第13講解析幾何解答壓軸題(原卷版+解析)

第13講解析幾何解答壓軸題1．（2021·內(nèi)蒙古赤峰市·高三月考（文））已知橢圓的離心率，其左，右集點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)?的周長為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）過右焦點(diǎn)的直線互相垂直，且分別交橢圓于和四點(diǎn)，求的最小值2．（2021·河南新鄉(xiāng)市·高三二模（理））已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，為上不同于，的動(dòng)點(diǎn)，直線，的斜率，滿足，的最小值為-4．（1）求的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的兩條直線，滿足，，且，分別交于，和，．試判斷四邊形的面積是否為定值?若是，求出該定值；若不是，說明理由．3．（2021·天津?yàn)I海新區(qū)·高三月考）已知橢圓過點(diǎn)，、分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且．（1）求橢圓C的方程；（2）過P點(diǎn)的直線與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線平行于OP（O為原點(diǎn)），且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)M（M介于A、B兩點(diǎn)之間）．（i）當(dāng)面積最大時(shí)，求的方程；（ii）求證：．4．（2021·山東泰安市·高三月考）已知橢圓過點(diǎn)，分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)且．（1）求橢圓C的方程；（2）過P點(diǎn)的直線與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線平行于OP（O為原點(diǎn)），且與橢圓C交于兩點(diǎn)A、B，與直線交于點(diǎn)M（M介于A、B兩點(diǎn)之間）．（i）當(dāng)面積最大時(shí)，求的方程；（ii）求證：，并判斷，的斜率是否可以按某種順序構(gòu)成等比數(shù)列．5．（2021·浙江紹興市·高三一模）已知拋物線和橢圓如圖，經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)F的直線l分別交拋物線和橢圓于A，B，C，D四點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)A，B處的切線交于點(diǎn)P．（1）求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；（2）設(shè)M為線段的中點(diǎn)，交于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)T．記的面積分別為．（i）求證：Q為線段的中點(diǎn)；（ii）若，求直線l的方程．6．（2021·江蘇鹽城市·高三二模）已知直線交拋物線于兩點(diǎn)．（1）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為．若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若點(diǎn)在拋物線上，且關(guān)于直線對稱，求證：四點(diǎn)共圓．7．（2021·內(nèi)蒙古赤峰市·高三月考（理））已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓右焦點(diǎn)的直線相互垂直，且分別交橢圓于和四點(diǎn)，求的最小值．8．（2021·全國大聯(lián)考（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與交于兩點(diǎn)，(點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為2．（1）求拋物線的方程；（2）若過點(diǎn)的兩直線，的傾斜角互補(bǔ)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與的面積相等，求實(shí)數(shù)的取值范圍．9．（2021·江西八校4月聯(lián)考（理））已知橢圓：．左焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓外部，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，且的周長最大值為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)?為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，為左頂點(diǎn)，若直線?分別與軸交于?兩點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓是否過定點(diǎn)．如果是請求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不過定點(diǎn)，請說明理由．10．（2021·天津南開區(qū)·高三一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，延長線段交橢圓于點(diǎn)，軸．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．11．（2021·四川成都市·高三二模（文））已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，其長半軸長為2．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線與軸相交于點(diǎn)，求與的面積分別為，，求的最大值．12．（2021·浙江溫州市·高三二模）如圖，過點(diǎn)和點(diǎn)的兩條平行線和分別交拋物線于和（其中在軸的上方），交軸于點(diǎn)．（1）求證：點(diǎn)、點(diǎn)的縱坐標(biāo)乘積為定值；（2）分別記和的面積為和，當(dāng)時(shí)，求直線的方程．13．（2021·四川成都市·高三二模（理））已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，其長半軸長為2．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線與軸相交于點(diǎn)，求△的面積的取值范圍．14．（2021·四省名校聯(lián)考（文））已知是橢圓的左焦點(diǎn)，焦距為，且過點(diǎn)．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，若與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，記的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，試判斷直線是否過定點(diǎn)，若過點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．15．（2021·遼寧鐵嶺市·高三一模）已知橢圓方程，直線與軸相交于點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．（1）若過點(diǎn)的直線與垂直，且與直線交于點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，求證：．（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與直線交于點(diǎn)，試問是否垂直，若是，寫出證明過程，若不是，請說明理由．16．（2021·廣東汕頭市·高三一模）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，已知平行四邊形兩條對角線的長度之和等于．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2過作互相垂直的兩條直線、，與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于、，與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)、，、的中點(diǎn)分別為、；①證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．②求四邊形面積的最小值．17．（2021·聊城市·山東聊城一中高三一模）已知橢圓過點(diǎn)，離心率為，拋物線的準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作直線交橢圓C于M，N．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）若M是線段AN的中點(diǎn)，求直線的方程；（3）設(shè)P，Q是直線l上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，問：直線PM于QN的交點(diǎn)是否在一條定直線上？請說明你的理由．18．（2021·浙江寧波市·高三月考）如圖，過橢圓的左右焦點(diǎn)分別做直線，交橢圓于四點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為

（1）求（用k表示）；（2）若直線的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍．19．（2021·湖北八市三月聯(lián)考）已知橢圓的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，離心率為，過橢圓的左焦點(diǎn)作不與軸重合的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，為垂足．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①已知直線過定點(diǎn)，求定點(diǎn)的坐標(biāo)；②點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值．20．（2021·河南新鄉(xiāng)市·高三一模（理））已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，直線，分別交軸于點(diǎn)，．試問在軸上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．21．（2021·山西晉中市·高三二模（理））設(shè)橢圓，O為原點(diǎn)，點(diǎn)是x軸上一定點(diǎn)，已知橢圓的長軸長等于，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)M，N，已知M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為，N關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為，若滿足，求證：直線l經(jīng)過定點(diǎn)．22．（2021·遼寧高三一模（理））過點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別過點(diǎn)作拋物線的切線，設(shè)兩切線交于點(diǎn)．（1）求證：點(diǎn)在一定直線上；（2）設(shè)直線分別交直線于點(diǎn)．（i）求證：；（ii）設(shè)的面積為，的面積為，記，求的最小值．23．（2021·內(nèi)蒙古包頭市·高三期末（文））在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)、是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，直線、分別與軸交于，兩點(diǎn)，求的值；（2）設(shè)直線、的斜率分別為，，當(dāng)時(shí)，證明：直線恒過一個(gè)定點(diǎn)．24．（2021·江西上饒模擬（理））在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之和等于直線的斜率．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過作斜率為的直線與軌跡相交于點(diǎn)，點(diǎn)，直線與分別交軌跡于點(diǎn)、，設(shè)直線的斜率為，是否存在常數(shù)，使得，若存在，求出值，若不存在，請說明理由．25．（2021·貴州新高考聯(lián)盟質(zhì)檢（理））已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為焦距為橢圓的右頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)若直線的斜率為，求證：的面積為定值．26．（2021·浙江麗水市·高三月考）已知拋物線，過拋物線上第一象限的點(diǎn)A作拋物線的切線，與x軸交于點(diǎn)M．過M作的垂線，交拋物線于B，C兩點(diǎn)，交于點(diǎn)D．（1）求證：直線過定點(diǎn)；（2）若，求的最小值．27．（2021·江蘇南通市·高三期末）已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）已知，是橢圓上的兩點(diǎn)，且直線，的斜率之積為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接并延長交橢圓于點(diǎn)，求證：為定值．28．（2021·山西運(yùn)城市·高三期末（理））已知A，B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，C為E的上頂點(diǎn)，．（1）求橢圓的方程；（2）若M，N，P是橢圓E上不同的三點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O為的重心，試探究的面積是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說明理由．29．（2021·河南駐馬店市·高三期末（文））已知為拋物線上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，．直線交拋物線于，兩點(diǎn)，射線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)．（1）求拋物線的方程；（2）記和的面積分別為和，當(dāng)時(shí)，求直線的斜率．30．（2021·安徽名校期末聯(lián)考（理））已知D為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作x軸y軸的垂線，垂足分別為，連接延長至點(diǎn)P，使得，點(diǎn)P的軌跡記為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）作圓O的切線交曲線C于兩點(diǎn)，Q為曲線C上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)分別位于直線兩側(cè))，求四邊形的面積的最大值．21/62解析幾何解答壓軸題1．（2021·內(nèi)蒙古赤峰市·高三月考（文））已知橢圓的離心率，其左，右集點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)?的周長為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）過右焦點(diǎn)的直線互相垂直，且分別交橢圓于和四點(diǎn)，求的最小值【答案】（1）；（2）最小值為．【分析】（1）利用橢圓離心率，的周長為，求出，即可得到橢圓的方程．（2）分類討論直線的斜率存在與否，當(dāng)其中一條直線斜率為0．一條直線斜率不存在，可利用橢圓性質(zhì)求出；當(dāng)兩條直線斜率均存在，設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，利用弦長公式求出，再利用二次函數(shù)的值域求法與不等式的性質(zhì)求得結(jié)果．【詳解】（1）由橢圓的定義知，的周長為，由，即，得，故橢圓的方程為：（2）由（1）得，橢圓右焦點(diǎn)為，設(shè)，，，①當(dāng)直線的斜率為0，直線的斜率不存在時(shí)，直線，此時(shí)；直線，此時(shí)；②當(dāng)直線的斜率為0，直線的斜率不存在時(shí)，；③當(dāng)直線，的斜率都存在，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為聯(lián)立，整理得恒成立，則同理可得則令，則當(dāng)時(shí)，，則所以綜上可知，，的最小值為【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．2．（2021·河南新鄉(xiāng)市·高三二模（理））已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，為上不同于，的動(dòng)點(diǎn)，直線，的斜率，滿足，的最小值為-4．（1）求的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的兩條直線，滿足，，且，分別交于，和，．試判斷四邊形的面積是否為定值?若是，求出該定值；若不是，說明理由．【答案】（1）；（2）是定值，．【分析】（1）由，設(shè)，可得，，結(jié)合已知列方程求參數(shù)a、b、c，寫出橢圓方程即可；（2）由橢圓對稱性知：，設(shè)，的斜率分別為，，由題設(shè)知，討論直線的斜率，聯(lián)立直線與橢圓方程，應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系確定是否為定值．【詳解】（1）設(shè)，則，故，∴，又，由題意知：，解得，∴橢圓的方程為．（2）根據(jù)橢圓的對稱性，可知，，∴四邊形為平行四邊形，所以．設(shè)，的斜率分別為，，，，則①，②．又，，即．當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，，．由①②，得，結(jié)合，解得，．∴．當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得，得，則，即，．∵，∴，整理得：．由直線過，，將代入，整理得．綜上，四邊形的面積為定值，且為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）應(yīng)用兩點(diǎn)斜率公式、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求，關(guān)于橢圓參數(shù)的代數(shù)式，結(jié)合已知條件列方程求參數(shù)，寫出橢圓方程；（2）利用橢圓的對稱性，由直線與橢圓的位置關(guān)系，討論直線斜率的存在性，結(jié)合直線與橢圓方程及根與系數(shù)關(guān)系，求四邊形的面積并判斷是否為定值．3．（2021·天津?yàn)I海新區(qū)·高三月考）已知橢圓過點(diǎn)，、分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且．（1）求橢圓C的方程；（2）過P點(diǎn)的直線與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線平行于OP（O為原點(diǎn)），且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)M（M介于A、B兩點(diǎn)之間）．（i）當(dāng)面積最大時(shí)，求的方程；（ii）求證：．【答案】（1）；（2）（i）；（ii）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)條件求出，即可寫出橢圓方程；（2）（i）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，表示出，可求出最大時(shí)的值，即可得出的方程；（ii）要證明結(jié)論，只需證明，即證直線為的平分線，轉(zhuǎn)化成證明：．【詳解】（1）設(shè)，，則，，，，又在橢圓上，故，又，解得，，故所求橢圓的方程為．（2）（i）由于，設(shè)的方程為，，，由，消去整理得，由韋達(dá)定理可得：，則，又點(diǎn)到的距離，所以．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．又介于、兩點(diǎn)之間，故．故直線的方程為：．（ii）要證結(jié)論成立，只須證明，由角平分線性質(zhì)即證：直線為的平分線，轉(zhuǎn)化成證明：．由于因此結(jié)論成立．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查弦長公式，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查橢圓中三角形面積利用基本不等式求最值問題，考查了學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬于難題．4．（2021·山東泰安市·高三月考）已知橢圓過點(diǎn)，分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)且．（1）求橢圓C的方程；（2）過P點(diǎn)的直線與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線平行于OP（O為原點(diǎn)），且與橢圓C交于兩點(diǎn)A、B，與直線交于點(diǎn)M（M介于A、B兩點(diǎn)之間）．（i）當(dāng)面積最大時(shí)，求的方程；（ii）求證：，并判斷，的斜率是否可以按某種順序構(gòu)成等比數(shù)列．【答案】（1）；（2）（i）；（ii）證明見解析，不可能構(gòu)成等比數(shù)列．【分析】（1）設(shè)，．求出的坐標(biāo)，根據(jù)，求出．把點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合，求出，即得橢圓C的方程；（2）（i）設(shè)方程為，．把直線的方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理、弦長公式求出．由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)P到的距離，則，根據(jù)基本不等式求面積的最大值，即求的方程；（ii）要證結(jié)論成立，只須證明，即證直線為的平分線，轉(zhuǎn)化成證明．又與C有一個(gè)公共點(diǎn)，即為橢圓的切線，可求，又．由題意，，，四個(gè)數(shù)按某種順序成等比數(shù)列，推出矛盾，故不可能構(gòu)成等比數(shù)列．【詳解】（1）設(shè)，，則，．，．又在橢圓上，故，又，解得，，故所求方程為．（2）（i）由于，設(shè)方程為，．由，消y整理得，，則．又點(diǎn)P到的距離，．當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)，等號(hào)成立．故直線AB的方程為：．（ⅱ）要證結(jié)論成立，只須證明：，由角平分線性質(zhì)即證：直線為的平分線，轉(zhuǎn)化成證明：．因?yàn)橐虼私Y(jié)論成立．又與C有一個(gè)公共點(diǎn)，即為橢圓的切線，由得令，，則，所以，所以，故所研究的4條直線的斜率分別為，，，，若這四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且其公比記為q，則應(yīng)有或，或．因?yàn)椴怀闪ⅲ?，而?dāng)時(shí)，，，此時(shí)直線PB與重合，不合題意，故，，PA，PB的斜率無論怎樣排序都不可能構(gòu)成等比數(shù)列．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程，考查弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式和等比數(shù)列等知識(shí)，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，綜合性強(qiáng)，屬于難題．5．（2021·浙江紹興市·高三一模）已知拋物線和橢圓如圖，經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)F的直線l分別交拋物線和橢圓于A，B，C，D四點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)A，B處的切線交于點(diǎn)P．（1）求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；（2）設(shè)M為線段的中點(diǎn)，交于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)T．記的面積分別為．（i）求證：Q為線段的中點(diǎn)；（ii）若，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）或．【分析】（1）假設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)并得到直線l的方程，同時(shí)得到點(diǎn)A，B處的切線方程，然后得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)直線l與拋物線聯(lián)立方程，使用韋達(dá)定理可知結(jié)果．（2）（i）得到的坐標(biāo)，然后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得結(jié)果；（ii）依據(jù)，得到，然后利用弦長公式計(jì)算，最后根據(jù)等式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)，直線l的方程為．，可知拋物線在點(diǎn)A，B處的切線的斜率分別為拋物線在點(diǎn)A，B處的切線方程分別為，聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為．由，得，所以，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為．（2）（i）證明：由（1）得，因?yàn)?，所以，點(diǎn)Q是線段的中點(diǎn)．（ii）解：因?yàn)镸，Q分別為線段的中點(diǎn)，所以所以，所以，所以．設(shè)點(diǎn)C，D的橫坐標(biāo)分別為，由，得，所以，所以由（1）得．所以，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以，所以，即，?jīng)檢驗(yàn)，符合條件，所以直線l的方程為或．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第（1）問，①假設(shè)直線l的方程并與拋物線方程聯(lián)立，使用韋達(dá)定理；②得到在A，B處切線方程并聯(lián)立得到點(diǎn)P坐標(biāo)；③計(jì)算即可．第（2）問，①得到面積的比值；②利用弦長公式得到；③計(jì)算得到．6．（2021·江蘇鹽城市·高三二模）已知直線交拋物線于兩點(diǎn)．（1）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為．若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若點(diǎn)在拋物線上，且關(guān)于直線對稱，求證：四點(diǎn)共圓．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）設(shè)，直線方程代入拋物線方程后由判別式得的范圍，由韋達(dá)定理得，再由向量的數(shù)乘可得＝0，結(jié)合韋達(dá)定理可得值；（2）設(shè)，由對稱性得，．再由在拋物線上，代入變形得與的關(guān)系，然后計(jì)算，得，同理，得證四點(diǎn)共圓．【詳解】解：由得．設(shè)，則．因?yàn)橹本€與相交，所以得．（1）由，得，所以，解得從而，因?yàn)樗越獾茫?）設(shè)，因?yàn)閮牲c(diǎn)關(guān)于直線對稱，則解得．又于是解得．又點(diǎn)在拋物線上，于是．因?yàn)樗?，于是因此，同理于是點(diǎn)在以為直徑的圓上，即四點(diǎn)共圓．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線相交問題，解題方法是設(shè)而不求的思想方法，如設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理可得，再利用向量的線性運(yùn)算求得關(guān)系，從而可求得值．7．（2021·內(nèi)蒙古赤峰市·高三月考（理））已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓右焦點(diǎn)的直線相互垂直，且分別交橢圓于和四點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)代入方程，由，結(jié)合即可求解．（2）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，分別求出，，可得；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，求出；當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，直線的方程可設(shè)為，可得直線的方程為，分別將直線與橢圓聯(lián)立，利用弦長公式求出，，可得，令，構(gòu)造函數(shù)即可求解．【詳解】解：（1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為由，即再由可得①將點(diǎn)代入橢圓方程，可得②由①②可解得故橢圓的方程為（2）由（2）知，橢圓右焦點(diǎn)為，設(shè)當(dāng)直線的斜率為時(shí)，，直線，可得所以當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的斜率為當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，直線的方程可設(shè)為，則直線的方程為整理得恒成立，則而聯(lián)立直線與橢圓方程可得則令令當(dāng)時(shí)，則所以，綜上，，當(dāng)時(shí)，的最小值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式，解題的關(guān)鍵是利用弦長公式以及韋達(dá)定理得出，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算以及分類討論的思想．8．（2021·全國大聯(lián)考（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與交于兩點(diǎn)，(點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為2．（1）求拋物線的方程；（2）若過點(diǎn)的兩直線，的傾斜角互補(bǔ)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與的面積相等，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由焦點(diǎn)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)的面積為2求解；（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程可得，結(jié)合韋達(dá)定理，利用弦長公式求得，以及焦點(diǎn)到直線的距離，求得，將用替換，得到，由，可得與a的關(guān)系，然后再結(jié)合判別式大于零求解．【詳解】（1）因?yàn)榻裹c(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．所以，故．故拋物線的方程為．（2）由題意可知直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線．點(diǎn)，．聯(lián)立方程可得，消去，可得．則．因?yàn)?，所以，焦點(diǎn)到直線的距離，所以．設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立可得，將用替換，可得由可得，即，兩邊平方并化簡可得，所以，解得．又由且得或，可知，所以，即，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）解決直線與曲線的位置關(guān)系的相關(guān)問題，往往先把直線方程與曲線方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡單．（2）解決直線與曲線的弦長時(shí)，往往設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(k為直線斜率)．注意：利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式大于零．9．（2021·江西八校4月聯(lián)考（理））已知橢圓：．左焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓外部，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，且的周長最大值為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)?為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，為左頂點(diǎn)，若直線?分別與軸交于?兩點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓是否過定點(diǎn)．如果是請求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不過定點(diǎn)，請說明理由．【答案】（1）；（2）是，定點(diǎn)為和．【分析】（1）的三邊有一邊已經(jīng)確定，問題轉(zhuǎn)化為，何時(shí)另外兩邊之和最大，結(jié)合橢圓的定義，以及三角形兩邊之差小于第三邊即可確定思路；（2）分直線斜率存在與不存在分別研究，不存在容易得出定點(diǎn)，存在時(shí)，可以設(shè)出斜率，再聯(lián)立橢圓方程，求出坐標(biāo)，最后求出以為直徑的圓的方程，方程里面含有，再令即可．【詳解】（1）設(shè)右焦點(diǎn)為，則即點(diǎn)為與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，周長最大所以所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由（1）知，設(shè)，則當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為聯(lián)立得令，得同理得設(shè)中點(diǎn)為，則所以以為直徑的圓得方程為即即令，得所以過點(diǎn)和，且為定點(diǎn)．當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，容易知道此時(shí)所以以為直徑的圓是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，顯然也過定點(diǎn)和綜上，此圓過定點(diǎn)和【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于過定點(diǎn)的問題，可以先通過特殊情況得到定點(diǎn)，再去證明一般得情況．10．（2021·天津南開區(qū)·高三一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，延長線段交橢圓于點(diǎn)，軸．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1），（2）【分析】（1）由題意可得為的中點(diǎn)，從而有，則有，得，進(jìn)而可求出橢圓的離心率；（2）由拋物線的定義可得，從而可求得點(diǎn)或，當(dāng)時(shí)，可得直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得，從而把表示出來，列方程得，求出，進(jìn)而可求出橢圓的方程【詳解】解：（1）由題意得在中有，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)榈淖鴺?biāo)為，所以，，令，得，則題意得，所以，得，所以離心率（2）因?yàn)閽佄锞€，所以，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，因?yàn)?，所以，代入中得，，?dāng)時(shí)，，則直線的方程為，因?yàn)?，所以，則橢圓方程為，即，由，得，則，所以，所以，得，當(dāng)時(shí)，同理可得，綜上，，，所以橢圓方程為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查拋物線的定義的應(yīng)用，考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是由已知條件求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出直線BF的方程，再與橢圓方程聯(lián)立方程組，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系，再由列方程求出，從而可求出橢圓方程，考查計(jì)算能力，屬于較難題．11．（2021·四川成都市·高三二模（文））已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，其長半軸長為2．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線與軸相交于點(diǎn)，求與的面積分別為，，求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由長軸長知，結(jié)合橢圓過A點(diǎn)，求a、b，寫出橢圓方程；（Ⅱ）由題意設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理得，，進(jìn)而寫出直線的方程并求坐標(biāo)，而，再通過基本不等式求其最值．【詳解】（Ⅰ）由已知，得．∴橢圓的方程為．∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得．∴橢圓的方程為．（Ⅱ）由題意，知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，，．由，消去，得．∵，∴，．∵為點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，∴．∴直線的方程為，即．令，則．∴．∴．∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（Ⅰ）根據(jù)橢圓過定點(diǎn)及長軸長，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線方程、、，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理求、縱坐標(biāo)數(shù)量關(guān)系：，，應(yīng)用對稱性得坐標(biāo)進(jìn)而求G點(diǎn)，寫關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，應(yīng)用基本不等式求的范圍．12．（2021·浙江溫州市·高三二模）如圖，過點(diǎn)和點(diǎn)的兩條平行線和分別交拋物線于和（其中在軸的上方），交軸于點(diǎn)．（1）求證：點(diǎn)、點(diǎn)的縱坐標(biāo)乘積為定值；（2）分別記和的面積為和，當(dāng)時(shí)，求直線的方程．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）設(shè)直線，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解；（2）聯(lián)立方程組，求得，根據(jù)，化簡整理得，分別聯(lián)立，和，求得的值，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解．【詳解】（1）設(shè)，設(shè)直線，由，可得，所以，所以點(diǎn)、的縱坐標(biāo)乘積為定值．（2）由（1）直線，聯(lián)立方程組，可得，所以，可得，即，因?yàn)榍掖肷鲜?，整理得，又由，?lián)立可得，又因?yàn)?，代入可得，又由，代入可得，即，所以，可得直線的方程為，即．【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線的綜合問題的求解策略：對于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用問題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及弦長公式等進(jìn)行求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力．13．（2021·四川成都市·高三二模（理））已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，其長半軸長為2．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線與軸相交于點(diǎn)，求△的面積的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由長軸長知，結(jié)合橢圓過A點(diǎn)，求a、b，寫出橢圓方程；（Ⅱ）由題意設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理得，，進(jìn)而寫出直線的方程并求坐標(biāo)，而△的面積得到關(guān)于參數(shù)t的函數(shù)，再應(yīng)用換元法、對勾函數(shù)求其范圍．【詳解】（Ⅰ）由已知，即橢圓的方程為．∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得．∴橢圓的方程為．（Ⅱ）由題意，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，，．由，消去，得．∵，∴，．∵為點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，∴．∴直線的方程為，即．令，則．∴．∴△的面積．令，則．∴．∵，∴．∴△的面積的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（Ⅰ）根據(jù)橢圓過定點(diǎn)及長軸長，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線方程、、，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理求、縱坐標(biāo)數(shù)量關(guān)系：，，應(yīng)用對稱性得坐標(biāo)進(jìn)而求G點(diǎn)，寫出△的面積關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，應(yīng)用對勾函數(shù)求面積的范圍．14．（2021·四省名校聯(lián)考（文））已知是橢圓的左焦點(diǎn)，焦距為，且過點(diǎn)．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，若與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，記的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，試判斷直線是否過定點(diǎn)，若過點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．【答案】（1）；（2）過定點(diǎn)，．【分析】（1）由題知，，再結(jié)合，即可求出，進(jìn)而求出橢圓方程；（2）分類討論直線的斜率存在與否，當(dāng)其中一條直線斜率為0，一條直線斜率不存在，可知直線為軸；當(dāng)兩條直線斜率均存在，設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，分別求出點(diǎn)M，N坐標(biāo)，從而求出直線方程，整理直線方程，可得直線過定點(diǎn)．【詳解】（1）由題意可得，解得：或(舍），故橢圓的方程為．（2）由題意知，當(dāng)其中一條的斜率不存在時(shí)，另外一條的斜率為，此時(shí)直線為軸；當(dāng)?shù)男甭识即嬖谇也粸闀r(shí)，設(shè)，設(shè)，聯(lián)立，整理得，則所以的中點(diǎn)同理由，可得的中點(diǎn)則所以直線的方程為化簡得故直線恒過定點(diǎn)．綜上，直線過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查圓錐曲線中定點(diǎn)問題，常用兩種解法：(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)．(2)特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)．15．（2021·遼寧鐵嶺市·高三一模）已知橢圓方程，直線與軸相交于點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．（1）若過點(diǎn)的直線與垂直，且與直線交于點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，求證：．（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與直線交于點(diǎn)，試問是否垂直，若是，寫出證明過程，若不是，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）是垂直；證明見解析．【分析】（1）聯(lián)立直線與橢圓的方程表示出和，以求出點(diǎn)的坐標(biāo)和的斜率，利用點(diǎn)M在直線上，求出OM的斜率，得出相等．（2）首先要考慮在線AB的斜率是否為0，在不為0時(shí)，求出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E和點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相等，從而得出EA．【詳解】（1）由橢圓方程為知，右焦點(diǎn)坐標(biāo)，直線方程為，點(diǎn)坐標(biāo)．由知，直線斜率不為0，故設(shè)直線的方程為，從而，直線的方程為，令得，點(diǎn)坐標(biāo)為，故直線的方程來，聯(lián)立方程組，消去得：，設(shè)，，即，，從而，線段的中點(diǎn)，，綜上可知，．（2）（?。┊?dāng)直線的斜率為0時(shí)，點(diǎn)即為點(diǎn)，從而．（ⅱ）當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，由（1）知，，，所以，則，直線的方程為，又，令，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即．【點(diǎn)睛】（1）利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出直線的斜率，得出相等，特別是D為A、B的中點(diǎn)的利用；（2）注意直線AB的斜率是否為0，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)E和點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相等來解決．16．（2021·廣東汕頭市·高三一模）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，已知平行四邊形兩條對角線的長度之和等于．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2過作互相垂直的兩條直線、，與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于、，與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)、，、的中點(diǎn)分別為、；①證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．②求四邊形面積的最小值．【答案】（1）；（2）①證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為；②．【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)已知條件得出，結(jié)合橢圓的定義可知點(diǎn)的軌跡是橢圓，求出、、的值，結(jié)合橢圓的焦點(diǎn)位置可得出點(diǎn)的軌跡方程，并求出的取值范圍；（2）①分析出直線的斜率存在且不為零，可設(shè)直線的方程為，可得出直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與點(diǎn)的軌跡方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方程，進(jìn)而可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；②求得、，利用基本不等式可求得四邊形面積的最小值．【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，依題意，，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓（左、右頂點(diǎn)除外），則，，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是；（2）①若與軸重合，則直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡沒有交點(diǎn)，不合乎題意；若與軸重合，則直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡沒有交點(diǎn)，不合乎題意；設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，直線、均過橢圓的焦點(diǎn)（橢圓內(nèi)一點(diǎn)），、與橢圓必有交點(diǎn)．設(shè)、，由，由韋達(dá)定理可得，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)，直線的斜率為，直線的方程是，即，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過定點(diǎn)．綜上，直線過定點(diǎn)；②由①可得，，，同理可得，所以，四邊形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)．因此，四邊形的面積的最小值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．17．（2021·聊城市·山東聊城一中高三一模）已知橢圓過點(diǎn)，離心率為，拋物線的準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作直線交橢圓C于M，N．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）若M是線段AN的中點(diǎn)，求直線的方程；（3）設(shè)P，Q是直線l上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，問：直線PM于QN的交點(diǎn)是否在一條定直線上？請說明你的理由．【答案】（1），；（2）；（3）與的交點(diǎn)恒在直線上，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，結(jié)合，求得的值，得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，又由拋物線，求得準(zhǔn)線方程，即可求得的坐標(biāo)；（2）設(shè)，則，聯(lián)立方程組，求得的坐標(biāo)，即可求得直線的方程；（3）設(shè)，得到，聯(lián)立方程組，求得，得到，再由直線和的方程，求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求解．【詳解】（1）由題意，橢圓過點(diǎn)，離心率為，可得且，又由，解得，即橢圓的方程為，又由拋物線，可得準(zhǔn)線方程為，所以．（2）設(shè)，則，聯(lián)立方程組，解得，當(dāng)時(shí)，可得直線；當(dāng)時(shí)，可得直線；所以直線的方程為．（3）設(shè)，可得，設(shè)聯(lián)立方程組，整理得，所以，則，又由直線，，交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以與的交點(diǎn)恒在直線上．【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線的綜合問題的求解策略：對于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用問題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及弦長公式等進(jìn)行求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力．18．（2021·浙江寧波市·高三月考）如圖，過橢圓的左右焦點(diǎn)分別做直線，交橢圓于四點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為

（1）求（用k表示）；（2）若直線的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出、，利用弦長公式即可求解；（2）設(shè)，，直線CD的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式分別求到直線的距離，，利用，再利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）由可得：，，所以，所以，設(shè)，．由已知得：直線的方程為，由得，即，所以，．故．（2）設(shè)，．由已知得，，故直線CD的方程為，即．設(shè)分別為點(diǎn)到直線AB的距離，則．又到直線在異側(cè)，則由得，，即，故．所以，從而，因?yàn)椋环亮?，令，可得，令，因?yàn)?，所以，所以，二次函?shù)對稱軸為，開口向下，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，，因此，．【點(diǎn)睛】解決圓錐曲線中的范圍或最值問題時(shí)，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)出明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：①利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．19．（2021·湖北八市三月聯(lián)考）已知橢圓的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，離心率為，過橢圓的左焦點(diǎn)作不與軸重合的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，為垂足．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①已知直線過定點(diǎn)，求定點(diǎn)的坐標(biāo)；②點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）①直線過定點(diǎn)；②．【分析】（1）根據(jù)離心率、上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程組求得，由此可得橢圓方程；（2）①設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立整理可得韋達(dá)定理的形式，從而得到，代入直線方程后，知時(shí)，，由此可得定點(diǎn)坐標(biāo)；②結(jié)合①中韋達(dá)定理的結(jié)論可求得，由，令，將化為，由函數(shù)單調(diào)性可確定最大值點(diǎn)，由此求得最大值．【詳解】（1）由題意得：，解得：，，．故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①由（1）知：，設(shè)直線方程：，，，，，聯(lián)立方程得：，，，，又，直線方程為：，令，則，直線過定點(diǎn)．②由①中知：，又，所以，令，，則令，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即面積的最大值為．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的三角形面積取值范圍問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線距離表示出所求三角形的面積；④通過換元法將所求三角形面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一變量的函數(shù)的形式，利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)值域，由此可求解出所求的范圍．20．（2021·河南新鄉(xiāng)市·高三一模（理））已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，直線，分別交軸于點(diǎn)，．試問在軸上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn)．【分析】（1）由直譯法列出方程化簡即可；（2）設(shè)出直線方程，以及，，，，，通過代換用表示，化簡得到一個(gè)常數(shù)即可．【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，則，化簡得故動(dòng)點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程組，得，得：或，．設(shè)，定點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為．則令，求出與軸的交點(diǎn)即有：即即當(dāng)直線與軸重合時(shí)，解得所以存在定點(diǎn)，的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題中這一步是為了湊出，然后作整體替換．21．（2021·山西晉中市·高三二模（理））設(shè)橢圓，O為原點(diǎn)，點(diǎn)是x軸上一定點(diǎn)，已知橢圓的長軸長等于，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)M，N，已知M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為，N關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為，若滿足，求證：直線l經(jīng)過定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由，可得三點(diǎn)共線，得到，結(jié)合斜率公式，化簡得到，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得，進(jìn)而求得結(jié)論．【詳解】（1）由題意，橢圓，且長軸長等于，離心率為，可得，解得，所以，所以橢圓C的方程為．（2）設(shè)，則，由，可得三點(diǎn)共線，所以，即，又由，所以，整理得．①由，可得，則，代入①，可得，整理得，所以直線l的方程為，即，即直線l恒過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線的綜合問題的求解策略：對于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用問題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及弦長公式等進(jìn)行求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力．22．（2021·遼寧高三一模（理））過點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別過點(diǎn)作拋物線的切線，設(shè)兩切線交于點(diǎn)．（1）求證：點(diǎn)在一定直線上；（2）設(shè)直線分別交直線于點(diǎn)．（i）求證：；（ii）設(shè)的面積為，的面積為，記，求的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）（i）證明見解析；（ii）．【分析】（1）由題意，設(shè)，，聯(lián)立拋物線方程可得，寫出、處的切線方程，聯(lián)立求的坐標(biāo)，即可證在一定直線上；（2）（i）由（1）可求得、，即可知都平行于y軸即，進(jìn)而有，即且，結(jié)論即得證．（ii）由（i）知，結(jié)合（1）得，利用換元、函數(shù)與方程的思想，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可．【詳解】（1）由題意，設(shè)，代入得：，令，則．拋物線在點(diǎn)處的切線方程為：，即，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為：，即，聯(lián)立得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，即．∴點(diǎn)在定直線上．（2）（i）聯(lián)立與得：，聯(lián)立與得：，由（1）知：，軸，同理軸，，即，，即且，∴得證．（ii）由（1）得：令，則，令，即在上遞增，，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）由直線與拋物線的位置關(guān)系，應(yīng)用韋達(dá)定理，聯(lián)立切點(diǎn)處的切線方程求證其交點(diǎn)在定直線上；（2）（i）求交點(diǎn)坐標(biāo)并確定平行關(guān)系，根據(jù)三角形相似得，即可證結(jié)論；（ii）應(yīng)用換元法，結(jié)合函數(shù)與方程的思想，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性求最值．23．（2021·內(nèi)蒙古包頭市·高三期末（文））在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)、是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，直線、分別與軸交于，兩點(diǎn)，求的值；（2）設(shè)直線、的斜率分別為，，當(dāng)時(shí)，證明：直線恒過一個(gè)定點(diǎn)．【答案】（1）2；（2）證明見解析．【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的坐標(biāo)形式的數(shù)量積公式，并借助點(diǎn)在橢圓上化簡即可；（2）先探求的坐標(biāo)，再從這一特殊情形入手求出定點(diǎn)坐標(biāo)，最后再驗(yàn)證一般情況，很容易求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）由題意，得，設(shè)，則根據(jù)、、三點(diǎn)共線可知，故直線方程為，，，直線方程為，，，，又點(diǎn)在上，即，由此得．（2）由題意知直線、的斜率存在，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，，，由，得，因?yàn)楹褪谴朔匠痰膬蓚€(gè)根，所以，，，所以，同理得因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，此時(shí)與的橫坐標(biāo)相同，所以直線的方程為．所以的橫坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，，的方程為，令，得．所以直線恒過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定點(diǎn)，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)．24．（2021·江西上饒模擬（理））在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之和等于直線的斜率．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過作斜率為的直線與軌跡相交于點(diǎn)，點(diǎn)，直線與分別交軌跡于點(diǎn)、，設(shè)直線的斜率為，是否存在常數(shù)，使得，若存在，求出值，若不存在，請說明理由．【答案】（1）（且）；（2）存在，使得．【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用化簡可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）求得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，求出直線、的方程，分別將這兩條直線與曲線的方程聯(lián)立，求出、，利用斜率公式求出，進(jìn)而可得出的值．【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可得，即，則且．整理可得（且）．因此，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為（且）；（2）設(shè)點(diǎn)，則，解得，則，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)點(diǎn)、，則直線的斜率為，直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，解得，直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，解得，所以，，即，所以，．因此，存在，使得．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于圓錐曲線中探索性問題，求解步驟如下：第一步：假設(shè)結(jié)論存在；第二步：結(jié)合已知條件進(jìn)行推理求解；第三步：若能推出合理結(jié)果，經(jīng)驗(yàn)證成立即可肯定正確；若推出矛盾，即否定假設(shè)；第四步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范．25．（2021·貴州新高考聯(lián)盟質(zhì)檢（理））已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為焦距為橢圓的右頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)若直線的斜率為，求證：的面積為定值．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）由所給條件可得焦距，，可得，即可得解；（2）首先設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得，結(jié)合韋達(dá)定理，根據(jù)，代入化簡即可得到定值．【詳解】（1）因?yàn)榻咕酁?，所以即，又橢圓右頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離到與到直線的距離之比為，所以設(shè)右頂點(diǎn)則，解得，即，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由題意知直線斜率一定存在，設(shè)直線方程為點(diǎn)則面積為聯(lián)立方程得即因?yàn)橹本€的斜率為1，所以即即解得，所以綜上，△OAB面積為定值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）對橢圓基本量的理解記憶；（2）韋達(dá)定理的應(yīng)用，韋達(dá)定理是聯(lián)系各個(gè)變量之間關(guān)系的橋梁，是解決圓錐曲線和直線問題的重要方法；（3）計(jì)算能力和計(jì)算技巧是解決解析幾何問題的關(guān)鍵能力．26．（2021·浙江麗水市·高三月考）已知拋物線，過拋物線上第一象限的點(diǎn)A作拋物線的切線，與x軸交于點(diǎn)M．過M作的垂線，交拋物線于B，C兩點(diǎn)，交于點(diǎn)D．（1）求證：直線過定點(diǎn)；（2）若，求的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，寫出切線方程，表示出直線BC，整理成斜截式，過定點(diǎn)；（2）用坐標(biāo)法把表示出來，得到t的范圍，再把表示成t的函數(shù)，利用函數(shù)求最值．【詳解】（1）解：拋物線切線設(shè)點(diǎn)，則，∴直線的方程為：，即，∴，又，∴，∴直線的方程：經(jīng)過定點(diǎn)．（2）解：由（Ⅰ）直線的方程為：，與拋物線聯(lián)立得，解得，而，即，∴，解得，∵，，所以當(dāng)，即時(shí)，有．【點(diǎn)睛】（1）解析幾何中證明直線過定點(diǎn)，通常有兩類：①直線方程整理為斜截式y(tǒng)=kx+b，過定點(diǎn)(0，b)；②直線方程整理為點(diǎn)斜式y(tǒng)-yo=k(x-x0)，過定點(diǎn)(x0，y0)；（2）坐標(biāo)法是解析幾何的基本方法．27．（2021·江蘇南通市·高三期末）已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）已知，是橢圓上的兩點(diǎn)，且直線，的斜率之積為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接并延長交橢圓于點(diǎn)，求證：為定值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，由求解．（2）設(shè)，根據(jù)為線段的中點(diǎn)和B，M，N三點(diǎn)共線，由，表示點(diǎn)N的坐標(biāo)