多邊形的內(nèi)角和課件

1.經(jīng)歷探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式的過程.

2.學(xué)會(huì)運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和與外角和公式解決問題.

學(xué)習(xí)目標(biāo)某社區(qū)公園的邊緣是一個(gè)四邊形（如圖），小唯唯每天下班后圍繞公園跑步，你能求出小唯唯圍繞公園環(huán)跑一圈總共拐彎的度數(shù)嗎？我們知道正方形，矩形他們的角都是90°，內(nèi)角的和為360°，那任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和是否都為360°呢？

新課引入研究多邊形的問題通過添加對(duì)角線，都可以轉(zhuǎn)化為三角形.你能利用三角形內(nèi)角和定理，證明任意一個(gè)四邊形ABCD

的內(nèi)角和等于360°嗎？已知：四邊形ABCD，求證：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.DCAB探究1新知學(xué)習(xí)已知：四邊形ABCD，求證：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.DCAB方法1證明：如圖，連接AC，∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=∠1

+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=(∠1

+∠3+∠B)+(∠2+∠4+∠D)=180°+180°=360°.1234方法2證明：如圖，在四邊形內(nèi)部取一點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，OD，把四邊形分成四個(gè)三角形.所以四邊形ABCD

的內(nèi)角和=180°×4-(∠AOB+∠AOD+∠COD+∠COB)=180°×4-360°=360°.DCABO方法3證明：如圖，在BC

邊上取一點(diǎn)O

，連接OA，OD，把四邊形分成三個(gè)三角形.所以四邊形ABCD

的內(nèi)角和=180°×3-(∠AOB+∠AOD+∠COD)=180°×3-180°=360°DCABO方法4證明：如圖，在四邊形外任取一點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，OD，把四邊形轉(zhuǎn)化為有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三個(gè)三角形.所以四邊形ABCD

的內(nèi)角和=180°×3-(∠COB+∠CBO+∠BCO)=180°×3-180°=360°DCABO以上這四種方法都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想，把四邊形分割成三角形，轉(zhuǎn)化為已學(xué)的三角形內(nèi)角和進(jìn)行求解.類比上面的過程，你能推導(dǎo)出五邊形和六邊形的內(nèi)角和各是多少嗎？ACDEBABCDEF內(nèi)角和為180°×3=540°.內(nèi)角和為180°×4=720°.名稱四邊形五邊形六邊形n邊形圖形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)能作的對(duì)角線條數(shù)過一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線把多邊形分成的三角形個(gè)數(shù)多邊形內(nèi)角和123n-3234n-22×180°3×180°4×180°(n-2)×180°

一般地，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作_________條對(duì)角線，它們將n邊形分為__________個(gè)三角形，n邊形的內(nèi)角和等于______________.(n－3)（n－2)(n－2)×180°歸納多邊形的內(nèi)角和公式：n邊形內(nèi)角和等于(n-2)×180°.注意：①n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的增加而增加，每增加一條邊其內(nèi)角和增加180°.②多邊形的內(nèi)角和是180°的整倍數(shù).如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角有什么關(guān)系？DCAB解：

如圖，在四邊形ABCD

中，

∠A+∠C=180°，

∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，

∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C) =360°-180°=180°如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角也互補(bǔ).思考后來小唯唯沿公園里面的一個(gè)五邊形小路按逆時(shí)針方向跑步，小唯唯每從一條小路轉(zhuǎn)到下一條小路時(shí)，身體總要轉(zhuǎn)過一個(gè)角，你知道是哪些角嗎？他跑一圈一共轉(zhuǎn)了多少度？探究2把上面的問題抽象為數(shù)學(xué)問題，如右圖.分析：1.任意一個(gè)外角同它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？2.五邊形的6個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi)角的總和是多少？5×180°=900°互補(bǔ)解：

五邊形的任何一個(gè)外角加上與它相鄰的內(nèi)角都等于180°，因此六邊形的5個(gè)外角加上它們相鄰的內(nèi)角，所得的總和等于5×180°.這個(gè)總和就是五邊形的外角和加上內(nèi)角和，所以外角和等于總和減去內(nèi)角和，即外角和等于

5×180°-(5-2)×180°=2×180°=360°結(jié)論：五邊形的外角和等于360°.思考如果將五邊形換成n邊形（n是不小于3的任意整數(shù)），可以得到同樣結(jié)果嗎？n邊形外角和－(n－2)×180°=360°=n個(gè)平角-n邊形內(nèi)角和=n×180°n邊形的外角和等于360°.歸納與多邊形邊數(shù)無關(guān)你知道正多邊形的每個(gè)內(nèi)角是多少度嗎？每個(gè)外角呢？每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是每個(gè)外角的度數(shù)是思考例

若小唯唯現(xiàn)在圍繞一個(gè)正多邊形的公園跑步，每一個(gè)內(nèi)角都等于135°，則這個(gè)公園是幾邊形？解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，由題意得（n－2）×180o=n×135o

解得：n=8所以這個(gè)公園是八邊形.

還有其他解法嗎？解法二：∵正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于135°，

∴正多邊形的每一個(gè)外角都等于180°-135°=45°，

由多邊形的外角和等于360°

360÷45=8

所以這個(gè)公園是八邊形.

1.多邊形的外角和為360°.2.多邊形的內(nèi)(外)角和與邊數(shù)間的關(guān)系：(1)多邊形的內(nèi)角與邊數(shù)有關(guān)，且隨著邊數(shù)的增加而增加．(2)多邊形的外角和恒等于360°，與邊數(shù)的多少無關(guān)，其作用是：①已知正多邊形外角的度數(shù)，求正多邊形的邊數(shù)；②已知正多邊形的邊數(shù)，求各相等外角的度數(shù)．總結(jié)歸納1.五邊形的外角和等于(

)A．180°B．360°C．540°D．720°B2.如果正n邊形每一個(gè)內(nèi)角等于與它相鄰?fù)饨堑?倍，則n的值是(

)A．4B．5C．6D．7C隨堂練習(xí)3．一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是540゜，則這個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角等于(

)．A．60゜B．72゜C．90゜D．108゜4．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的和為540°，則它是(

)A．五邊形B．四邊形C．三角形D．不能確定BC5.一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角比一個(gè)內(nèi)角大60°，求這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)及邊數(shù)．解：設(shè)該正多邊形的每個(gè)內(nèi)角是

x°，相鄰?fù)饨鞘?/p>

y°，則得到一個(gè)方程組解得而任何多邊形的外角和是

360°，則該正多邊形的邊數(shù)為

360÷120

=

3.故這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是

60°，邊數(shù)是三條．6.如圖，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度數(shù).解：如圖，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五邊形的內(nèi)角和＝540°.89外角和內(nèi)角和計(jì)算公式(n-2)×180°(n≥3的整數(shù)）多邊形的外角和等于360°，與邊數(shù)無關(guān).多邊形正多邊形每個(gè)內(nèi)角=