無窮小量與無窮大量的比較

§5無窮小量與無窮大量的比較先看數(shù)列的情形．設(shè)是無窮小量，即：＝0，＝0．考慮可能出現(xiàn)各種情形：，，＝；，＝，＝；，，不存在是有界量，＝，＝，是無界量，但非無窮大，＝，＝，這時(shí)＝可見，有些無窮小量可以比較，但有些不能。定義3.10設(shè)＝0，＝0．(1)若存在>0，>0及正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有0<≤≤，則稱與是同階的無窮小量；(2)若＝1，則稱與為等價(jià)的無窮小量，記為～；(3)若＝0，則稱為較高階的無窮小量，或稱是較低階的無窮小最．記為＝o()．自然地，符號(hào)，就表示為無窮小量。與是同階無窮小量若存在>0，>0及正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有0<≤≤，則當(dāng)充分大后，其絕對(duì)值互相被一常數(shù)倍限制著，即≤，≤，它們趨向于0的速度可以用常數(shù)倍來度量是比高階的無窮小量＝o()＝0或其中，，當(dāng)時(shí)，這表明趨于0的速度比快得多。與為等價(jià)無窮小量～＝1，其中，這表明：1、充分大時(shí)，于幾乎相等。2、兩個(gè)等價(jià)無窮小量之差是比其自身更高階的無窮小量還要引進(jìn)一個(gè)記號(hào)：＝如果是有界的，即≤如果幾個(gè)常用結(jié)論：1、若＝與是同階的＝且因?yàn)橛蓸O限的性質(zhì)知＝>0則存在，當(dāng)時(shí)，有或由得＝由得2、＝＝＝＝0≤＝3、例1、只要證是有界量2、只要證是無窮小量注意：上面的等式不可以反過來寫！如果選定作為無窮小量的標(biāo)準(zhǔn)，若滿足＝，其中是某個(gè)正常數(shù)，則稱是階無窮小量，這時(shí)＝＋是較高階的無窮小量，我們把稱為的主部。例－＝是階的無窮小量，由于故其主部是.類似的概念也可轉(zhuǎn)移到連續(xù)變量的函數(shù)極限．以為例．設(shè)＝0，＝0，當(dāng)時(shí)與是同階的無窮小量若存在>0，>0以及,當(dāng)時(shí)，有≤≤當(dāng)時(shí)與是等價(jià)的無窮小量＝1，～（）當(dāng)時(shí)是較高階的無窮小量＝0＝)（）．若存在，使得在有界＝)()．例判別下列等式是否正確（），（），（），（）解（），（），（）而，故（）是不正確的。二、幾個(gè)常用的等價(jià)無窮小關(guān)系利用兩個(gè)重要極限和函數(shù)的連續(xù)性，我們立即可以得到在自變量的趨向下，幾個(gè)常用的等價(jià)無窮小關(guān)系（）（）（）（）（）（）（）（）意義：1、用直線代替曲線，以簡(jiǎn)單代替復(fù)雜。（在附近，可以用直線代替曲線）(在附近，可以用直線代替曲線）2、作無窮小等價(jià)代換，使許多復(fù)雜的極限都變得簡(jiǎn)單。例1注1在求極限過程中我們直接用代換了，用代換了，是因?yàn)槔?問題1下面的解法對(duì)嗎？因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以問題2()，兩者都是的一階無窮小。但它們之差卻是的三階無窮小。是否兩個(gè)的一階等價(jià)無窮小之差總是的三階無窮??？試考察例子：，，當(dāng)時(shí)和都是的一階等價(jià)無窮小，但即是的二階無窮小。問題3兩個(gè)同價(jià)無窮小之差是否一定是一個(gè)更高階的無窮小。試考察例子：，當(dāng)時(shí)和都是的一階無窮小，但仍是的一階無窮小。若和是等價(jià)無窮小量，則是比其自身更高階無窮小量。事實(shí)上例5求極限．解因?yàn)椤?，所以＝?總起來說，無窮小量的比較是用它們趨向于0的速度快慢來衡量的．這個(gè)觀念是分析中十分重要的觀念，現(xiàn)在還不能很好體會(huì)．以后學(xué)多了，便會(huì)逐步加深理解．無窮小量的階是無止盡的．換句話說，任一無窮小量都存在比它更高階的無窮小量，也存在比它更低階的無窮小量．下面的數(shù)列中，后者是比前者更高階的無窮小量；而且，相鄰的兩個(gè)無窮小量之間還可插入無窮小量，使得后者是比前者更高階的無窮小量．…{}，{}，{}，{}，{}，{}，{}，…