專題28.1特殊角的三角函數(shù)值（專項拔高卷）教師版

20232024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級下冊同步專題熱點難點專項練習(xí)專題28.1特殊角的三角函數(shù)值（專項拔高卷）考試時間：90分鐘試卷滿分：100分難度：較難一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（本題2分）（2023·北京海淀·?？寄M預(yù)測）在銳角中，若，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平方及絕對值的非負性可得，，由特殊角的三角函數(shù)值求得和，再由三角形內(nèi)角和為即可解答；【詳解】解：∵，∴，，∴，，∴在銳角中，，故選：A；【點睛】本題考查了平方及絕對值的非負性，銳角三角函數(shù)，三角形內(nèi)角和定理；掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．2．（本題2分）（2020秋·上海楊浦·九年級校考階段練習(xí)）中，，下列說法正確的是（

）A．的余切值為 B．的對邊與鄰邊之比為C．的余弦值 D．的正弦值不確定【答案】D【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：∵中，，∴的余切值為，∵不一定是直角三角形，∴的對邊與鄰邊之比不一定為，的余弦值不一定為，的正弦值不確定故選：D．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，掌握定義是解題的關(guān)鍵．3．（本題2分）（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有三點，，，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，取格點D，連接，，則B在上，由，，，證明，可得．【詳解】解：如圖，取格點D，連接，，則B在上，

∵，，，∴，，，∴，∴；故選C【點睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．4．（本題2分）（2023春·天津·九年級專題練習(xí)）計算的結(jié)果為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行計算即可．【詳解】解：故選：C．【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．5．（本題2分）（2023·廣東梅州·統(tǒng)考二模）已知實數(shù)，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求出各三角函數(shù)的值，然后比較他們的大小即可.【詳解】解：，∵，∴，故選：A.【點睛】本題主要是考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊角的所有三角函數(shù)值，所以要牢記特殊角的三角函數(shù)值，另外還考查了實數(shù)比較大小.6．（本題2分）（2023春·浙江金華·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）把一副三角尺如圖所示拼在一起，其中邊長是3，則的面積是（

）

A． B．4 C． D．【答案】C【分析】由特殊角三角函數(shù)值，在兩直角三角形中，分別求得；如圖，過點A作，交的延長線于點E，在中，求得，運用三角形面積公式求解．【詳解】解：如圖，過點A作，交的延長線于點E，中，，∴．中，，∴．中，．∴的面積是．故選：C．

【點睛】本題考查解直角三角形，特殊角三角函數(shù)值，添加輔助線，構(gòu)建直角三角形求解線段是解題的關(guān)鍵．7．（本題2分）（2023秋·云南·九年級云南師范大學(xué)實驗中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，矩形的對角線相交于點．若，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得出，推出則有等邊三角形，即，然后運用余切函數(shù)即可解答．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，故D正確．故選：D．【點睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、余切的定義等知識點，求出是解答本題的關(guān)鍵．8．（本題2分）（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）如圖，直線與軸、軸分別交于點B，A，把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到，則的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過點作于點C，交于點D，根據(jù)直線與軸、軸分別交于點B，A，確定，，利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)計算即可．【詳解】過點作于點C，交于點D，∵直線與軸、軸分別交于點B，A，∴，∴，∵繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到，∴，，∴四邊形是矩形，∴，∴，

∴，故的坐標(biāo)為，故選A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，矩形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)，矩形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（本題2分）（2019秋·廣東梅州·九年級廣東梅縣東山中學(xué)校考期末）在中，、都是銳角，且，，則是（

）.A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，即可解答．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴是等邊三角形，故選：B．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．10．（本題2分）（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）中，，是的外接圓，于點，關(guān)于點對稱得到．若線段與有兩個公共點，則滿足的條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形，考慮臨界狀態(tài)，當(dāng)與切于點時，求出，得到．此時，線段與有且只有一個公共點；再找到第二個臨界狀態(tài)，當(dāng)點E與點C重合，線段與有兩個公共點，求得，再觀察圖形運動則問題可解．【詳解】解：如圖，當(dāng)與切于點時，此時線段與有且只有一個公共點，

連接，，∴∵是的外接圓，于點，∴為直徑，，∴，∵關(guān)于點對稱得到，∴，∴，∴；當(dāng)從點在中點時，由題意可知，，為等腰直角三角形，∴，∴；此時，點E與點C重合，線段與有兩個公共點，此時當(dāng)點繼續(xù)逆時針向點運動時（不與重合），線段與有且只有一個公共點，

綜上，線段與有兩個公共點時，滿足的條件是．故選：C．【點睛】本題考查了三角形的外接圓、切線的性質(zhì)圓周角定理和求特殊角三角函數(shù)值，解答關(guān)鍵是分析圖中點的運動趨勢，找到臨界狀態(tài)，再進行合情推理．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（本題2分）（2023春·湖北隨州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，與圓相切于點，線段與弦垂直，垂足為點，，則．

【答案】/60度【分析】先根據(jù)垂徑定理得到，再根據(jù)正弦的定義可求出，然后根據(jù)切線的性質(zhì)得到，最后利用互余可計算出的度數(shù)．【詳解】解：，∴，．在中，，．與圓相切于點，，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．熟練掌握圓的相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．12．（本題2分）（2023春·遼寧鐵嶺·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，一塊含有的直角三角板的直角頂點和坐標(biāo)原點O重合，角的頂點A在反比例函數(shù)的圖象上，頂點B在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為．

【答案】【分析】過作于點，過作于點，即可得證，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到和利用特殊角的正切值得出，然后設(shè)點的坐標(biāo)為，繼而根據(jù)反比例函數(shù)圖像上點的特征得到，再次利用反比例函數(shù)圖像上點的特征即可求得答案．【詳解】解：過作于點，過作于點，如圖：

∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴設(shè)點的坐標(biāo)為，則，∴，，∴，∵在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴．故答案是：【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定和性質(zhì)、特殊的銳角三角函數(shù)值，能夠求得是解題的關(guān)鍵．13．（本題2分）（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，，直線分別交于M，N兩點，將一個含有角的直角三角尺按如圖所示的方式擺放，若，則的余弦值為．

【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和特殊角的銳角三角函數(shù)求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和特殊角的銳角三角函數(shù)，靈活運用所學(xué)知識是關(guān)鍵．14．（本題2分）（2022秋·浙江溫州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖1，玉帶橋拱高而薄，形若玉帶，弧形的線條十分流暢．如圖2，橋拱關(guān)于水面反射的影子經(jīng)過孤所在的圓心O，已知水面寬米，則水面與該橋拱的最高點P之間的距離是米，在離水面相同高度的C，D處安裝兩盛景觀燈，若點C是的中點，則點C離水面的距離是米．

【答案】【分析】連接，，，，交于點，交于點．由題意證明是等邊三角形，再利用勾股定理求出的值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)求出的值，由即可求出答案．【詳解】如圖所示：

連接，，，，交于點，交于點由題可知關(guān)于水面AB反射的影子經(jīng)過孤所在的圓心O，為等邊三角形在中，，C是的中點在中，綜上所述，水面到最高點P之間的距離是米．C離水面AB的距離是米．【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)等知識點，運用到了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維，解題的關(guān)鍵在于學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造特殊三角形．15．（本題2分）（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點是直線上的一點，連接、．當(dāng)在一定范圍內(nèi)取值時，直線上總存在點，使得，則此時的取值范圍為．【答案】且【分析】先確定點，點的位置，并連接，過點作軸于，交軸于，作關(guān)于的對稱點，連接，過點作交軸于，過點作交軸于，解出所在直線的解析式，再證明，由此解出直線，直線的解析式，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出點，點，連接，作圖如下，過點作軸于，交軸于，作關(guān)于的對稱點，連接，過點作交軸于，過點作交軸于，則，直線和直線是符合條件的直線，理由如下，

設(shè)過點，點的直線方程為，∴，解得，，∴所在直線的解析式為，∵，∴直線，直線是符合條件的直線，∵，，軸，∴，∴，在中，，且，∴，則，∵，∴，且，∴，∴，把代入得，，∵點與點關(guān)于對稱，∴，，∵，∴，，∴是等邊三角形，∴，則，∴，把代入得，∵點不能與點重合，∴，∴的取值范圍為且．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖像的性質(zhì)，幾何圖形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，勾股定理等知識是解題的關(guān)鍵．16．（本題2分）（2023·湖北荊州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）計算：．【答案】1【分析】先用負整數(shù)次冪、零次冪、二次根式的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值的知識化簡，然后再計算即可．【詳解】解：．故答案為1．【點睛】本題主要考查了負整數(shù)次冪、零次冪、二次根式的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識點，靈活運用相關(guān)運算法則是解答本題的關(guān)鍵．17．（本題2分）（2023·河南周口·校考一模）如圖，在矩形中，E為射線上一點，將沿翻折，使點B落在點F處，若，則BE＝．【答案】4或12【分析】注意本題應(yīng)分類討論，①當(dāng)點E在上時，連接，作于G，根據(jù)已知條件可求得，可證，從而可知是等邊三角形，可得，即可求解．②當(dāng)點E在的延長線上時，作，交的延長線于G，根據(jù)已知條件可求得，可知，進而可證是等邊三角形，利用三角函數(shù)即可求解．【詳解】如圖1，當(dāng)點E在上時，連接，作于G，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴∴∴，由折疊得，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，如圖2，當(dāng)點E在的延長線上時，作，交的延長線于G，∴，∵∵∴∴，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，故答案為：4或12．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角函數(shù)、三角形全等的判定及性質(zhì)，熟練掌握上述知識點是解答本題的關(guān)鍵．18．（本題2分）（2023·福建福州·?？寄M預(yù)測）如圖，點A是雙曲線在第二象限分支上的一個動點，連接AO并延長交另一個分支于點B，以AB為底作等腰且，點C在第一象限，隨著點A的運動，點C始終在雙曲線上運動，則．【答案】【分析】根據(jù)題意得出，得出，根據(jù)的幾何意義即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，過點作軸于點，過點作軸于點，點C在第一象限，隨著點A的運動，點C始終在雙曲線上運動，連接并延長交另一分支于點，以為底作等腰，且，，，則，，，又，，，，點是雙曲線在第二象限分支上的一個動點，，，即，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點以及相似三角形的判定與性質(zhì)，特殊角的正切值，正確添加輔助線，得出是解題關(guān)鍵．19．（本題2分）（2023·重慶·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，內(nèi)切圓半徑為，將繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)得，連接交于點M，則點M到與點M到的距離之比為_____．【答案】【分析】過點O作交于點N，過點O作交于點H，由題意可得，，，，，即，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到是等邊三角形，最后由特殊角的銳角三角函數(shù)值，可得比值為．【詳解】解：如圖，過點O作交于點N，過點O作交于點H，在中，，內(nèi)切圓半徑為，，，，，，，，，，，，，，，，點O為內(nèi)切圓圓心，，．繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)得，是等邊三角形，，，，點M到的距離為：，點M到的距離為：，點M到與點M到的距離之比為：，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓的定義與性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練運用相關(guān)幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（本題2分）（2023·河南商丘·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，，E為的中點，P為線段上的一個動點，連接，將沿折疊得到，A的對應(yīng)點為，連接，若與的直角邊垂直，則的值為．【答案】或【分析】分兩種情形，運用勾股定理計算即可．【詳解】解：∵，，，∴，，∵E為的中點，∴，當(dāng)時，如圖．∴，，由翻折可得，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，解得（舍去），∴，∴，∴，當(dāng)時，如圖．∵，，，∴，，，，∵E為的中點，∴，∴，，由翻折性質(zhì)可得，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，解得（舍去），∴，∵，∴，∴，解得，∴，

∴，∴的值為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，特殊角的函數(shù)值，三角形中位線定理，平行線方程的成比例定理，熟練掌握折疊性質(zhì)，特殊角的函數(shù)值，勾股定理是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（本題6分）（2023春·湖南岳陽·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）計算：．【答案】．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的化簡，非實數(shù)的次冪及絕對值的性質(zhì)計算．【詳解】解：原式；

=．【點睛】此題考查了實數(shù)運算，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角三角函數(shù)值，正確化簡各數(shù)是解題的關(guān)鍵．22．（本題6分）（2023春·四川內(nèi)江·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）計算：．【答案】【分析】利用負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的化簡，絕對值的化簡計算即可．【詳解】．【點睛】本題考查了負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的化簡，絕對值的化簡，熟練掌握公式和特殊角的函數(shù)值是計算的關(guān)鍵．23．（本題8分）（2023春·江蘇泰州·九年級?？茧A段練習(xí)）計算：(1)；(2)先化簡，再求值：，其中．【答案】(1)(2)，【分析】（1）先根據(jù)零指數(shù)冪運算法則、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值得性質(zhì)以及負整數(shù)指數(shù)冪運算法則進行計算，再進行加減運算即可；（2）先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把代入進行計算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式，當(dāng)時，原式．【點睛】本題主要考查了實數(shù)混合運算、分式化簡求值等知識，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．24．（本題8分）（2023·山東·九年級專題練習(xí)）如圖，已知是的直徑，，切于點B，過點C作交于點F，．

(1)如圖1，連接，求證：；(2)如圖2，N是上一點，在上取一點M，使，連接．請問：三條線段，，有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見詳解(2)，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)，是半徑，可得是的切線，根據(jù)是的切線，由切線長定理可得，進而根據(jù)，得出，，根據(jù)得出，根據(jù)垂徑定理的推論得出，進而得出，根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)，得出，即可證明；（2）延長至H使得，連接，，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補得出，證明，結(jié)合已知條件證明，得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，是半徑，∴是的切線，∵是的切線，∴，∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∵是直徑，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）解：，理由如下：延長至H使得，連接，，如圖2所示，

∵，，∴，∵，，∴，∴，，由（1）可得，∵是直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題屬于圓的綜合題，考查了切線的判定，切線長定理，垂徑定理的推論，全等三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．25．（本題8分）（2023·山西晉中·校聯(lián)考模擬預(yù)測）計算：(1)計算：(2)先化簡，，然后選取一個適當(dāng)?shù)摹⒛阆矚g的整數(shù)代入求值．【答案】(1)(2)，當(dāng)時，原式【分析】（1）先將負整數(shù)冪，0次冪，特殊角度的銳角三角函數(shù)化簡，再進行計算即可；（2）先將分子分母因式分解，除法改寫為乘法，括號里面通分計算，再根據(jù)分式混合運算的運算法則和運算順序進行化簡，最后根據(jù)分式有意義的條件，選擇符合條件的a的值代入計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：，∵∴，當(dāng)時，原式．【點睛】本題主要考查了特殊角度的三角函數(shù)值的混合運算，分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)運算順序和運算法則，以及熟記各個特殊角度的三角函數(shù)值．26．（本題8分）（2023·全國·九年級專題練習(xí)）在中，，，點D為線段AB上一動點，連接．

(1)如圖1，若，，求線段的長；(2)如圖2，以為邊在上方作等邊，點F是的中點，連接并延長，交的延長線于點G．若，求證：；(3)在取得最小值的條件下，以為邊在右側(cè)作等邊．點M為所在直線上一點，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．連接，點P為的中點，連接，當(dāng)取最大值時，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，請直接寫出此時的值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）在中，由，，可得，，即得；（2）取的中點O，連接，證明為等邊三角形，得，，可得，有，故，在上截取，連接，可證，得，，有，，可得，知，，從而，；（3）取的中點S，連接，在取得最小值時，，設(shè)，則，，用面積法得,，證明,知，根據(jù)將沿BM所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，有，故N的運動軌跡是以B為圓心，a為半徑的圓，又，故P的運動軌跡是以S為圓心，為半徑的圓，當(dāng)最大時，C，P，S三點共線，過P作于T，過N作于R，可得是等邊三角形，，，而，可求得，，，連接交于W，根據(jù)將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，知，故即，是的中位線，同理可得是的中位線，即可得，，根據(jù)將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，得，，有，即得，從而，．【詳解】（1）解：在中，，，，，，，在中，，，，，，；（2）證明：取的中點O，連接，如圖：

在中，點O為斜邊的中點，，，為等邊三角形，，，，為等邊三角形，，，，即，，在和中，，，，，，在上截取，連接，點F是的中點，．在和中，，，，，，，，又，，，，；（3）解：取的中點S，連接，如圖：

在取得最小值時，，設(shè)，則，，，，，是等邊三角形，，，，，，，∵將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，，N的運動軌跡是以B為圓心，a為半徑的圓，點P為的中點，S為的中點，，∴P的運動軌跡是以S為圓心，為半徑的圓，當(dāng)最大時，C，P，S三點共線，過P作于T，過N作于R，如圖：

S是中點，，，是等邊三角形，，，，，，，，連接交于W，如圖：

將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，，，，即，為中點，是的中位線，，同理可得是的中位線，，，，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，，，，，，，．【點睛】本題考查三角形綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，對稱變換，最短路徑等知識，綜合性較強，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形和全等三角形解決問題．27．（本