第2章軸對稱圖形知識梳理熱考題型原卷版

第2章軸對稱圖形本章知識綜合運用內容預覽內容預覽有關概念有關概念●●1、軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關于這條直線對稱，也稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸.◆軸對稱的性質：1.成軸對稱的兩個圖形全等；2.成軸對稱的兩個圖形中，對應點的連線被對稱軸垂直平分.拓展：成軸對稱的兩個圖形的任何對應部分也成軸對稱.●●2、軸對稱圖形：把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫軸對稱圖形，這條直線叫對稱軸.◆軸對稱圖形與軸對稱的區(qū)別與聯(lián)系：●●3、線段的垂直平分線的概念：垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條直線的垂直平分線.◆線段的垂直平分線必須滿足兩個條件：1.經過線段的中點；2.垂直于這條線段.注意：線段的垂直平分線是一條直線，而不是一條線段，且只有一條.●●4、等邊三角形：三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形.簡單的軸對稱圖形簡單的軸對稱圖形●●1、線段：線段是軸對稱圖形，有2條對稱軸，分別是線段所在直線和線段的垂直平分線.◆線段的垂直平分線性質定理：線段的垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．拓展：三角形三邊的垂直平分線交于一點，這一點到三角形三個頂點的距離相等.◆線段的垂直平分線判定定理：到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.●●2、角：角是軸對稱圖形，有1條對稱軸，角平分線所在的直線是它的對稱軸.◆角平分線性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.拓展：三角形三個內角的平分線交于一點，這一點到三角形三條邊的距離相等.◆角平分線判定定理：角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.●●3、等腰三角形：等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線（也可以說是底邊上的中線或底邊上的高）所在的直線是它的對稱軸.◆等腰三角形性質定理：1.等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）；2.等腰三角形的頂角平分線與底邊上的中線，底邊上的高互相重合（簡稱“三線合一”）.◆等腰三角形判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡稱“等角對等邊”).◆直角三角形性質定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.注意：該定理需滿足兩個條件：1.直角三角形；2.斜邊上的中線.●●4、等邊三角形：等邊三角形是軸對稱圖形，角平分線（也可以說是三邊上的中線或三邊上的高）所在的直線是它的對稱軸◆等邊三角形性質定理：等邊三角形的每個內角都等于60°．拓展：等邊三角形每條邊都能運用三線合一這性質.◆等邊三角形判定定理：1.三個角都相等的三角形是等邊三角形.2.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖●●1、畫已知圖形的對稱圖形（“三步法”）：一找——找已知圖形的關鍵點；二畫——根據對稱點的位置關系畫出各關鍵點的對稱點；三連——按照已知圖形的形狀連接各對稱點，得到所要求作的圖形.●●2、用尺規(guī)作線段的垂直平分線●●3、已知底邊及底邊上的高作等腰三角形軸對稱圖形的識別題型一軸對稱圖形的識別題型一【例題】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）下列圖形中，是軸對稱圖形且對稱軸條數最多的是（

）A．B．C．D．【變式1】（2023·江蘇揚州·二模）垃圾分類標識中的圖形是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）下列圖形中，是軸對稱圖形且對稱軸條數最多的是（

）A．B．C．D．【變式3】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖（1），小強拿一張正方形的紙，沿虛線對折一次得圖（2），再對折一次得圖（3），然后用剪刀沿圖（3）中的虛線剪去一個角，再打開后的形狀是（）A． B． C． D．【變式4】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在的正方形方格中，陰影部分是涂黑3個小正方形所形成的圖案．

(1)若將方格內空白的兩個小正方形涂黑，使得到的新圖案成為一個軸對稱圖形，涂法共有種．(2)請在備用圖中至少畫出具有不同對稱軸的三個方案，并畫出對稱軸．軸對稱的性質與應用題型軸對稱的性質與應用題型二【例題1】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，若△ABC與關于直線MN對稱，交MN于點O，則下列說法不一定正確的是（

）A． B． C． D．【變式11】（2023秋·江蘇南京·八年級南京市金陵匯文學校?？茧A段練習）如圖，Rt△ABC中，，將其折疊，使點落在邊上處，折痕為，則（

）A． B． C． D．【變式12】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）將一張長方形紙片按圖2所示折疊后，再展開．如果，那么的度數為（

）

A． B． C． D．無法確定【變式13】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是，每個小正方形的頂點叫做格點．網格中有一個格點（即三角形的頂點都在格點上）．（1）在圖中作出關于直線的對稱圖形（要求點與，與，與相對應）．（2）在直線上找一點，使得的周長最小．【例題2】（（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，為了做好元旦期間的交通安全工作，自貢市交警執(zhí)勤小隊從A處出發(fā)，先到公路m上設卡檢查，再到公路n上設卡檢查，最后再到達B地執(zhí)行任務，他們應如何走才能使總路程最短？畫出圖形并說明做法．【變式21】（（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，直線l是一條公路，A、B是兩個村莊．欲在l上的某點處修建一個車站，直接向A、B兩地提供乘車服務．現(xiàn)有如下四種建設方案，圖中實線表示鋪設的行走道路，則鋪設道路最短的方案是（

）A．B．C． D．【變式22】（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝50°，在BC、CD邊上分別找到點M、N，當△AMN周長最小時，∠AMN＋∠ANM的度數為．線段的軸對稱性題型線段的軸對稱性題型三【例題1】(2023·全國·單元測試)如圖，在△ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于點D，若△DBC的周長為35cm，則A.5cm B.10cm C.15cm【變式11】(2023·湖南省·單元測試)如圖，等腰△ABC的底邊BC長為4，腰長為6，EF垂直平分AB，點P為直線EF上一動點，則BP+CP的最小值(

)

A.10 B.6 C.4 D.2【變式12】（2023秋·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期末）在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點F、G，若∠EAG=30°，則∠【變式13】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）三個村莊A、B、C（其位置如圖所示）準備修建一口水井，要求水井到三個村莊的距離相等，水井應該修在什么地方呢，你能找到嗎？（寫出作法，并保留作圖痕跡）【變式14】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點E，交AB于點F，D為線段CE的中點，且BE(1)求證：AD⊥(2)若∠C=70°，求【例題2】(2023·陜西省渭南市·模擬題)如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高．求證：AD垂直平分EF．

【變式21】（2022·廣西梧州·梧州市第一中學?？既＃㈤L方形紙片沿AC折疊后點B落在點E處，則線段BE與AC的關系是（）A．AC=BE B．AC⊥C．AC⊥BED．AC⊥BE【變式22】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E．（1）若BC=10，求△ADE的周長；（2）設直線DM、EN交于點O①試判斷點O是否在BC的垂直平分線上，并說明理由；②若∠BAC=100°，求∠BOC的度數【例題3】（2023·甘肅隴南·統(tǒng)考二模）今年是“一帶一路”倡議提出及建設開啟的十周年．十年來，我國與151個國家、32個國際組織簽署了200余份共建“一帶一路”合作文件，在基礎設施建設、能源建設、交通運輸、脫貧等多個方面取得成果，為多個國家的合作發(fā)展帶來好消息．如圖，北京與雅典、莫斯科建立了“一帶一路”貿易合作關系，記北京為A地，莫斯科為B地，雅典為C地，若想建一個貨物中轉倉，使其到A，B，C三地的距離相等，那么如何選擇中轉倉的位置？請你用尺規(guī)作圖設計出中轉倉的位置P，保留作圖痕跡，不用說明理由，并在答題卡上描黑作圖痕跡．【變式31】（2023秋·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABCAB<BC<AC，用尺規(guī)在AC上確定一點PA． B．C． D．【變式32】（2023春·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期末）如圖2，一條筆直的公路MN同一側有兩個村莊A和B，現(xiàn)準備在公路MN上修一個公共汽車站點P，使站點P到兩個村莊A和B的距離相等．請你用尺規(guī)作圖找出點P的位置，不寫作法，保留作圖痕跡．

角的軸對稱性題型角的軸對稱性題型四【例題1】（2021·福建泉州·八年級南區(qū)中學校考期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，點F在邊AC上．（1）求證：DC=DE；（2）若AC=4，AB=5，且△ABC的面積等于6，求DE的長．【變式11】（2023春·江蘇·八年級開學考試）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線．若AC＝6，AB＝10，則S△ABD：S△ACD為（）A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．3：5【變式12】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OBA．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB【例題2】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，某個居民小區(qū)C附近有三條兩兩相交的道路MN、OA、OB，擬在MN上建造一個大型超市，使得它到OA、OB的距離相等，請確定該超市的位置P．【變式21】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）三條公路將A、B、C三個村莊連成一個如圖的三角形區(qū)域，如果要在三角形區(qū)域內修建一個集貿市場，要使集貿市場到三條公路的距離相等，那么這個集貿市場可選的位置有（

）A．1處 B．2處 C．3處 D．4處【變式22】（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）如圖，某地有兩個村莊M，N，和兩條相交的公路OA，OB，現(xiàn)計劃在∠AOB內修建一個物資倉庫P，希望倉庫到兩個村莊的距離相等，到兩條公路的距離也相等，請你確定物資倉庫P【例題3】（2022春·湖南婁底·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知EF⊥CD，EF⊥AB，，M是EF的中點，只需添加，就可使CM，AM分別為∠【變式31】（2020秋·河南南陽·八年級?？茧A段練習）如圖，已知點P到AE、AD、BC的距離相等，下列說法：①點P在∠BAC的角平分線上；②點P在∠CBE的平分線上；③點P在∠BCD的平分線上；④點P在∠BAC，其中正確的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式32】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中點，

(1)求證：AE平分∠BAD(2)判斷AB、CD、AD之間的數量關系，并證明；(3)若AD=10，CB=8，求

等腰三角形的軸對稱性題型等腰三角形的軸對稱性題型五【例題1】（2023秋·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在BCA．30° B．25° C．22.5° D．21°【變式11】（2023秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=50°，點P在線段AC上且不與A、CA．60° B．65° C．80° D．130°【變式12】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在3×3的正方形網格中，點A，B在格點上，若點C也在格點上，且△ABC是等腰三角形，則符合條件的點C的個數為（

A．1 B．2 C．3 D．4【變式13】（2023秋·河南省直轄縣級單位·八年級校聯(lián)考期末）在△ABC中，點D,E是邊BC上的兩點．若AB=AC【例題2】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，則圖中等腰三角形的個數是（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式21】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，點D在AC的垂直平分線DF上，AE平分A．3 B．4 C．5 D．6【變式22】（2023春·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在一個直角三角形中，要求用圓規(guī)和直尺作圖，把它分成兩個三角形，其中一個三角形是等腰三角形，其作法不一定正確的是（

）A．B．C． D．【變式23】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，△ABC中，D為AC邊上一點，DE⊥AB于E，ED的延長線交BC的延長線于F(1)求證：△ABC(2)當∠F=______度時，【變式24】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）已知：如圖△ABC中AB=6cm，AC=8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過D

(1)求證：△DFC(2)求△AEF【變式25】（2023秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知線段a，b．求作：等腰△ABC，使得△ABC的底邊BC等于a，底邊上的高等于等邊三角形的軸對稱性題型等邊三角形的軸對稱性題型六【例題1】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）已知，如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD(1)求證：△AEB(2)求∠EPQ(3)若BQ⊥AD于Q，【變式11】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，AD是等邊△ABC的中線，AE=AD，則∠A．30° B．20° C．25° D．15°【變式12】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，△ABC是等邊三角形，AD平分∠BAC，若BD=3，則ABA．4 B．5 C．6 D．7【變式13】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，△ABC為等邊三角形，點D是BC邊上異于B，C的任意一點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F．若BC邊上的高線

【例題2】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）下列推理中，不能判斷△ABC是等邊三角形的是（

A．∠A=∠BC．∠A=60°,∠B=60° D【變式21】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是邊BC上的中點，若∠BAD=30°，BDA．6 B．8 C．10 D．12【變式22】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE