2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2講參數(shù)方程講末復(fù)習(xí)與小結(jié)課后提能訓(xùn)練含解析新人教A版選修4-4

PAGE其次講講末復(fù)習(xí)與小結(jié)四、素養(yǎng)訓(xùn)練A．基礎(chǔ)鞏固1．(2024年邯鄲校級期末)參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))和極坐標(biāo)方程ρ＝－6cosθ所表示的圖形分別是()A．圓和直線 B．直線和直線C．橢圓和直線 D．橢圓和圓【答案】D【解析】極坐標(biāo)ρ＝－6cosθ，兩邊同乘以ρ，得ρ2＝－6ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝－6x，即(x＋3)2＋y2＝9，表示以C(－3,0)為圓心，半徑為3的圓．參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，利用同角三角函數(shù)關(guān)系消去θ，化為一般方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1，表示橢圓．故選D．2.(2024年虎林校級月考)直線y＝x＋b與曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)cosθ，,y＝\f(3,2)sinθ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ為參數(shù)且－\f(π,2)≤θ≤\f(π,2)))有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(2),2)，\f(3\r(2),2))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(2),2)，－\f(3,2)))C．(－eq\r(2)，eq\r(2)) D．(－eq\r(2)，－1]【答案】B【解析】曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)cosθ，,y＝\f(3,2)sinθ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ為參數(shù)，且－\f(π,2)≤θ≤\f(π,2)))，化為x2＋y2＝eq\f(9,4)(x≥0)，表示以原點(diǎn)為圓心，eq\f(3,2)為半徑的右半圓．直線y＝x＋b與eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)cosθ，,y＝\f(3,2)sinθ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ為參數(shù)，且－\f(π,2)≤θ≤\f(π,2)))有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，過eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(3,2)))時(shí)，b＝－eq\f(3,2)；直線與半圓相切時(shí)，b＝－eq\f(3\r(2),2)，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(2),2)，－\f(3,2))).故選B．3．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)A，B點(diǎn)分別在曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ，,y＝4＋sinθ))(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ＝1上，則|AB|的最小值為()A．1 B．2C．3 D．5【答案】C【解析】由C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ，,y＝4＋sinθ))得曲線C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，圓心為C1(3,4)，半徑為r1＝1；由C2：ρ＝1，得曲線C2：x2＋y2＝1，圓心為C2(0,0)，半徑為r2＝1；所以兩圓心距為|C1C2|＝eq\r(32＋42)＝5.因?yàn)辄c(diǎn)A，B分別在曲線C1和曲線C2上，所以|AB|min＝|C1C2|－r1－r24．已知拋物線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8t2，,y＝8t))(t為參數(shù))．若斜率為1的直線經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)且與圓(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，則r＝______.【答案】eq\r(2)【解析】拋物線C的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8t2，,y＝8t))化為一般方程y2＝8x，焦點(diǎn)為F(2,0)．所以斜率為1且經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)的直線方程為y－0＝x－2，即x－y－2＝0.又直線與圓(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，所以圓心到直線的距離d＝eq\f(|4－2|,\r(2))＝eq\r(2)＝r，即r＝eq\r(2).5．已知兩曲線參數(shù)方程分別為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ，,y＝sinθ))(0≤θ<π)和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,4)t2，,y＝t))(t∈R)，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為____________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(5),5)))【解析】由兩曲線參數(shù)方程消去x，y，t得eq\r(5)cosθ＝eq\f(5,4)sin2θ?eq\r(5)cosθ＝eq\f(5,4)(1－cos2θ)?5cos2θ＋4eq\r(5)cosθ－5＝0?(eq\r(5)cosθ＋5)(eq\r(5)cosθ－1)＝0.∵－1≤cosθ<1，∴cosθ＝eq\f(\r(5),5).∴sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(2\r(5),5).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\f(2\r(5),5).))故交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(5),5))).6．(2024年上海二模)直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t－1，,y＝2－t))(t為參數(shù))與曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是________．【答案】2【解析】直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t－1，,y＝2－t))(t為參數(shù))與曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))，化為一般方程分別為x＋y－1＝0，eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，聯(lián)立可得13x2－18x－27＝0，Δ＝(－18)2－4×13×(－27)＞0，∴交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.7．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝2＋2sinα))(α為參數(shù))，M為C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿意eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，點(diǎn)P的軌跡為曲線C2.求C2的方程．【解析】方法一：因?yàn)镸為C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝2＋2sinα))上的動(dòng)點(diǎn)，所以可設(shè)M的坐標(biāo)為M(2cosα，2＋2sinα)．設(shè)P(x，y)，則由eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，得(x，y)＝2(2cosα，2＋2sinα)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosα，,y＝4＋4sinα，))從而C2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosα，,y＝4＋4sinα))(α為參數(shù))．方法二：將曲線C1的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝2＋2sinα))化為一般方程，得x2＋(y－2)2＝4，設(shè)P(x，y)，M(x1，y1)，則由eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，得(x，y)＝2(x1，y1)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2x1，,y＝2y1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(1,2)x，,y1＝\f(1,2)y.))①因?yàn)镸為C1上的動(dòng)點(diǎn)，所以xeq\o\al(2,1)＋(y1－2)2＝4.②將①式代入②式，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)y－2))2＝4，即x2＋(y－4)2＝16，這就是所求曲線的軌跡方程．B．實(shí)力提升8.(2024年成都模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρcos2θ－4sinθ＝0.(1)寫出直線l的一般方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點(diǎn)P(1,0)，若點(diǎn)M的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))，直線l經(jīng)過點(diǎn)M且與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q，求|PQ|的值.【解析】(1)∵直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，∴直線l的一般方程為y＝tanα·(x－1).由ρcos2θ－4sinθ＝0，得ρ2cos2θ－4ρsinθ＝0，即x2－4y＝0.∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＝4y.(2)∵點(diǎn)M的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))，∴點(diǎn)