專題15 三角函數(shù)中的最值模型之胡不歸模型（原卷版）

專題15三角函數(shù)中的最值模型之胡不歸模型胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點(diǎn)到線的距離垂線段最短?！灸Ｐ捅尘啊繌那坝袀€(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會(huì)有一個(gè)疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.知識(shí)儲(chǔ)備：在直角三角形中銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即?！灸Ｐ徒庾x】一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最小．（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短。例1．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)M．③作射線交于點(diǎn)F．若點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是．例2．（2023上·廣東佛山·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)在上，連接，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，的最小值為．

例3．（2023·陜西西安·校考二模）如圖，在菱形中，，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．例4．（2023·廣東佛山·?？家荒＃┰谶呴L(zhǎng)為1的正方形中，是邊的中點(diǎn)，是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________．例5．（2023.廣西九年級(jí)期中）如圖，AC是圓O的直徑，AC＝4，弧BA＝120°，點(diǎn)D是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OD+BD的最小值為（）A． B． C． D．例6．（2023·山東·九年級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．例7．（2022·湖南九年級(jí)期中）如果有一條直線經(jīng)過三角形的某個(gè)頂點(diǎn)，將三角形分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線”．如圖1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于點(diǎn)D，連接AD．(1)證明直線AD是△ABC的自相似分割線；(2)如圖2，點(diǎn)P為直線DE上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PA+PC的值最小？求此時(shí)PA+PC的長(zhǎng)度．(3)如圖3，射線CF平分∠ACB，點(diǎn)Q為射線CF上一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求∠QAC的正弦值．例8．（2022·湖北武漢·九年級(jí)期末）如圖，?中，，，為邊上一點(diǎn)，則的最小值為______．例9．（2023.重慶九年級(jí)一診）如圖①，拋物線y＝﹣x2+x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，直線BD與拋物線交于另一點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F．（1）求直線BD的解析式；（2）如圖②，點(diǎn)P是直線BE上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD，PF，當(dāng)△PDF的面積最大時(shí)，在線段BE上找一點(diǎn)G，使得PG﹣GE的值最小，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)及PG﹣GE的最小值；課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·山東淄博·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的坐標(biāo)是，點(diǎn)是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上移動(dòng)時(shí)，始終保持是等邊三角形（點(diǎn)P不在第二象限），連接，求得的最小值為（

）A． B．4 C． D．22．（2023·廣東東莞·校考三模）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠B＝120°．點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)A重合），則AP+PD的最小值為_____．3．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線的長(zhǎng)為，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于______．4．（2023·廣東珠?！ば？既＃┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.

5．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PD，則PA＋2PD的最小值________．6．（2023.成都市九年級(jí)期中）如圖，中，，，，為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于．7．（2023·浙江寧波·九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若C為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值為__________．8．（2023·廣東中山·統(tǒng)考二模）如圖，菱形的對(duì)角線，點(diǎn)E為對(duì)角線上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_________．9．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點(diǎn)，點(diǎn)C（0，1）在y軸上，點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則PC＋PB的最小值為___．10．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分別以O(shè)C、OA所在的直線為x軸、y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，連接OB，反比例函數(shù)y=(x＞0)的圖象經(jīng)過線段OB的中點(diǎn)D，并與矩形的兩邊交于點(diǎn)E和點(diǎn)F，直線l：y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)E和點(diǎn)F．（1）寫出中點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出反比例函數(shù)的解析式；（2）連接OE、OF，求△OEF的面積；（3）如圖②，將線段OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H恰好落在x軸的正半軸上，連接BH，作OM⊥BH，點(diǎn)N為線段OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求HN+ON的最小值．

11．（2023春·廣東揭陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，關(guān)于的對(duì)稱圖形為．(1)求證：四邊形是菱形；(2)連接，若，．①求的值；②若點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接，一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，再以的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，到達(dá)點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)Q沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所需要的時(shí)間為t，求t的最小值．

12．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）（1）【問題原型】如圖①，在，，，求點(diǎn)到的距離．（2）【問題延伸】如圖②，在，，．若點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在線段上，連結(jié)，過點(diǎn)作于，則的最小值為______．（3）【問題拓展】如圖（3），在矩形中，．點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在線段上，連結(jié)．若，則的最小值為______．13．（2022·江蘇·統(tǒng)考一模）如圖1，平面內(nèi)有一點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為、、，若有，則稱點(diǎn)為關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)．（1）如圖2，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)、、、、、、均在小正方形的頂點(diǎn)上，則點(diǎn)E是關(guān)于點(diǎn)B的勾股點(diǎn).（2）如圖3，是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn),①求證：；②若，，求的度數(shù)．（3）如圖3，矩形中，，，是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②直接寫出的最小值．14．（2023.上海九年級(jí)月考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過x軸上的點(diǎn)和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)）及y軸上的點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線為，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Q．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）連接．若點(diǎn)P為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作交y軸于點(diǎn)G．點(diǎn)H，K分別在對(duì)稱軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，連接．①求的周長(zhǎng)為最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；②在①的條件下，求的最小值及點(diǎn)H的坐標(biāo)．15．（2023·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)F在線段AC上，連接BF，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)D，連接BD，滿足∠ABF＝∠ABD，H是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接DH交BF于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)G．(1)如圖①，若∠ABF＝∠FBC，BD＝2，求DC的長(zhǎng)；(2)如圖②，若∠CDH+∠BFD∠DEF，猜想AD與CH的數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論：(3)如圖③，在（1）的條件下，P是△BCD內(nèi)一點(diǎn)，連接BP，DP，滿足∠BPD＝150°，是否存在點(diǎn)P、H，使得2PH+CH最??？若存在，請(qǐng)直接寫出2PH+CH的最小值．16．（2023·重慶沙坪壩·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，在中