而不求與韋達(dá)定理求拋物線(xiàn)方程例3．已知拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線(xiàn)，分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線(xiàn)于P，Q兩點(diǎn).（Ⅰ）若F在線(xiàn)段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明AR∥FQ；【解析】由題設(shè).設(shè)，則，且.記過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)為，則的方程為.（Ⅰ）由于在線(xiàn)段上，故.記的斜率為，的斜率為，則.所以.（Ⅱ）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，則.由題設(shè)可得，所以（舍去），.設(shè)滿(mǎn)足條件的的中點(diǎn)為.當(dāng)與軸不垂直時(shí)，由可得.而，所以.（Ⅱ）若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程．【變式訓(xùn)練1】.已知橢圓：的離心率，若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)和，組成的面積最大為.（1）求橢圓的方程；（2）若存在直線(xiàn)和橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，且原點(diǎn)與,連線(xiàn)的斜率之和滿(mǎn)足：=2，求直線(xiàn)的斜率的取值范圍.【答案】：（1）（2）【解析】：（1）由題可知的面積最大為.橢圓的方程（2）設(shè)，將代入得：，由韋達(dá)定理得，又由判別式得=1\*GB3①=2\*GB3②聯(lián)立=1\*GB3①=2\*GB3②有：，解得：中點(diǎn)弦問(wèn)題-點(diǎn)差法例4.已知雙曲線(xiàn)為該雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交該雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)，則該雙曲線(xiàn)的方程為.【答案】：.【解析】解法一：中點(diǎn)弦問(wèn)題一般采用點(diǎn)差法.，設(shè)兩式作差得即，所以雙曲線(xiàn)方程為.解法二：設(shè)直線(xiàn)，消去，可得所以，所以雙曲線(xiàn)方程為【變式訓(xùn)練1】.已知拋物線(xiàn)的一條弦恰好以為中點(diǎn)，則弦所在直線(xiàn)的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得：設(shè)，都在拋物線(xiàn)上，直線(xiàn)還經(jīng)過(guò)，所以直線(xiàn)方程為【變式訓(xùn)練1】已知橢圓，（1）求過(guò)點(diǎn)且被平分的弦所在直線(xiàn)的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（3）過(guò)引橢圓的割線(xiàn)，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點(diǎn)、，為原點(diǎn)，且有直線(xiàn)、斜率滿(mǎn)足，求線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程．【解析】：設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為，，線(xiàn)段的中點(diǎn)，則①－②得．由題意知，則上式兩端同除以，有，將③④代入得．⑤（1）將，代入⑤，得，故所求直線(xiàn)方程為：．⑥將⑥代入橢圓方程得，符合題意，為所求．（2）將代入⑤得所求軌跡方程為：．（橢圓內(nèi)部分）（3）將代入⑤得所求軌跡方程為：．（橢圓內(nèi)部分）（4）由①＋②得：，⑦，將③④平方并整理得，⑧，，⑨將⑧⑨代入⑦得：，⑩再將代入⑩式得：，即．此即為所求軌跡方程．當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決．

四、遷移應(yīng)用1.如圖，已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)右焦點(diǎn)作平行于一條漸近線(xiàn)的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)，若的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C.【解析】：設(shè)雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，可得直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立雙曲線(xiàn)，可得，設(shè)，，由三角形的面積的等積法可得，化簡(jiǎn)可得①，由雙曲線(xiàn)的定義可得②在三角形中，為直線(xiàn)的傾斜角），由，，可得，可得，③由①②③化簡(jiǎn)可得，即為，可得，則．故選：．2.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)的直線(xiàn)和橢圓交于兩點(diǎn)，和軸交于.若,則橢圓的離心率（）A. B. C. D.【答案】D.【解析】：方法1：根據(jù)直線(xiàn)可知，所以，又及，得，代入橢圓方程有，將代入，解得或（舍去），則方法2：如圖直線(xiàn)化簡(jiǎn)為,過(guò)做x軸的垂線(xiàn)，垂足為C，所以由題意得,在三角形中易得在中由勾股定理可得易得，所以3．直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，以線(xiàn)段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，求.【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）由題：在中，令，得，令，得，不妨設(shè)，因?yàn)橐跃€(xiàn)段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，即，解得，故，圓心為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）可知，圓為，圓心到直線(xiàn)的距離，由垂徑定理，即，解得。4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，為拋物線(xiàn)上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，以為直徑作圓，當(dāng)直線(xiàn)的斜率為時(shí)，（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)焦點(diǎn)作的垂線(xiàn)與圓的一個(gè)交點(diǎn)為，交拋物線(xiàn)與（點(diǎn)在之間），記的面積為，求的最小值?！敬鸢浮浚海?）（2）【解析】：（1）設(shè)，