點(diǎn)和圓的位置關(guān)系（導(dǎo)學(xué)案）-九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步備課系列

學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解與掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其運(yùn)用．2掌握不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．3理解三角形的外接圓和三角形外心的概念．重點(diǎn)難點(diǎn)突破★知識(shí)點(diǎn)1：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：1）d＜r<=>點(diǎn)P在⊙O內(nèi)2）d=r<=>點(diǎn)P＇在⊙O上3）d＞r<=>點(diǎn)P＇＇在⊙O外★知識(shí)點(diǎn)2：三角形的外接圓的概念：經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓.這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形.三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.核心知識(shí)一、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：1）d____r<=>點(diǎn)P在⊙O內(nèi)2）d____r<=>點(diǎn)P＇在⊙O上3）d____r<=>點(diǎn)P＇＇在⊙O外二、三角形的外接圓的概念：經(jīng)過三角形_________的圓叫做三角形的外接圓.這個(gè)_________叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形.三角形外接圓的__________叫做這個(gè)三角形的外心.引入新課我國(guó)射擊運(yùn)動(dòng)員在奧運(yùn)會(huì)上獲金牌，為我國(guó)贏得榮譽(yù).下圖是射擊靶的示意圖，它是由許多同心圓（圓心相同，半徑不相同）構(gòu)成的，你知道擊中靶上不同位置的成績(jī)是如何計(jì)算的嗎？新知探究【問題一】觀察下圖中點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有哪幾種？并對(duì)這六個(gè)點(diǎn)進(jìn)行分類？【問題二】設(shè)⊙O半徑為r，你知道點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C與圓心O的距離與半徑的關(guān)系嗎？【問題三】反過來，已知點(diǎn)到圓心的距離和圓的半徑，能否判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系？設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：1）d____r<=>點(diǎn)P在⊙O內(nèi)2）d____r<=>點(diǎn)P＇在⊙O上3）d____r<=>點(diǎn)P＇＇在⊙O外【問題四】通過今天的學(xué)習(xí)，你發(fā)現(xiàn)了什么？典例分析例1⊙O的半徑為10cm，點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C到圓心的距離分別為8cm、10cm、12cm，則點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C與⊙O的位置關(guān)系是：點(diǎn)A在；點(diǎn)B在；點(diǎn)C在.【針對(duì)訓(xùn)練】1.已知⊙O的面積為25π：1）若PO=5.5，則點(diǎn)P在 ；2）若PO=4，則點(diǎn)P在 ；3）若PO= ，則點(diǎn)P在圓上；4）若點(diǎn)P不在圓外，則PO__________．2.設(shè)⊙O的半徑為5，圓心的坐標(biāo)為(0，0)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，-3)，則點(diǎn)P在__________.3.在公園的O處附近有E、F、G、H四棵樹，位置如圖所示（圖中小正方形為邊長(zhǎng)均相等），現(xiàn)計(jì)劃修建一座以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓形水池，要求池中不留樹木，則E、F、G、H四棵樹中需要被移除的為（）A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F4.體育課上，小明和小麗的鉛球成績(jī)分別是6.4m和5.1m，他們投出的鉛球分別落在圖中哪個(gè)區(qū)域內(nèi)？5.圓心為O的兩個(gè)同心圓，半徑分別為1和2，若OP=3，則點(diǎn)P在（）A.在大圓內(nèi)B.在小圓內(nèi)C.小圓外D.大圓內(nèi)，小圓外例2一個(gè)點(diǎn)到圓的最大距離為11cm，最小距離為5cm，則圓的半徑為()A．16cm或6cmB．3cm或8cmC．3cmD．8cm【針對(duì)訓(xùn)練】1.在同一平面內(nèi)，在⊙O外有一個(gè)定點(diǎn)P到圓上的距離最長(zhǎng)為10，最短為2，則⊙O的半徑是（）A．3B．4C．5D．6新知探究【問題一】平面上有一點(diǎn)A，經(jīng)過已知A點(diǎn)的圓有幾個(gè)？圓心在哪里？【問題二】平面上有兩點(diǎn)A、B，經(jīng)過已知點(diǎn)A、B的圓有幾個(gè)？圓心在哪里？【問題三】平面上有三點(diǎn)A、B、C，經(jīng)過已知點(diǎn)A、B、C的圓有幾個(gè)？圓心在哪里？【提問一】通過預(yù)習(xí)，你能說出三角形的外接圓的概念嗎？【提問二】1）如右圖，⊙O叫做△ABC的________，△ABC叫做⊙O的____________.2）一個(gè)三角形的外接圓有幾個(gè)？3）一個(gè)圓的內(nèi)接三角形有幾個(gè)？4）你知道三角形外心的性質(zhì)嗎？【試一試】請(qǐng)做出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的外接圓．這些外接圓的圓心在什么位置？典例分析例3判斷：1)經(jīng)過三點(diǎn)一定可以作圓.（）2)三角形的外心就是這個(gè)三角形兩邊垂直平分線的交點(diǎn).（）3)三角形的外心到三邊的距離相等.（）4)等腰三角形的外心一定在這個(gè)三角形內(nèi).（）5)已知圓心和半徑可以作一個(gè)圓.（）6)經(jīng)過一個(gè)已知點(diǎn)A的圓能做無數(shù)個(gè).（）7)經(jīng)過兩個(gè)已知點(diǎn)A，B的圓能做兩個(gè).（）8)經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C只能做一個(gè)圓.（）例4如圖，已知AB

，試確定AB所在的圓的圓心.【針對(duì)訓(xùn)練】1.如圖，CD所在的直線垂直平分線段

AB，怎么用這樣的工具找到圓形工件的圓心？2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是________，半徑是________3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為（1，4）、（5，4）、（1、A．（2，3）B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）探究新知【問題一】經(jīng)過同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)

A，【問題二】簡(jiǎn)述反證法的一般步驟？典例分析例5已知ΔABC中，AB=AC，求證：∠B<90°，下面寫出運(yùn)用反證法證明這個(gè)命題的四個(gè)步驟：①∴A+∠B+∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾②因此假設(shè)不成立．∴∠B<90°③假設(shè)在ΔABC中，∠B≥90°

④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．這四個(gè)步驟正確的順序應(yīng)是（

）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②【針對(duì)訓(xùn)練】1．用反證法證明命題鈍角三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于45°時(shí)，首先應(yīng)該假設(shè)這個(gè)三角形中（）A．每一個(gè)內(nèi)角都大于等于45° B．每一個(gè)內(nèi)角都小于45°C．有一個(gè)內(nèi)角大于等于45° D．有一個(gè)內(nèi)角小于45°2.求證：等腰三角形的底角必為銳角．3.用反證法證明“三角形的三個(gè)內(nèi)角中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°”證明：假設(shè)所求證的結(jié)論不成立，即∠A60°，∠B60°，∠C60°，則∠A+∠B+∠C＞．這與相矛盾．∴不成立．∴．4.用反證法證明：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)（填空）．已知：如圖，l1∥l2，l1，求證：∠1+∠2=180°．證明：假設(shè)∠1+∠2180°，∵l1∥l2，∴∵∠1+∠2≠180∴∠3+∠2180°，這與矛盾，∴假設(shè)∠1+∠2180°不成立，即∠1+∠2=180°；感受中考1．（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以點(diǎn)A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙A外時(shí)，r的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C，D均在直線l上，點(diǎn)P在直線l外，則經(jīng)過其中任意三個(gè)點(diǎn)，最多可畫出圓的個(gè)數(shù)為（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)3．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）我們可以用以下推理來證明“在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°”．假設(shè)三角形沒有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°，即三個(gè)內(nèi)角都大于60°．則三角形的三個(gè)內(nèi)角的和大于180°，這與“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個(gè)定理矛盾．所以在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°．上述推理使用的證明方法是（

）A．反證法 B．比較法 C．綜合法 D．分析法4．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形．若∠ABC=45°，AC=2，則5．（2022·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在5×7網(wǎng)格中，各小正方形邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)O，A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，點(diǎn)O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△ABC外把你認(rèn)為外心也是O的三角形都寫出來課堂小結(jié)1.簡(jiǎn)述點(diǎn)與圓的位置關(guān)系？2.簡(jiǎn)述三角形的外接圓和三角形外心的概念？【參考答案】引入新課我國(guó)射擊運(yùn)動(dòng)員在奧運(yùn)會(huì)上獲金牌，為我國(guó)贏得榮譽(yù).下圖是射擊靶的示意圖，它是由許多同心圓（圓心相同，半徑不相同）構(gòu)成的，你知道擊中靶上不同位置的成績(jī)是如何計(jì)算的嗎？射擊點(diǎn)與靶心的距離決定了它在哪個(gè)圓內(nèi)，射擊點(diǎn)離靶心越近，它所在的區(qū)域就越靠?jī)?nèi)，對(duì)應(yīng)的環(huán)數(shù)也就越高，射擊成績(jī)?cè)胶?新知探究【問題一】觀察下圖中點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有哪幾種？并對(duì)這六個(gè)點(diǎn)進(jìn)行分類？點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi).點(diǎn)在圓外：點(diǎn)A、點(diǎn)C點(diǎn)在圓上：點(diǎn)B點(diǎn)在圓內(nèi)：點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F【問題二】設(shè)⊙O半徑為r，你知道點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C與圓心O的距離與半徑的關(guān)系嗎？點(diǎn)A在圓內(nèi)，則OA<r；點(diǎn)B在圓上，OB=r；點(diǎn)C在圓外，OC>r【問題三】反過來，已知點(diǎn)到圓心的距離和圓的半徑，能否判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系？設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：1）d__<__r<=>點(diǎn)P在⊙O內(nèi)2）d__=__r<=>點(diǎn)P＇在⊙O上3）d__>__r<=>點(diǎn)P＇＇在⊙O外【問題四】通過今天的學(xué)習(xí)，你發(fā)現(xiàn)了什么？1）判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的實(shí)質(zhì)是判斷點(diǎn)到圓心的距離和半徑的大小關(guān)系.2）已知點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系，可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，反過來，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系也可以確定該點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系.3）圓的外部可以看成到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合；圓的內(nèi)部可以看成到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合.典例分析例1⊙O的半徑為10cm，點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C到圓心的距離分別為8cm、10cm、12cm，則點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C與⊙O的位置關(guān)系是：點(diǎn)A在圓內(nèi)；點(diǎn)B在圓上；點(diǎn)C在圓外.【針對(duì)訓(xùn)練】1.已知⊙O的面積為25π：1）若PO=5.5，則點(diǎn)P在 圓外 ；2）若PO=4，則點(diǎn)P在 圓內(nèi) ；3）若PO= 5 ，則點(diǎn)P在圓上；4）若點(diǎn)P不在圓外，則PO_____≤5_____．2.設(shè)⊙O的半徑為5，圓心的坐標(biāo)為(0，0)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，-3)，則點(diǎn)P在____圓上______.3.在公園的O處附近有E、F、G、H四棵樹，位置如圖所示（圖中小正方形為邊長(zhǎng)均相等），現(xiàn)計(jì)劃修建一座以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓形水池，要求池中不留樹木，則E、F、G、H四棵樹中需要被移除的為（A）A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F4.體育課上，小明和小麗的鉛球成績(jī)分別是6.4m和5.1m，他們投出的鉛球分別落在圖中哪個(gè)區(qū)域內(nèi)？小明和小麗投出的鉛球分別落在圖中④、③內(nèi)5.圓心為O的兩個(gè)同心圓，半徑分別為1和2，若OP=3，則點(diǎn)P在（D）A.在大圓內(nèi)B.在小圓內(nèi)C.小圓外D.大圓內(nèi)，小圓外例2一個(gè)點(diǎn)到圓的最大距離為11cm，最小距離為5cm，則圓的半徑為(B)A．16cm或6cmB．3cm或8cmC．3cmD．8cm【針對(duì)訓(xùn)練】1.在同一平面內(nèi)，在⊙O外有一個(gè)定點(diǎn)P到圓上的距離最長(zhǎng)為10，最短為2，則⊙O的半徑是（B）A．3B．4C．5D．6新知探究【問題一】平面上有一點(diǎn)A，經(jīng)過已知A點(diǎn)的圓有幾個(gè)？圓心在哪里？能畫出無數(shù)個(gè)圓，圓心為點(diǎn)A以外任意一點(diǎn)，半徑為這點(diǎn)與點(diǎn)A的距離.【問題二】平面上有兩點(diǎn)A、B，經(jīng)過已知點(diǎn)A、B的圓有幾個(gè)？圓心在哪里？能畫出無數(shù)個(gè)圓，圓心都在線段AB的垂直平分線上.【問題三】平面上有三點(diǎn)A、B、C，經(jīng)過已知點(diǎn)A、B、C的圓有幾個(gè)？圓心在哪里？不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.圓心在這兩條垂直平分線的交點(diǎn)O的位置.【提問一】通過預(yù)習(xí)，你能說出三角形的外接圓的概念嗎？經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓.這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形.三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.【提問二】1）如右圖，⊙O叫做△ABC的__外接圓_，△ABC叫做⊙O的___內(nèi)接三角形______.2）一個(gè)三角形的外接圓有幾個(gè)？一個(gè)3）一個(gè)圓的內(nèi)接三角形有幾個(gè)？無數(shù)個(gè)4）你知道三角形外心的性質(zhì)嗎？它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等【試一試】請(qǐng)做出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的外接圓．這些外接圓的圓心在什么位置？典例分析例3判斷：1)經(jīng)過三點(diǎn)一定可以作圓.（×）2)三角形的外心就是這個(gè)三角形兩邊垂直平分線的交點(diǎn).（√）3)三角形的外心到三邊的距離相等.（×）4)等腰三角形的外心一定在這個(gè)三角形內(nèi).（×）5)已知圓心和半徑可以作一個(gè)圓.√6)經(jīng)過一個(gè)已知點(diǎn)A的圓能做無數(shù)個(gè).（√）7)經(jīng)過兩個(gè)已知點(diǎn)A，B的圓能做兩個(gè).（×）8)經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C只能做一個(gè)圓.（√）例4如圖，已知AB

，試確定AB所在的圓的圓心.【針對(duì)訓(xùn)練】1.如圖，CD所在的直線垂直平分線段

AB，怎么用這樣的工具找到圓形工件的圓心？2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是(5,2)，半徑是__253．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為（1，4）、（5，4）、（1、?2），則A．（2，3）B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）探究新知【問題一】經(jīng)過同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)

A，1）假設(shè)經(jīng)過同一條直線上L上的A,B,C三點(diǎn)可以作一個(gè)圓.2）設(shè)這個(gè)圓的圓心為P，那么點(diǎn)P即在l1上，也在l2上，即點(diǎn)P為l1與l2的交點(diǎn).（l1是線段AB的垂直平分線，l2是線段BC的垂直平分線）3）而l⊥l1，l⊥l2這與我們以前學(xué)過的“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”相矛盾.所以經(jīng)過同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓.【問題二】簡(jiǎn)述反證法的一般步驟？1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；2）從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理，得出矛盾；3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.典例分析例5已知ΔABC中，AB=AC，求證：∠B<90°，下面寫出運(yùn)用反證法證明這個(gè)命題的四個(gè)步驟：①∴A+∠B+∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾②因此假設(shè)不成立．∴∠B<90°③假設(shè)在ΔABC中，∠B≥90°

④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．這四個(gè)步驟正確的順序應(yīng)是（

D

）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②【針對(duì)訓(xùn)練】1．用反證法證明命題鈍角三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于45°時(shí)，首先應(yīng)該假設(shè)這個(gè)三角形中（A）A．每一個(gè)內(nèi)角都大于等于45° B．每一個(gè)內(nèi)角都小于45°C．有一個(gè)內(nèi)角大于等于45° D．有一個(gè)內(nèi)角小于45°2.求證：等腰三角形的底角必為銳角．【詳解】證明：如圖所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，假設(shè)等腰三角形的底角不是銳角，則為鈍角或者直角，∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCA∵∠ABC，∠BCA為鈍角或直角，∴∠ABC+∠BCA≥180°這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，故假設(shè)不成立，∴等腰三角形的底角必為銳角．3.用反證法證明“三角形的三個(gè)內(nèi)角中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°”證明：假設(shè)所求證的結(jié)論不成立，即∠A60°，∠B60°，∠C60°，則∠A+∠B+∠C＞．這與相矛盾．∴不成立．∴．【答案】>，>，>，180°，內(nèi)角和為180°，假設(shè)，求證的命題正確．4.用反證法證明：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)（填空）．已知：如圖，l1∥l2，l1，求證：∠1+∠2=180°．證明：假設(shè)∠1+∠2180