專題07 中點模型之中位線、斜邊中線、中點四邊形（原卷版）

專題07中點模型之中位線、斜邊中線、中點四邊形中點模型是初中數(shù)學(xué)中一類重要模型，它在不同的環(huán)境中起到的作用也不同，主要是結(jié)合三角形、四邊形、圓的運用，在各類考試中都會出現(xiàn)中點問題，有時甚至?xí)霈F(xiàn)在壓軸題當(dāng)中，我們不妨稱之為“中點模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等問題，因此探尋這類問題的解題規(guī)律對初中幾何的學(xué)習(xí)有著十分重要的意義。常見的中點模型：①垂直平分線模型；②等腰三角形“三線合一”模型；③“平行線+中點”構(gòu)造全等或相似模型（與倍長中線法類似）；④直角三角形斜邊中點模型；⑤中位線模型；⑥中點四邊形模型。本專題就中點模型的后三類模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1：直角三角形斜邊中線模型定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．如圖1，若AD為斜邊上的中線，則：（1）；（2），為等腰三角形；（3），．圖1圖2拓展：如圖2，在由兩個直角三角形組成的圖中，M為中點，則（1）；（2）．模型運用條件：連斜邊上的中線（出現(xiàn)斜邊上的中點時）例1．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）如圖，在中，，為邊上的中線，為邊上的中線，若，則的長為（）

A． B． C． D．3例2．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點D是的中點，過點D作，垂足為點E，連接，若，，則．例3．（2023·青海海東·統(tǒng)考三模）如圖，菱形的對角線、相交于點，過點作于點，連接，若，，則菱形的面積為（

）

A．72 B．48 C．24 D．9例4．（2023上·四川成都·九年級校考期中）如圖，四邊形中，，，連接．是的中點，連接．若，則的面積為．

例5．（2023·江蘇常州·中考真題）如圖，是的弦，點C是優(yōu)弧上的動點（C不與A、B重合），，垂足為H，點M是的中點．若的半徑是3，則長的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6例6．（2023上·江蘇泰州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，于F，于E，M為的中點．(1)若，，求的周長；(2)若是等邊三角形，求的度數(shù)．

模型2：中位線模型三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。如圖，在三角形ABC的AB，AC邊的中點分別為D、E，則DE//BC且，△ADE∽△ABC。中點三角形：三角形三邊中點的連線組成的三角形，其周長是原三角形周長的一半，面積是原三角形面積的四分之一。模型運用條件：構(gòu)造中位線（出現(xiàn)多個中點時）。例1．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，兩點被池塘隔開，三點不共線．設(shè)的中點分別為．若米，則（

）

A．4米 B．6米 C．8米 D．10米例2．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC的中點，AC＝8，BC＝6，則四邊形CEDF的面積是（）A．6 B．12 C．24 D．48例3．（2023下·四川廣安·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形中，邊長為1，，順次連接菱形各邊中點，可得四邊形；順次連接四邊形各邊中點，可得四邊形；順次連接四邊形各邊中點，可得四邊形；按此規(guī)律繼續(xù)下去，…，則四邊形的面積是．例4.（2023·陜西西安·聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，點、分別是，的中點，且，若，，則的長為．

例5．（2023·北京海淀·校考模擬預(yù)測）如圖，為的弦，，且，若點M、N分別是、的中點，則長的最大值是（）

A．4 B．5 C． D．例6．（2023·河南信陽·?？既＃?shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)中點知識時，遇到如下一個問題：如圖①，在邊長為4的正方形中，點是邊的中點，，連接，點分別是的中點，連接，求的長．小組成員展開討論，方法多樣、其中小佳同學(xué)的做法最具有推廣性．小佳同學(xué)是這樣思考的：題目中有兩個中點，我想到用中位線，但是這兩個中點所在的線段是交叉狀態(tài)，所以可以通過軸對稱將它變成“共頂點”的圖形、這樣就可以構(gòu)造出三角形的中位線．具體如下：如圖②．過點作，垂足為，易證四邊形是矩形，連接、則點也是的中點，連接，則是的中位線，計算出的長度即可求出的長度．根據(jù)以上信息，請回答以下問題：(1)點是中點的依據(jù)是__________________；(2)請根據(jù)小佳同學(xué)的思路寫出具體的證明過程．(3)如圖③，在中，，，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，，分別是，的中點，當(dāng)點落在的邊上時（不包含頂點），求的長度．

模型3：中點四邊形模型中點四邊形：依次連接四邊形四邊中點連線的四邊形得到中點四邊形。中點四邊形是中點模型中比較經(jīng)典的應(yīng)用。中點四邊形不僅結(jié)合了常見的特殊四邊形的性質(zhì)，而且還會涉及中位線這一重要知識點，總體來說屬于比較綜合的幾何模塊。結(jié)論1：順次連結(jié)任意四邊形各邊中點組成的四邊形是平行四邊形．如圖1，已知點M、N、P、Q是任意四邊形ABCD各邊中點，則四邊形MNPQ為平行四邊形。圖1圖2結(jié)論2：順次連結(jié)對角線互相垂直四邊形各邊中點組成的四邊形是矩形．（特例：箏形與菱形）如圖2，已知點M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點，AC⊥DB，則四邊形MNPQ為矩形。結(jié)論3：順次連結(jié)對角線相等四邊形各邊中點組成的四邊形是菱形．（特例：等腰梯形與矩形）如圖3，已知點M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點，AC=DB，則四邊形MNPQ為菱形。圖3圖4結(jié)論4：順次連結(jié)對角線相等且垂直的四邊形各邊中點組成的四邊形是正方形．如圖4，已知點M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點，AC=DB，AC⊥DB，則四邊形MNPQ為正方形。推廣與應(yīng)用1）中點四邊形的周長：中點四邊形的周長等于原四邊形對角線之和。2）中點四邊形的面積：中點四邊形的面積等于原四邊形面積的。例1．（2023上·四川達(dá)州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，G，H分別是BD，AC的中點，AB，CD滿足什么條件時，四邊形EGFH是菱形.（

）A． B．// C． D．例2．（2023上·河南鄭州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，順次連接四邊中點，，，，構(gòu)成一個新的四邊形，請你對四邊形添加一個條件，使四邊形成為一個矩形．這個條件是（

）

A． B． C． D．例3．（2023上·陜西西安·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，連接四邊形ABCD各邊的中點，得到四邊形EFGH，還要添加，才能保證四邊形EFGH是正方形．例4．（2023下·湖南長沙·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點分別是四邊形邊的中點．則正確的是（

）A．若，則四邊形為矩形B．若，則四邊形為菱形C．若是平行四邊形，則與互相平分D．若是正方形，則與互相垂直且相等

例5．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，，順次連接菱形各邊中點、、、，則四邊形的周長為（

）

A． B． C． D．例6．（2023下·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）【猜想結(jié)論】如圖1，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，可以根據(jù)度量或目測猜想結(jié)論：DEBC，且DEBC．(1)【驗證結(jié)論】如圖2，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，延長DE至F，使得EF＝DE，連接FC．求證：DEBC，DEBC．(2)【應(yīng)用結(jié)論】如圖3，在四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點，順次連接四邊形ABCD各邊中點得到新四邊形EFGH，稱為四邊形ABCD中點四邊形．應(yīng)用上述驗證結(jié)論，求解下列問題：①證明：四邊形EFGH是平行四邊形；②當(dāng)AC、BD滿足時，四邊形EFGH是矩形；③當(dāng)AC、BD滿足時，四邊形EFGH是正方形．課后專項訓(xùn)練1．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知，點D為邊的中點，點A、B對應(yīng)的刻度為1、7，則（

）

A． B． C． D．2．（2023·山東泰安·中考真題）如圖，點A，B的坐標(biāo)分別為，點C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，，點M為線段的中點，連接，則的最大值為（）

A． B． C． D．3．（2023上·重慶沙坪壩·八年級校考期末）如圖，在中，，于點D，且，于點E，連接，則的長為（）

A． B． C．5 D．64．（2023·廣東佛山·?？既＃┤鐖D，在中，，，是邊上的中線，把線段沿著方向平移到點B，使得點C與點B重合，連接，，與相交與點O，則下列結(jié)論：①四邊形為菱形；②；③；④的面積為四邊形面積的一半．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）

A．4 B．3 C．2 D．15．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）如圖所示，為的中位線，點F在上，且，若，，則的長是（）

A．2 B． C． D．36．（2023上·甘肅白銀·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，平分，E是中點，若，則的長為（

）

A．3 B． C．4 D．7．（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在中，，點D、E分別是直角邊AC、BC的中點，連接DE，則度數(shù)是（

）A．70° B．60° C．30° D．20°8．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，點G為的重心，連接CG，AG并延長分別交AB，BC于點E，F(xiàn)，連接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，則EF的長度為（

）A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.49．（2023·山西呂梁·模擬預(yù)測）的周長為36，對角線相交于點O，點E是的中點，的周長為15，則長（）

A．18 B．16 C．14 D．1210．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點P是邊上一點（不與點A，D重合），連接．點M，N分別是的中點，連接，，，點E在邊上，，則的最小值是（

）

A． B．3 C． D．11．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測）如圖，在中，，D為斜邊的中點，E，F(xiàn)分別是的中點，若，則的長為（）

A．2 B．3 C．4 D．512．（2023下·河北承德·八年級統(tǒng)考期末）順次連接四邊形各邊中點得到四邊形，下列說法正確的是（

）A．只有四邊形為平行四邊形，四邊形才可能為平行四邊形B．只有四邊形為正方形，四邊形才可能為正方形C．如果四邊形為矩形，則四邊形一定是菱形D．如果四邊形為菱形，則四邊形一定是菱形14．（2023下·河北邢臺·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，且，順次連接四邊形各邊的中點，得到四邊形，順次連接四邊形各邊的中點，得到四邊形，…按此規(guī)律進(jìn)行下去．對于結(jié)論Ⅰ和Ⅱ，下列判斷正確的是（

）

結(jié)論Ⅰ：當(dāng)時，四邊形是正方形；結(jié)論Ⅱ：當(dāng)時，四邊形的周長是10．A．Ⅰ和Ⅱ都對 B．Ⅰ和Ⅱ都不對 C．Ⅰ不對Ⅱ?qū)?D．Ⅰ對Ⅱ不對15．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗．如圖，已知三角形紙片，第1次折疊使點落在邊上的點處，折痕交于點；第2次折疊使點落在點處，折痕交于點．若，則．16．（2023·遼寧沈陽·中考真題）如圖，在平行四邊形中，點為邊上一點，，點，點分別是中點，若，則的長為．17．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分線AD交BC于點D，E為AB的中點，若BC=12，AD=8，則DE的長為．18．（2022上·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，分別以點A、C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點M、N，直線與相交于點E，過點C作，垂足為點D，與相交于點F，若，則的度數(shù)為．19．（2023·四川成都·一模）在中，，，，為的中點，則．20．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點D為斜邊的中點，連接，過點D作交于點E，若，則的長為．21．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，對角線，相交于點，為邊的中點．若，，則菱形的面積為．

22．（2023·湖南長沙·校考三模）如圖，在中，，，，點是邊的中點分別以點，為圓心，以的長為半徑畫弧，兩弧交于點；連接，．

(1)根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，請直接寫出四邊形的形狀是______；(2)在第（1）問的基礎(chǔ)上，求四邊形的面積．23．（2023下·山東德州·八年級階段練習(xí)）如圖，四邊形中，點E、F、G、H分別為的中點，(1)求證：中點四邊形是平行四邊形；(2)如圖2，點P是四邊形內(nèi)一點，且滿足，點E、F、G、H分別為的中點，猜想中點四邊形的形狀，并證明你的猜想．24．（2023上·黑龍江