2024-2025學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)（華師版）教案 第24章解直角三角形24.4解直角三角形及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用（第2課時(shí)）

第24章解直角三角形24.4解直角三角形解與仰角、俯角有關(guān)的直角三角形（第2課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1.理解仰角、俯角的含義，能準(zhǔn)確運(yùn)用這些概念來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題.2.能夠把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問(wèn)題.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：理解解直角三角形的含義.難點(diǎn)：能夠把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問(wèn)題.教學(xué)過(guò)程復(fù)習(xí)鞏固1.銳角三角函數(shù)：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，則兩銳角關(guān)系：∠A+∠B＝90°.三邊關(guān)系：a2+b2＝c2.邊角關(guān)系：(1)∠A的對(duì)邊與斜邊的比值是∠A的正弦，記作sinA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,斜邊)；(2)∠A的鄰邊與斜邊的比值是∠A的余弦，記作cosA＝eq\f(∠A的鄰邊,斜邊)；(3)∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作tanA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,∠A的鄰邊).2.解直角三角形有以下基本類型：基本類型選擇的關(guān)系式已知兩邊斜邊和一直角邊(c，a)b＝eq\r(c2－a2)；由sinA＝eq\f(a,c)，求∠A；∠B＝90°-∠A兩直角邊(a，b)c＝eq\r(a2＋b2)；由tanA＝eq\f(a,b)，求∠A；∠B＝90°-∠A已知邊和角斜邊和一銳角(c，∠A)∠B＝90°-∠A；由sinA＝eq\f(a,c)，求a＝c·sinA；由cosA＝eq\f(b,c)，求b＝c·cosA一直角邊和一銳角(a，∠A)∠B＝90°-∠A；由tanA＝eq\f(a,b)，求b＝eq\f(a,tanA)；由sinA＝eq\f(a,c)，求c＝eq\f(a,sinA)導(dǎo)入新課我們已經(jīng)掌握了直角三角形的有關(guān)性質(zhì)以及邊角之間的各種關(guān)系，這些都是解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題的重要依據(jù)，這節(jié)課就是利用直角三角形解關(guān)于仰角與俯角的問(wèn)題.教師引出課題：24.4解直角三角形解與仰角、俯角有關(guān)的直角三角形（第2課時(shí)）探究新知探究點(diǎn)一仰角、俯角的概念活動(dòng)1（學(xué)生交流，教師點(diǎn)評(píng)）閱讀教材第113頁(yè)讀一讀【總結(jié)】在進(jìn)行觀察或測(cè)量時(shí)，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.典例講解（師生互動(dòng)）例1如圖，為了測(cè)量電線桿的高度BC，在離電線桿10米的A處，用高1.50米的測(cè)角儀DA測(cè)得電線桿頂端C的仰角a＝52°，求電線桿BC的高.（精確到0.1米）【探索思路】(引發(fā)學(xué)生思考)本題要求BC，由圖示可知BC＝CE+EB，而EB＝DA，因此只要求出CE問(wèn)題就解決了.【解】在Rt△CDE中，∵

CE＝DEtanα＝ABtanα＝10tan52°≈12.80（米），∴BC＝BE+CE＝DA+CE＝1.50+12.80＝14.3（米）.答：電線桿BC的高為14.3米.探究點(diǎn)二利用三角函數(shù)解實(shí)際問(wèn)題的一般步驟活動(dòng)2（學(xué)生交流，教師點(diǎn)評(píng)）【總結(jié)】利用三角函數(shù)解實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：（1）首先要弄清題意，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題中的示意圖分清題目中的已知條件和所求結(jié)論；（2）找出與問(wèn)題有關(guān)的直角三角形，或通過(guò)作輔助線構(gòu)造有關(guān)的直角三角形，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題；（3）合理選擇直角三角形的元素之間的關(guān)系求出答案.例2如圖，熱氣球探測(cè)器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角為30°，看這棟樓底部C處的俯角為60°，熱氣球與樓的水平距離AD為100米，試求這棟樓的高度BC.【探索思路】分析法：要求BC，先求出BD與CD，只要解Rt△ADB、Rt△ADC.【解】由題意，得α＝30°，β＝60°，AD＝100米，∠ADC＝∠ADB＝90°.∴在Rt△ADB中，α＝30°，AD＝100米，∴tanα＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(BD,100)＝，∴BD＝米.在Rt△ADC中，β＝60°，AD＝100米，∴tanβ＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(CD,100)＝，∴CD＝100米.∴BC＝BD+CD＝+100＝(米)，即這棟樓的高度BC是米.【題后總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))首先分析圖形：根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形；本題涉及到兩個(gè)直角三角形△ADB、△ADC，利用BC＝BD+CD可求出答案.【歸納】仰角、俯角問(wèn)題的常見(jiàn)基本模型：模型一模型二模型三模型四模型五【即學(xué)即練】如圖，某大樓頂部有一旗桿AB，甲乙兩人分別在相距6米的C，D兩處測(cè)得B點(diǎn)和A點(diǎn)的仰角分別是42°和AB的長(zhǎng)大約是多少米？(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，tan42°≈0.9，sin65°≈0.91，tan65°≈2.1)【解】在Rt△ADE中，∠ADE＝65°，DE＝15米，則tan∠ADE＝，即tan65°＝≈2.1，解得AE≈31.5米.在Rt△BCE中，∠BCE＝42°，CE＝CD+DE＝21米，則tan∠BCE＝，即tan42°＝≈0.9，解得BE≈18.9米.則AB＝AE-BE＝31.5-18.9≈13(米).即旗桿AB的長(zhǎng)大約是13米.【方法總結(jié)】把數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解直角三角形問(wèn)題，如果示意圖不是直角三角形，可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出直角三角形.課堂練習(xí)1.如圖所示，為測(cè)量一棵與地面垂直的樹(shù)OA的高度，在距離樹(shù)的底端30m的B處，測(cè)得樹(shù)頂A的仰角∠ABO為α，則樹(shù)OA的高度為()A.m B.30sinαmC.30tanαm D.30cosαm2.如圖所示，某飛機(jī)在空中A處探測(cè)到它的正下方地平面上目標(biāo)C，此時(shí)飛機(jī)的飛行高度AC＝1200m，從飛機(jī)上看地平面指揮臺(tái)B的俯角α＝30°，則飛機(jī)A與指揮臺(tái)B的距離為()A.1200m B.12002mC.12003m3.如圖所示，某人站在樓頂觀測(cè)對(duì)面筆直的旗桿AB.已知觀測(cè)點(diǎn)C到旗桿的距離CE＝8m，測(cè)得旗桿的頂部A的仰角∠ECA＝30°，旗桿底部B的俯角∠ECB＝45°，那么，旗桿AB的高度是()A.()m B.(8+83)mC.m D.m4.如圖，從熱氣球C上測(cè)得建筑物A，B底部的俯角分別為30°和60°.如果這時(shí)熱氣球高度CD為150米，且點(diǎn)A，D，B在同一直線上，則建筑物A，B間的距離為()A.1503m B.1803C.2003m D.2205.如圖，在高樓前D點(diǎn)測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?0°，向高樓前進(jìn)60m到C點(diǎn)，又測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?5°，則高樓的高度大約為為多少米.6.如圖所示，為了測(cè)得電視塔的高度AB，在D處用高為1m的測(cè)角儀CD，測(cè)得電視塔頂端A的仰角為30°，再向電視塔方向前進(jìn)100m到達(dá)F處，又測(cè)得電視塔頂端A的仰角為60°，則這個(gè)電視塔的高度AB為多少米.參考答案1.C【解析】在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，∵BO＝30m，∠ABO＝α，tan∠ABO＝，∴AO＝BOtanα＝30tanαm.故選C.2.D【解析】由題意，得∠B＝30°，所以sinB＝.又AC＝1200m，所以AB＝2AC＝2400m.3.D【解析】由題意，得AE＝CEtan∠ECA＝8×(m)，BE＝CEtan∠ECB＝8(m).∴AB＝BE+AE＝m.4.C【解析】∵∠A＝30°，∠B＝60°，在Rt△ACD中，tanA＝，∴AD＝1503（m）.在Rt△BCD中，tanB，∴BD＝50（m），∴AB＝AD+BD＝200（m）.5.【解】設(shè)樓高AB為xm.在Rt△ADB中，DB.∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x.∴CD＝BD-BC＝(3-1)x＝60，解得x故高樓的高度大約為82米.6.【解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為G.由題意知C，E，G三點(diǎn)共線.設(shè)AG＝xm.由題意可知AB⊥DB，CG∥DB，∠AGE＝90°.在Rt△AEG中，∵∠AEG＝60°，tan∠AEG＝，∴EG＝x(m).在Rt△ACG中，∵∠ACG＝30°，tan∠ACG＝，∴CG＝＝3x∵CE＝DF＝100m，而CG-EG＝CE，∴x＝100，解得x＝503.∴AB＝AG+GB＝(503+1課堂小結(jié)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))仰角、俯角的概念：在進(jìn)行觀察或測(cè)量時(shí)，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.利用三角函數(shù)解實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：；（2）找出與問(wèn)題有關(guān)的直角三角形，或通過(guò)作輔助線構(gòu)造有關(guān)的直角三角形，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題；（3）合理選擇直角三角形的元素之間的關(guān)系求出答案.【方法總結(jié)】把數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解直角三角形問(wèn)題，如果示意圖不是直角三角形，可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出直角三角形.布置作業(yè)教材第114頁(yè)練習(xí)題第1，2題.板書(shū)設(shè)計(jì)課題24.4解直角三角形解與仰角、俯角有關(guān)的直角三角形（第2課時(shí)