2024-2025學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級上冊（華師版）教案 第23章圖形的相似23.6.2圖形的變換與坐標(biāo)

第23章圖形的相似23.6圖形與坐標(biāo)2圖形的變換與坐標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.探索圖形經(jīng)過平移、軸對稱、相似等變換后對應(yīng)坐標(biāo)的變化.2.能按要求作出簡單的平面圖形運(yùn)動后的圖形以及對應(yīng)的坐標(biāo)變化.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握圖形變化前后坐標(biāo)之間的規(guī)律.難點(diǎn)：能按要求作出簡單的平面圖形運(yùn)動后的圖形以及對應(yīng)的坐標(biāo)變化.教學(xué)過程復(fù)習(xí)鞏固1.平移（1）定義：平面圖形在它所在的平面上的平行移動，簡稱為平移.（2）性質(zhì)：平移前后的圖形的形狀和大小完全相同，能夠完全重合；平移前后圖形的對應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等.2.成軸對稱：（1）定義：把一個圖形沿著某一條直線翻折后，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形成軸對稱.（2）性質(zhì)：成軸對稱的兩個圖形的對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等.3.怎樣判斷兩個圖形是不是位似圖形？判斷兩個圖形是不是位似圖形，需要從兩方面去考察：一是這兩個圖形是相似的，二是要有特殊的位置關(guān)系，即每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn).4.畫位似圖形的一般步驟：（1）確定位似中心；（2）分別連結(jié)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)并延長；（3）根據(jù)相似比，確定能代表所畫的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；（4）按照原圖的形狀，順次連結(jié)上述各點(diǎn)，得到放大或縮小后的圖形.導(dǎo)入新課【問題1】活動1（小組討論，教師點(diǎn)評）三角形A′B′C′是由三角形ABC平移得到的，點(diǎn)A（-1，4）的對應(yīng)點(diǎn)為A′（1，7），點(diǎn)B（1，1）的對應(yīng)點(diǎn)為B′（3，4），則點(diǎn)C（-4，-1）的對應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為.【解析】由點(diǎn)A（-1，4）的對應(yīng)點(diǎn)為A′（1，7）知平移方式為向右平移2個單位、向上平移3個單位，∴點(diǎn)C（-4，-1）的對應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（-2，2）.【答案】（-2，2）思考：在同一個平面直角坐標(biāo)系中，一個圖形經(jīng)過變換之后，該圖形上各點(diǎn)的坐標(biāo)會如何變化呢？教師引出課題：23.6圖形與坐標(biāo)2圖形的變換與坐標(biāo)探究新知探究點(diǎn)一平移變換后圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)變化【問題2】活動2（小組討論，教師點(diǎn)評）典例講解（師生互動）例1如圖所示，△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（4，3）、B（3，1）、C（1，2）.（1）將三角形ABC三個頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)都減去6，縱坐標(biāo)不變，分別得到點(diǎn)A1、B1、C1，依次連結(jié)點(diǎn)A1、B1、C1，得到三角形A1B1C1.（2）在上面的三角形中如果將△ABC三個頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)都減去5，橫坐標(biāo)不變，情況又會如何呢？【探索思路】（引發(fā)學(xué)生思考）（聯(lián)系前面所學(xué)知識可知，平面直角坐標(biāo)系中圖形的平移也可先通過平移圖形上某些特殊點(diǎn)，再依次連結(jié)這些平移后的特殊點(diǎn)得到）因?yàn)閳D形的平移是以點(diǎn)的平移為基礎(chǔ)的，因此所得三角形A1B1C1與三角形ABC的大小、形狀完全相同，可以看作將三角形ABC向左平移6個單位得到.如圖所示.【題后總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評）根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，圖形的平移方向和距離解答.【即學(xué)即練】1.如圖，把△ABC經(jīng)過一定的平移變換得到△A′B′C′，如果△ABC邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），那么這個點(diǎn)在△A′B′C′中的對應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（）A.（a+6，b-2） B.（a+6，b+2）C.（-a+6，-b） D.（-a+6，b+2）【探索思路】（引發(fā)學(xué)生思考）根據(jù)已知三對對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，得出變換規(guī)律→讓點(diǎn)P的坐標(biāo)也作相應(yīng)變化.【解析】∵A（-3，-2）、B（-2，0）、C（-1，-3）、A′（3，0）、B′（4，2）、C′（5，-1），∴△ABC向右平移6個單位，向上平移2個單位得到△A′B′C′.∵△ABC邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），∴點(diǎn)P變換后的對應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（a+6，b+2）.【答案】B【題后總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評）坐標(biāo)系中圖形上所有點(diǎn)的平移變化規(guī)律是一致的，解此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)已知對應(yīng)點(diǎn)找到各對應(yīng)點(diǎn)之間的平移變化規(guī)律.【規(guī)律總結(jié)】（1）沿x軸方向左右平移|a|個單位，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)分別增加（減少）a個單位時，圖形向右（向左）平移a個單位.（2）沿y軸方向上下平移|b|個單位，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)分別增加（減少）b個單位時，圖形向上（向下）平移b個單位.反過來，沿x軸方向平移|a|個單位:若a>0，則向右平移；若a<0，則向左平移.沿y軸方向平移|b|個單位:若b>0，則向上平移；若b<0，則向下平移.探究點(diǎn)二軸對稱變換后圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)變化【問題3】活動3（小組討論，教師點(diǎn)評）【思考】在圖中，△AOB關(guān)于x軸的軸對稱圖形是△A′OB，它們對應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)有什么變化？【答案】O，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)不變，點(diǎn)A與點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).【問題4】活動4（小組討論，教師點(diǎn)評）動手操作：請在圖中的平面直角坐標(biāo)系中畫一個平行四邊形，寫出它的四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后畫出這個平行四邊形關(guān)于y軸的對稱圖形，寫出對稱圖形四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)，觀察對應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)有什么變化？學(xué)生展示結(jié)果，各小組討論，加以總結(jié)，老師點(diǎn)評【總結(jié)】在同一直角坐標(biāo)系中，圖形經(jīng)過軸對稱變換，變換前后對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對稱的兩個圖形，對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系是：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)（2）關(guān)于y軸對稱的兩個圖形，對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系是：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變.例2在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-3，1）、B（-1，0）、C（-2，-1），請在圖中畫出△ABC，并畫出與△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形.【探索思路】（引發(fā)學(xué)生思考）作已知圖形關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱圖形的關(guān)鍵是什么？如圖，△DEF是△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形.【題后總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評）在坐標(biāo)系中作出關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱點(diǎn)，然后順次連結(jié)，即可作出已知圖形關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱圖形.【規(guī)律總結(jié)】縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)分別乘-1，所得圖形與原圖形關(guān)于y軸對稱；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)分別乘-1，所得圖形與原圖形關(guān)于x軸對稱.探究點(diǎn)三旋轉(zhuǎn)變換后圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)變化【問題5】活動5（小組討論，教師點(diǎn)評）動手操作：請在圖中的平面直角坐標(biāo)系中畫一個三角形，寫出這個三角形的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把這個三角形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，畫出旋轉(zhuǎn)后得到的三角形，并寫出三角形的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)，觀察對應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)有什么變化？在同一直角坐標(biāo)系中，一個圖形繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°（即關(guān)于原點(diǎn)中心對稱），旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系是：橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)【規(guī)律總結(jié)】橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都乘-1，所得圖形與原圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱.探究點(diǎn)四位似變換后圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)變化【問題6】活動6（小組討論，教師點(diǎn)評）思考：如果把△AOB縮小后得到△COD，你能求出它們的相似比嗎？△AOB的頂點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生了什么變化？【解】由題意知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是2，所以O(shè)B＝4，OD＝2.因?yàn)椤鰽OB∽△COD，所以△AOB與△COD的相似比等于4∶2＝2∶1.把△AOB縮小后得到△COD,△AOB的頂點(diǎn)坐標(biāo)縮小為原來的.【規(guī)律總結(jié)】在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k（k>0），那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.以坐標(biāo)原點(diǎn)為位似中心的位似圖形存在兩種情況：若在原點(diǎn)的同側(cè)，則它們橫坐標(biāo)的比、縱坐標(biāo)的比都為k;若在原點(diǎn)的兩側(cè)，則它們橫坐標(biāo)的比、縱坐標(biāo)的比都為-k當(dāng)k＞1時，圖形擴(kuò)大為原來的k倍；當(dāng)0＜k＜1時，圖形縮小為原來的k倍.合作探究，解決問題（小組討論，教師點(diǎn)評）典例講解(師生互動)例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以P（4，6）為位似中心，把△ABC縮小得到△DEF，若變換后，點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E，求點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)F的坐標(biāo).【探索思路】（引發(fā)學(xué)生思考）把△ABC縮小得到△DEF，求點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)F的坐標(biāo)，通過圖形，找到縮小后點(diǎn)的變化.∵△DEF∽△ABC，且F點(diǎn)在CP的連線上，∴可得點(diǎn)F位置如圖所示.∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，4）.例4△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，3），B（2，1），C（5，2），以點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，將△ABC放大，觀察對應(yīng)頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化.【探索思路】（引發(fā)學(xué)生思考）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為位似中心作一個圖形的位似圖形可以作兩個.如圖，把△ABC放大后點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′（4，6），B′（4，2），C′（10，4）；A"（-4，-6），B"（-4，-2），C"（-10，-4）.【即學(xué)即練】2.在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0）、A（6，0）、B（3，6）、C（-3，3），以原點(diǎn)O為位似中心，畫出四邊形OABC的位似圖形，使它與四邊形OABC的相似比是2:3.第一種情況：如圖所示.將四邊形OABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)都乘；在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)O（0，0）、A'（4，0）、B'（2，4）、C'（-2，2）;順次連結(jié)O、A'、B'、C'得四邊形OA'B'C'.第二種情況：如圖所示.將四邊形OABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)都乘；在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)O（0，0）、A''（-4，0）、B'′（-2，-4）、C''（2，-2）;順次連結(jié)O、A''、B''、C''得四邊形OA''B''C''.【題后總結(jié)】在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為位似中心作一個圖形的位似圖形可以作兩個.當(dāng)位似圖形在原點(diǎn)同側(cè)時，其對應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的比為k；當(dāng)位似圖形在原點(diǎn)兩側(cè)時，其對應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的比為-k.課堂練習(xí)1.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，1）.將線段AB沿某一方向平移后，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，1），則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.（5，3）B.（-1，-2）C.（-1，-1） D.（0，-1）2.點(diǎn)A（m，4）向右平移2個單位后得到B（3，n），則m-n＝.3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，2），（-1，0），將線段AB沿x軸的正方向平移，若點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（2，0），則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為.4.在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A（x，y）向左平移5個單位，再向上平移3個單位后與點(diǎn)B（-3，2）重合，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是.5.如圖，三架飛機(jī)P、Q、R保持編隊飛行，30秒后飛機(jī)P飛到P1的位置，飛機(jī)Q、R飛到了新位置Q1、R1.在直角坐標(biāo)系中標(biāo)出Q1、R1，并寫出坐標(biāo).6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，P（a，b）是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，△ABC平移后點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為P1（a+6，b+2）.請畫出上述平移后的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)A、C、A1、C1的坐標(biāo).7.a、b、c為△ABC的三條邊，滿足條件點(diǎn)（a-c，a）與點(diǎn)（0，-b）關(guān)于x軸對稱，判斷△ABC的形狀.8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（1，2），B（3，1）（每個方格的邊長為1單位）.（1）將△OAB向右平移1個單位后得到△，請畫出△

；（2）請以O(shè)為位似中心畫出△OAB的位似圖形，使它與△OAB的相似比為2∶1；（3）點(diǎn)P（a，b）為△OAB上一點(diǎn)，請直接寫出在（2）中位似變換后的對應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為____.參考答案1.C2.-33.（3，2）4.（2，-1）5.由題意可知P（-1，1）、Q（-3，1）、R（-1，-1）.∵30秒后點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（4，3），∴飛機(jī)P向右平移了5個單位，向上平移了2個單位，∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)R1的坐標(biāo)為（4，1）.在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.6△A1B1C1如圖所示，各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-3，2）、C（-2，0）、A1（3，4）、C1（4，2）.7.∵點(diǎn)（a-c，a）與點(diǎn)（0，-b）關(guān)于x軸對稱，∴a-c＝0，a-b＝0，∴a＝c，a＝b，∴a＝b＝c，∴△ABC是等邊三角形.8.（1）