實際問題與一元二次方程（幾何問題和數(shù)字問題）（教學(xué)設(shè)計）-九年級數(shù)學(xué)上冊同步備課系列

21.3實際問題與一元二次方程教學(xué)設(shè)計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》九年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第二十一章“一元二次方程”21.3實際問題與一元二次方程第2課時，內(nèi)容包括：利用一元二次方程解決幾何問題和數(shù)字問題。2.內(nèi)容解析本節(jié)課學(xué)習(xí)如何利用一元二次方程解決幾何問題和數(shù)字問題。想要解決幾何問題，就要根據(jù)圖形的性質(zhì)構(gòu)建一元二次方程，從而將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再次體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想，在此過程中培養(yǎng)學(xué)生分析問題和運(yùn)用一元二次方程解決實際問題的能力。數(shù)字問題大致可分為三類，即一般數(shù)目關(guān)系問題，連續(xù)數(shù)問題、數(shù)字排列問題。解答這類題的關(guān)鍵是：掌握其基本的數(shù)量關(guān)系和連續(xù)數(shù)及一般數(shù)的表示方法。利用一元二方程解數(shù)字問題，關(guān)鍵是找到其基本的數(shù)量關(guān)系，以及數(shù)字之間的規(guī)律，然后利用其基本的數(shù)量關(guān)系和連續(xù)數(shù)及一般數(shù)的表示方法來進(jìn)行求解?；谝陨戏治?，確定本節(jié)課的教學(xué)重點為：找出實際問題中的等量關(guān)系，正確列出一元二次方程。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)1）根據(jù)實際問題中的數(shù)量關(guān)系，正確列出一元二次方程。2）通過列方程解應(yīng)用題體會一元二次方程在實際生活中的應(yīng)用，經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。2.目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)1)的標(biāo)志是：通過審題，根據(jù)“幾何問題”中圖形的性質(zhì)構(gòu)建一元二次方程，根據(jù)“數(shù)字問題”中基本的數(shù)量關(guān)系構(gòu)建一元二次方程。找等量關(guān)系，正確列出方程并求解，從而解決實際問題。達(dá)成目標(biāo)2）的標(biāo)志是：對用方程解決實際問題的步驟（審、設(shè)、列、解、驗、答）進(jìn)行回顧、總結(jié)和深化，體會一元二次方程是解決實際問題的一種數(shù)學(xué)模型。三、教學(xué)問題診斷分析九年級學(xué)生已具備一定的建模思想，也接觸了一些實際問題，了解將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的一般步驟，積累了一定的解題經(jīng)驗和方法。學(xué)生解決“幾何問題”的困難是：根據(jù)圖形的性質(zhì)構(gòu)建一元二次方程。學(xué)生解決“數(shù)字問題”的困難是：讀懂圖意，找到其基本的數(shù)量關(guān)系?；谝陨戏治?，確定本節(jié)課的教學(xué)難點為：發(fā)現(xiàn)實際問題的等量關(guān)系。四、教學(xué)過程設(shè)計（一）復(fù)習(xí)舊知，引入新課【提問】回顧列方程解決實際問題的基本步驟?師生活動：教師提問，學(xué)生回答?！咎釂枴坑嬎阆铝袌D形面積?師生活動：教師提問，學(xué)生回答?！驹O(shè)計意圖】先回顧常見圖形的面積計算公式及列方程解決實際問題的相關(guān)知識，為本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)利用一元二次方程解決幾何問題和數(shù)字問題做好鋪墊。（二）探究新知【問題】要設(shè)計一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度？師生活動：學(xué)生獨立思考，嘗試給出答案。教師在學(xué)生活動過程中可提出如下提示性問題：【提問1】本題要解決什么問題？（幾何問題）【提問2】上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是多少？如何表示？（封面的長寬之比是9∶7，中央的矩形的長寬之比也應(yīng)是9∶7。設(shè)中央的矩形的長和寬分別是9acm和7acm，由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是：12(27-9a):12【設(shè)計意圖】將學(xué)生放置在實際問題的背景下，針對具體情景分析其中的數(shù)量關(guān)系。學(xué)生理解的難點就是探究上、下邊襯與左、右邊襯的寬度比。因此在此設(shè)問，以幫助學(xué)生理解?！咎釂?】本題中的等量關(guān)系是什么？你能解決這個問題嗎?師生活動：學(xué)生獨立思考，給出答案。等量關(guān)系:中央矩形的長×設(shè)上、下邊襯的寬均為9ycm，左、右邊襯的寬均為7ycm，由題意得(27-18y)(21-14y)=34×解方程得y1=6+33所以9y=1.8cm，7y=1.4cm答：上、下邊襯的寬度為1.8cm，左、右邊襯的寬度為1.4cm【設(shè)計意圖】通過找等量關(guān)系，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的解題過程，提高分析問題和解決問題的能力?！締栴}】如果換一種設(shè)未知數(shù)的方法，是否可以更簡單地解決上面問題？請你試一試。師生活動：學(xué)生獨立思考，嘗試給出答案。教師在學(xué)生活動過程中可提出如下提示性問題：【提問4】中央矩形的長與寬還可以怎么表示？你能解決這個問題嗎?師生活動：學(xué)生獨立思考，給出答案。設(shè)正中央的矩形長和寬分別為9xcm，7xcm由題意得9x×7x=34則x1=33故上、下邊襯的寬度為27?9x2左、右邊襯的寬度為21?7x2答：上、下邊襯的寬度為1.8cm，左、右邊襯的寬度為1.4cm【設(shè)計意圖】通過不同的列式情況，提高學(xué)生分析和解決問題的能力?！締栴}】如圖,在一塊長為92m,寬為60m的矩形耕地上挖三條水渠,水渠的寬都相等,水渠把耕地分成面積均為885m2的6塊小矩形，水渠應(yīng)挖多寬？【提問1】你能用幾種方法表示水渠的面積？1.設(shè)水渠寬為xm，將所有耕地的面積拼在一起，變成一個新的矩形，它的長為(92–2x)m,寬(60-x)m.新矩形的面積為5310m2。（利用“圖形經(jīng)過移動，它的面積大小不會改變”的道理）2.設(shè)水渠寬為xm，水渠的總面積為92x+2×60x-2x2，耕地總面積-水渠面積=5310m2?！咎釂?】你能解決這個問題嗎?解法1：設(shè)水渠的寬應(yīng)挖xm.(92-2x)（60-x）=6×885解得x1=105(舍去），x2=1答：水渠應(yīng)挖1米寬解法2：設(shè)水渠的寬應(yīng)挖xm.92×60-92x-2×60x+2x2=6×885解得x1=105(舍去），x2=1答：水渠應(yīng)挖1米寬【設(shè)計意圖】通過不同的列式情況，提高學(xué)生分析和解決問題的能力。（三）典例分析例1等腰梯形的面積為160cm2，上底比高多4cm，下底比上底多16cm，求這個梯形的高。解：設(shè)這個梯形的高為xcm，則上底為(x+4)cm，下底為(x+20)cm.根據(jù)題意得12整理，得x2+12x-160=0解得x1=8,x2=－20(不合題意，舍去)答：這個梯形的高為8cm.師生活動：請學(xué)生板演，然后師生共同糾錯，使學(xué)生明確自己的錯誤與薄弱環(huán)節(jié)，在后續(xù)的解題過程中做到有的放矢，對癥下藥。[針對訓(xùn)練]1.如圖，準(zhǔn)備在一塊長為30米，寬為24米的長方形花圃內(nèi)修建四條寬度相等，且與各邊垂直的小路，四條小路圍成的中間部分恰好是一個正方形，且邊長是小路寬度的4倍，若四條小路所占面積為80平方米，則小路的寬度為_____米．答案：設(shè)小路的寬度為x，由題意得x30+4x+x24+4x=80，由2.如圖，某農(nóng)戶準(zhǔn)備建一個長方形養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一邊靠墻，若墻長為18m，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長35m，圍成長方形的養(yǎng)雞場四周不能有空隙．（1）要圍成養(yǎng)雞場的面積為150m2，則養(yǎng)雞場的長和寬各為多少？（2）圍成養(yǎng)雞場的面積能否達(dá)到200m2？請說明理由．【詳解】解：1）設(shè)養(yǎng)雞場的寬為xm，根據(jù)題意得：x（35﹣2x）＝150，解得：x1＝10，x2＝7.5，當(dāng)x1＝10時，35﹣2x＝15＜18，當(dāng)x2＝7.5時35﹣2x＝20＞18，（舍去），則養(yǎng)雞場的寬是10m，長為15m．2）設(shè)養(yǎng)雞場的寬為xm，根據(jù)題意得：x（35﹣2x）＝200，整理得：2x2﹣35x+200＝0，△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，因為方程沒有實數(shù)根，所以圍成養(yǎng)雞場的面積不能達(dá)到200m2?！驹O(shè)計意圖】檢測“幾何問題”的掌握情況。（四）歸納小結(jié)【設(shè)計意圖】通過歸納，明確“幾何問題”的常見思路和類型，以及解決此類問題的一般過程和方法。（五）探究講解【問題】通過列方程式，算出周瑜去世時的年齡。師生活動：學(xué)生獨立思考，嘗試給出答案。教師在學(xué)生活動過程中可提出如下提示性問題：【提問】你能將題干內(nèi)容轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言嗎？周瑜三十歲當(dāng)東吳都督，去世時的年齡是兩位數(shù)（不小于30歲），十位數(shù)字比個位數(shù)字小三，個位數(shù)字的平方等于他去世時的年齡?！咎釂?】本題中的等量關(guān)系是什么？你能解決這個問題嗎?等量關(guān)系：周瑜去世時的年齡=年齡個位數(shù)字的平方?！驹斀狻拷猓涸O(shè)周瑜去世時的年齡的個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x?3，依題意得：10x?3解得x1=5，當(dāng)x=5時，25<30，（不合題意，舍去），當(dāng)x=6時，36>30（符合題意），答：周瑜去世時的年齡為36歲?！驹O(shè)計意圖】通過找等量關(guān)系，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的解題過程，提高分析問題和解決問題的能力。【問題】一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字的和為9，并且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和為45，求這個兩位數(shù).師生活動：學(xué)生獨立思考，嘗試給出答案?！驹斀狻吭O(shè)個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為9?x.得x1=3∴這個兩位數(shù)為36或63.【設(shè)計意圖】通過找等量關(guān)系，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的解題過程，提高分析問題和解決問題的能力。（六）典例分析典例2一個兩位數(shù)是一個一位數(shù)的平方，把這個一位數(shù)放在這個兩位數(shù)的左邊所成的三位數(shù)，比把這個一位數(shù)放在這個兩位數(shù)的右邊所成的三位數(shù)大252，求這個兩位數(shù)．【詳解】設(shè)一位數(shù)為x，則兩位數(shù)為x2則根據(jù)題意可得：100x+x2整理得：x2分解得：x?4x?7解得：x1=4，答：這個兩位數(shù)為16或49．師生活動：請學(xué)生板演，然后師生共同糾錯，使學(xué)生明確自己的錯誤與薄弱環(huán)節(jié)，在后續(xù)的解題過程中做到有的放矢，對癥下藥。[針對訓(xùn)練]1兩個連續(xù)奇數(shù)的積為255，若設(shè)其中較小的奇數(shù)為x，則可列方程為_________________，這兩個數(shù)分別為_______________．【詳解】設(shè)其中較小的奇數(shù)為x，則較大的奇數(shù)為x+2，根據(jù)題意，得xx+2解得，x當(dāng)x=?17時，x+2=?15；當(dāng)x=15時，x+2=17．故答案為：xx+2=255，?17,?15或[能力提升]1．第十四屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME—14）會徽的主題圖案有著豐富的數(shù)學(xué)元素，展現(xiàn)了我國古代數(shù)學(xué)的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國古代的計數(shù)符號寫出的八進(jìn)制數(shù)3745，八進(jìn)制是以8作為進(jìn)位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有0~7共8個基本數(shù)字，八進(jìn)制數(shù)3745換算成十進(jìn)制數(shù)是3×83+7×(1)八進(jìn)制數(shù)3747換算成十進(jìn)制數(shù)是______；(2)小華設(shè)計了一個n進(jìn)制數(shù)234，換算成十進(jìn)制數(shù)是193，求n的值．【詳解】（1）3×（2）由題意，得2n解得n1=9，2閱讀材料，回答下列問題：反序數(shù)：有這樣一對數(shù)，一個數(shù)的數(shù)字排列完全顛倒過來變成另一個數(shù)，簡單的說，就是順序相反的兩個數(shù)，我們把這樣的一對數(shù)稱為“反序數(shù)”，比如：12的反序數(shù)是21，456的反序數(shù)是654．用方程知識解決問題：若一個兩位數(shù)，其十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大3，這個兩位數(shù)與其反序數(shù)之積為1300，求這個兩位數(shù)．【詳解】解：設(shè)這個兩位數(shù)的個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x+3，根據(jù)題意得：10x+3∴10x+30+x10x+x+3=1300，即∴121x∴x解得x=2或x=?5（舍去），∴10x+3∴這個兩位數(shù)為52．3如圖，某中學(xué)課外興趣小組準(zhǔn)備圍建一個矩形花園ABCD，其中一邊靠墻，另外三邊用總長為60m的籬笆圍成，與墻平行的一邊BC上要預(yù)留2m寬的入口（如圖中MN所示，不用籬笆），已知墻長為28m．(1)當(dāng)矩形的長BC為多少米時，矩形花園的面積為300平方米；(2)能否圍成500平方米的矩形花園?若能求出BC長；若不能，說明理由．【詳解】（1）設(shè)矩形花園BC的長為x米，則其寬為12（60﹣x+2依題意列方程得：12（60﹣x+2）x＝300，解這個方程得：x1＝12，x2＝50，∵28＜50，∴x2＝50（不合題意，舍去），∴x＝12．答：當(dāng)矩形的長BC為12米時，矩形花園的面積為300平方米；（2）設(shè)矩形花園BC的長為x米，則其寬為12（60﹣x+2）米，依題意列方程得：12（60﹣x+2）x＝△＝622﹣4000＝﹣156＜0，則該方程無解，即不能圍成500平方米的矩形花園．答：不能圍成500平方米的矩形花園．【設(shè)計意圖】檢測“數(shù)字問題”的掌握情況。（七）直擊中考1．（2022·江蘇泰州真題）如圖，在長為50m，寬為38m的矩形地面內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應(yīng)為多少？【詳解】解：設(shè)道路的寬應(yīng)為x米，由題意得(50-2x)×(38-2x)=1260解得：x1=4，x2=40(不符合題意，舍去)答：道路的寬應(yīng)為4m．2．（2021·山西省真題）2021年7日1日建黨100周年紀(jì)念日，在本月日歷表上可以用一個方框圈出4個