專題02 平行線中的拐點(diǎn)模型之鉛筆頭模型（解析版）

專題02平行線中的拐點(diǎn)模型之鉛筆頭模型平行線中的拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點(diǎn)模型（鉛筆頭模型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型2：鉛筆頭模型圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，結(jié)論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.【模型證明】在圖1中，過P作AM的平行線PQ，∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在圖2中，過P1作AM的平行線P1C，過點(diǎn)P2作AM的平行線P2D，∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；在圖3中，過各角的頂點(diǎn)依次作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)以及上述規(guī)律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．例1．（2023上·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D，已知，，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．∵，∴，∴∴，∴，故選C．例2．（2023下·綿陽市·七年級?？计谥校┤鐖D1是一個由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動變速箱托架，其主要作用是動力傳輸．如圖2是手動變速箱托架工作時某一時刻的示意圖，已知，，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)作，則，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可以求出、，進(jìn)而可求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，，，

，，．，．．．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化和計算是解題關(guān)鍵．例3．（2023下·遼寧鞍山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，下列結(jié)論正確的是（

）

A．∠BAC＝∠DCE B．∠BAC＝∠CEFC．∠BAC＋∠ACE＝180° D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A.由無法得出，錯誤；B.由無法得出，錯誤；C.∵，∴，∴，錯誤；D.∵，∴，，∴，正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．例4．（2023春·新疆·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝°．【答案】540【分析】過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可作答．【詳解】過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，如圖，∵，，，∴，，∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，故答案為：540．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．構(gòu)造輔助線，是解答本題的關(guān)鍵．例5．（2023下·湖北武漢·七年級期末）如圖，，，，已知，則的度數(shù)為．

【答案】/60度【分析】根據(jù)平角定義可求出的度數(shù)，如圖所示，過點(diǎn)作，可求出，由此可求，根據(jù)，，可求出的度數(shù)，如圖所示，過點(diǎn)作，可得，由此即可求解．【詳解】解：∵，，∴，如圖所示，過點(diǎn)作，∵，∴，

∴，，，∴，∵，∴，∵，，∴，如圖所示，過點(diǎn)作，∵，∴，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握以上知識的靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．例6．（2023下·浙江杭州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，，若，下列各式：①

②

③

④其中正確的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①④【答案】D【分析】過點(diǎn)E作，點(diǎn)F作，根據(jù)平行公理得，根據(jù)平行線的性質(zhì)逐一計算解題即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作，∵，∴，

∴，，∴，故①正確；如圖，過點(diǎn)F作，∵，∴，∴，，∴，即，故②不正確；又∵，∴，即，故③不正確；∵，∴，∵，∴，，故④正確；∴正確的為①④，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，能作輔助線構(gòu)造平行線轉(zhuǎn)化角是解題的關(guān)鍵．例7．（2023下·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）下列各圖中的與平行．

圖中的，圖中的，圖中的，圖中的，據(jù)此推測，圖中的【答案】【分析】由特殊情況發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可得答案．【詳解】解：圖中的，圖中的，圖中的，圖中的，圖中的．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，規(guī)律型：圖形的變化類，關(guān)鍵是由特殊情況總結(jié)一般規(guī)律．例8．（2023下·河南安陽·七年級統(tǒng)考期末）【學(xué)習(xí)新知】射到平面鏡上的光線（入射光線）和反射后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，是平面鏡，若入射光線與水平鏡面的夾角為，反射光線與水平鏡面的夾角為，則．(1)【初步應(yīng)用】生活中我們可以運(yùn)用“激光”和兩塊相交的平面鏡進(jìn)行測距．如圖2當(dāng)一束“激光”射到平面鏡上，被平面鏡反射到平面鏡上，又被平面鏡反射后得到反射光線，回答下列問題：①當(dāng)，（即時，求的度數(shù)；②當(dāng)時，任何射到平面鏡上的光線經(jīng)過平面鏡和的兩次反射后，入射光線與反射光線總是平行的．請你根據(jù)所學(xué)知識及新知說明理由．（提示：三角形的內(nèi)角和等于(2)【拓展探究】如圖3，有三塊平面鏡，，，入射光線經(jīng)過三次反射，得到反射光線已知，若要使，請直接寫出的度數(shù)________；【答案】(1)①；②詳見解析(2)【分析】（1）①由可求，再根據(jù)已知的平行條件可得，從而求解；②由的度數(shù)求出，再根據(jù)，，可求出，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)可得；（2）過點(diǎn)作，根據(jù)平行公理推論證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)，找出角與角之間的關(guān)系，求出，，進(jìn)而可得，在由三角形內(nèi)角和為，求出．【詳解】（1）解：（①∵，∴．又∵，∴．②由題意知，．∵，∴，∴，∴，∴．（2）如圖，過點(diǎn)作，．

∴．∵，∴，∵，∴，∴．同理可得，∴．又∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是正確識別圖形，找出角與角之間的關(guān)系．例9．（2023下·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期中）我們知道，兩條平行線被第三條直線所截，可以得到一些相等的角或者互補(bǔ)的角，所以在某些探究性問題中通過“構(gòu)造平行線”可以起到將直線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的數(shù)量關(guān)系的作用．

問題初探：（1）如圖1，，用等式表示之間的數(shù)量關(guān)系．分析：過點(diǎn)作，則有，因?yàn)?，所以，所以，從而可以得到之間的數(shù)量關(guān)系．請你直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系______．類比再探：（2）如圖2，，用等式表示之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．拓展應(yīng)用：（3）利用上面（1）、（2）得出的結(jié)論完成下題：已知，如圖3，，與兩個角的角平分線相交于點(diǎn)．①若，求的度數(shù)．②若的度數(shù)用表示，的度數(shù)用表示，則與的之間的關(guān)系式為______．【答案】（1）；（2）；（3）①；②【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及平行于同一條直線的兩條直線互相平行解答即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)及平行于同一條直線的兩條直線互相平行解答即可；（3）①根據(jù)平行線的性質(zhì)及平行于同一條直線的兩條直線互相平行，再根據(jù)角平分線的定義解答即可；②根據(jù)平行線的性質(zhì)及平行于同一條直線的兩條直線互相平行，再根據(jù)角平分線的定義解答即可．【詳解】解：過點(diǎn)作，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2），理由如下：過點(diǎn)作，∴，∵，∴，∴，∴．

（3）過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，①∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴，②∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023下·山西·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）小林乘車進(jìn)入車庫時仔細(xì)觀察了車庫門口的“曲臂直桿道閘”，并抽象出如圖所示的模型，已知垂直于水平地面．當(dāng)車牌被自動識別后，曲臂直桿道閘的段繞點(diǎn)緩慢向上旋轉(zhuǎn)，段則一直保持水平狀態(tài)上升（即與始終平行），在該過程中始終等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)作，利用平行線的性質(zhì)可得，，從而可得，然后根據(jù)垂直定義可得，最后進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)作，，

，，，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)的常見模型是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·四川綿陽·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，一束光線先后經(jīng)平面鏡，反射后，當(dāng)時，的度數(shù)為（）

A．55° B．70° C．60° D．35°【答案】A【分析】根據(jù)入射角等于反射角以及“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”解答即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，入射角等于反射角等知識，熟記“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，，則（

）A．150° B．180° C．210° D．240°【答案】C【分析】根據(jù)題意作直線l平行于直線l1和l2，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：作直線l平行于直線l1和l2．，．，．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行內(nèi)錯角相等是解題關(guān)鍵．4．（2023下·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）如圖，按虛線剪去長方形紙片的相鄰兩個角，并使，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)B作，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出，再解答即可．【詳解】解：過點(diǎn)B作，∴

∵，∴，∴∴，∴，∵∴∵，∴的度數(shù)為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，加輔助線，然后利用平行線的性質(zhì)求解是解此題的關(guān)鍵．5．（2023下·浙江溫州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知直線，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，為射線上一點(diǎn)，若，，交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，得到，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，設(shè)，，，，，，，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，平角的定義是解題的關(guān)鍵．6．（2022上·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，平分，平分，，，則的度數(shù)為．（用含n的式子表示）【答案】【分析】首先過點(diǎn)E作，由平行線的傳遞性得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得出，，由角平分線的定義得出，，再由兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出，由即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作，則，，∴，，又∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題關(guān)鍵是作出正確的輔助線，掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的定義．7．（2023上·云南昆明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在五邊形中滿足，則圖形中的的值是．

【答案】85【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)先求∠B的度數(shù)，再根據(jù)五邊形的內(nèi)角和公式求x的值即可．【詳解】解：∵AB∥CD，∠C＝60°，∴∠B＝180°?∠C＝120°．∴（5?2）×180°＝x°＋150°＋125°＋60°＋120°．∴x＝85．故答案為：85．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握平行線的性質(zhì)和多邊形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．8．（2023下·山西呂梁·七年級統(tǒng)考期中）如圖是一款長臂折疊護(hù)眼燈示意圖，與桌面垂直，當(dāng)發(fā)光的燈管恰好與桌面平行時，，，則的度數(shù)為°．

【答案】100【分析】過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)和垂直的定義，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，

則：，∵，，，∴，，，∵，∴，∴，∴，故答案為：100．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是過拐點(diǎn)構(gòu)造平行線．9．（2023下·河北唐山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，，，則．【答案】【分析】延長交于點(diǎn)G，首先運(yùn)用平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)，借助三角形的內(nèi)角和，再由互補(bǔ)求出即可解決問題．【詳解】證明：如圖，延長交于點(diǎn)G，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)、互補(bǔ)等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題．解題的方法是作輔助線，將分散的條件集中，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)、互補(bǔ)等幾何知識點(diǎn)來分析、判斷、解答．10．（2023下·甘肅·七年級校考期中）如圖，，已知，．則度．

【答案】90【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求解即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作，

∵，∴，∴，，∵，，∴，，∴，故答案為：90．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解題的關(guān)鍵．11．（2023下·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期末）如圖，一環(huán)湖公路的段為東西方向，經(jīng)過四次拐彎后，又變成了東西方向的段，則的度數(shù)是．

【答案】540°【分析】分別過點(diǎn)C，D作AB的平行線CG，DH，進(jìn)而利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E的大?。驹斀狻拷猓喝鐖D，根據(jù)題意可知：AB∥EF，分別過點(diǎn)C，D作AB的平行線CG，DH，所以AB∥CG∥DH∥EF，則∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°，∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°，∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°．故答案為：540°．

【點(diǎn)睛】考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，利用平行線的性質(zhì)計算角的大?。?2．（2023下·河南許昌·七年級統(tǒng)考期末）如圖，于，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，．

【答案】45【分析】如圖，過點(diǎn)F作，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定求解即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)F作，

∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：45．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定．13．（2023下·山東棗莊·七年級?？计谥校┤鐖D，已知，，，，平分，則．

【答案】/度【分析】根據(jù)，得出，結(jié)合已知條件得出，根據(jù)角平分線的定義得出，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．14．（2023·江蘇鹽城·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，，則．

【答案】【分析】根據(jù)，，，找出規(guī)律，得出．【詳解】解：當(dāng)與之間有2個角時，如圖所示：

∵，∴；當(dāng)與之間有3個角時，過點(diǎn)E作，

∵，∴，∴，，∴，即，同理可得：當(dāng)與之間有4個角時，，∴當(dāng)與之間有n個角時，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形規(guī)律探索，平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖形找出規(guī)律，熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．15．（2023上·四川綿陽·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知，若，，則α與β之間的數(shù)量關(guān)系為．

【答案】/【分析】過C作，過D作，得到，由平行線的性質(zhì)推出，得到，即可得出結(jié)果．【詳解】解：過C作，過D作，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是過點(diǎn)C作，過D作，得到，由平行線的性質(zhì)即可解決問題．16．（2023下·遼寧鐵嶺·七年級統(tǒng)考期末）如圖已知：，，平分，，有下列結(jié)論：①；②③；④，其中，正確的結(jié)論有．（填序號）

【答案】①③④【分析】根據(jù)平行公理判斷①；延長、交于點(diǎn)G，根據(jù)，，得出，根據(jù)，，得出，即可得出，判斷②；根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，從而得出，根據(jù)，得出，判斷③；根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，即可得出，根據(jù)，得出，即可判斷④．【詳解】解：，，，故①正確；延長、交于點(diǎn)G，如圖所示：

∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，即，故②錯誤；平分，，，，∴，∵，∴，故③正確；∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，故④正確；綜上分析可知，正確的有①③④．故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練應(yīng)用判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．17．（2023下·河南安陽·七年級校考期中）圖1是一種網(wǎng)紅彈弓的實(shí)物圖，在兩頭系上皮筋，拉動皮筋可形成如圖2的平面示意圖，彈弓的兩邊可看成是平行的，即，活動小組在探索與，之間的數(shù)量關(guān)系時，有如下發(fā)現(xiàn)：當(dāng)拉起皮筋使時，瞄準(zhǔn)最準(zhǔn)確．現(xiàn)測得，，則此次瞄準(zhǔn)是否最準(zhǔn)確？

【答案】此次瞄準(zhǔn)不是最準(zhǔn)確的，見解析【分析】如圖，過點(diǎn)P作，可得，可得，證明，可得，從而可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作，∴．

∵，∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．∴，∴此次瞄準(zhǔn)不是最準(zhǔn)確的．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，熟記兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解本題的關(guān)鍵．18．（2023下·上海浦東新·七年級?？计谥校┤鐖D，已知，，那么等于多少度？為什么？

解：過點(diǎn)E作，得（____________），因?yàn)椋╛___________），（所作），所以（____________）．得____________（____________）．所以______°（等式性質(zhì)）．即______°，因?yàn)椋ㄒ阎?，所以______°（等式性質(zhì)）．【答案】兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；已知；平行于同一直線的兩直線互相平行；；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；；；【分析】過點(diǎn)E作，根據(jù)平行公理推出，進(jìn)而得出，則，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)E作，得（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），因?yàn)椋ㄒ阎?，（所作），所以（平行于同一直線的兩直線互相平行）．得（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．所以（等式性質(zhì)）．即，因?yàn)椋ㄒ阎?，所以（等式性質(zhì)）．故答案為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；已知；平行于同一直線的兩直線互相平行；；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；；；．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線公理以及兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．19．（2023下·天津?yàn)I海新·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，四邊形為一張長方形紙片．

（1）如圖2，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（），則__________°．（2）如圖3，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（），則__________°．（3）如圖4，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（），則___________°．（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個角，那么這個角的和是____________°．【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）．【分析】（1）過點(diǎn)E作EH∥AB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到三個角的和等于180°的2倍；（2）分別過E、F分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個角的和等于180°的三倍；（3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個角的和等于180°的三倍；（4）根據(jù)前三問個的剪法，剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是180n度．【詳解】（1）過E作EH∥AB（如圖②）．∵原四邊形是長方形，∴AB∥CD，又∵EH∥AB，∴CD∥EH（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．∵EH∥AB，∴∠A+∠1=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵CD∥EH，∴∠2+∠C=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，又∵∠1+∠2=∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；

（2）分別過E、F分別作AB的平行線，如圖③所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；（3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，如圖④所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；（4）由此可得一般規(guī)律：剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是180n度．故答案為：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解本題的關(guān)鍵，總結(jié)規(guī)律求解是本題的難點(diǎn)．20．（2023下·江西南昌·七年級?？计谥校菊n本再現(xiàn)】（1）①如圖1，已知，直接寫出，和滿足的等式關(guān)系；②如圖2，已知，直接寫出，和滿足的等式關(guān)系；【知識應(yīng)用】（2）如圖3是微信聊天對話框，圖4是其示意圖的一部分，已知，，寫出，和滿足的等式關(guān)系，并說明理由．

【答案】（1）①；②；（2），理由見解析【分析】（1）①過點(diǎn)E作，可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，從而可得；②過點(diǎn)E作，可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，從而可得；（2）過點(diǎn)E作，結(jié)合（1）②中的結(jié)論可得，，進(jìn)一步可得結(jié)論．【詳解】解：（1）①如圖1，過點(diǎn)E作，∵，∴，∴，∴，即；

②如圖，過點(diǎn)E作，∵，∴，∴，，∴；（2），理由是：如圖，過點(diǎn)E作，∵，∴，在折線中，同（1）②可得：；同理可得：；∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理，解題的關(guān)鍵是適當(dāng)添加輔助線，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)建立角的關(guān)系．21．（2023·江西上饒·七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，AM∥CN，求證：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；（2）如圖2，若平行線AM與CN間有n個點(diǎn)，根據(jù)（1）中的結(jié)論寫出你的猜想并證明．【答案】（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）猜想：若平行線間有n個點(diǎn)，則所有角的和為（n+1）?180°，證明詳見解析【分析】（1）①過點(diǎn)作BG∥AM，則AM∥CN∥BG，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到結(jié)論；②過E作EP∥AM，過F作FQ∥CN，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到結(jié)論；（2）過n個點(diǎn)作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，即可得出所有角的和為（n+1）?180°．【詳解】解：（1）①證明：如圖1，過點(diǎn)作BG∥AM，則AM∥CN∥BG∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°②如圖，過E作EP∥AM，過F作FQ∥CN，∵AM∥CN，∴EP∥FQ，∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；（2）猜想：若平行線間有n個點(diǎn)，則所有角的和為（n+1）?180°．證明：如圖2，過n個點(diǎn)作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，∴結(jié)合（1）問得：所有角的和為（n+1）?180°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作平行線，利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出結(jié)論．22．（2023下·河南三門峽·七年級統(tǒng)考期末）下圖所示的格線彼此平行，小明在格線中作已知角，探究角的兩邊與格線形成的銳角所滿足的數(shù)量關(guān)系，他先作出．

(1)如圖1，點(diǎn)O在一條格線上，當(dāng)時，__________；(2)如圖2，點(diǎn)O在兩條格線之間，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（可根據(jù)證明的需要用a，b，c，…來表示圖中的格線）；(3)在圖3中，記與圖中一條格線形成的銳角為，小明作射線，使得，記與圖中一條格線形成的銳角為，請直接用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)或【分析】（1）先標(biāo)出和，然后再根據(jù)平行的性質(zhì)可得，然后再利用角的和差解答即可；（2）如圖：過點(diǎn)C作一條直線平行于格線，標(biāo)出