專題03 圓中的重要模型-圓弧的中點(diǎn)模型（原卷版）

專題03圓中的重要模型-圓弧的中點(diǎn)模型當(dāng)圓中出現(xiàn)弧的中點(diǎn)時(shí)，我們要注意考慮幾個(gè)方面：三角形的中位線，垂徑定理，圓周角定理，弦，弧，圓心角，圓周角的關(guān)系等等。其關(guān)系復(fù)雜，在理解其做輔助線的方法和分析技巧的基礎(chǔ)之上，還要注意各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，才是形成穩(wěn)固的解題思路以及推導(dǎo)模式的最佳選擇，以便于最后才能突破復(fù)雜的綜合題型以及壓軸題型。當(dāng)圓中出現(xiàn)弦的中點(diǎn)或弧的中點(diǎn)時(shí)，我們聯(lián)想到的是利用垂徑定理以及圓周角定理進(jìn)行思路的突破，這樣的解決方式比較直接，而且能夠提高大家解題的效率模型1、與垂徑定理相關(guān)的中點(diǎn)模型圖1圖2圖31）如圖1，已知點(diǎn)P是中點(diǎn)，連接OP，則OP⊥AB．2）如圖2，已知過(guò)點(diǎn)P作MN∥AB，則MN是圓O的切線．3）如圖3，變換條件：連接BP、AP，若∠BPN=∠A，則MN是圓O切線．例1．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是半徑為8的的弦，點(diǎn)C是優(yōu)弧的中點(diǎn)，，則弦的長(zhǎng)度是（

）A．8 B．4 C． D．例2．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，，與相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，，求陰影部分的面積．例3．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)C，直線與切線相交于點(diǎn)E，與相交于另一點(diǎn)D，連接，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．例4．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）如圖，為的直徑，點(diǎn)D為圓周上一點(diǎn)（不與A，B重合），點(diǎn)C為的中點(diǎn)，連接BC并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，連接AE，AC，恰有AC平分．(1)求證：為的切線；(2)作，，垂足分別為點(diǎn)D，F(xiàn)，若，，求AE的長(zhǎng)．

模型2、與圓周角定理相關(guān)的中點(diǎn)模型（母子型）圖1圖2圖31）如圖1，已知點(diǎn)P是中點(diǎn)，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，則∠PCA=∠PCB．2）如圖2，已知點(diǎn)P是半圓中點(diǎn)，則∠PCA=∠PCB=45°．3）如圖3，已知點(diǎn)P是中點(diǎn)，則∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB．可得：△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC．可得：△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB．例1．（2023·浙江溫州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)A是的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例2．（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）如圖1，內(nèi)接于，點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)位于的異側(cè)．(1)請(qǐng)用圓規(guī)和無(wú)刻度直尺在圖1中確定劣弧的中點(diǎn)；(2)在圖1中，連接交于點(diǎn)，連接，求證；(3)如圖2，點(diǎn)是半圓的中點(diǎn)，若⊙O的直徑，求和的長(zhǎng)．

例3．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知是圓的直徑，點(diǎn)在圓上，且，過(guò)點(diǎn)作弦的平行線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)(1)若圓的半徑為，且點(diǎn)為弧的中點(diǎn)時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；(2)在（1）的條件下，當(dāng)，α?xí)r，求線段的長(zhǎng)度；（答案用含α的代數(shù)式表示）；(3)若，且，求的面積．例4．（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）如圖，是半圓O的直徑，D為半圓O上的點(diǎn)（不與A，B重合），連接，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接，交于點(diǎn)E．(1)求證：是半圓O的切線．(2)求證：．(3)若，，求陰影部分的面積．模型3、垂徑定理與圓周角定理結(jié)合的中點(diǎn)模型如圖，AB是直徑，點(diǎn)P是中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB交AB于點(diǎn)H，則△ADP∽△APC．以下作圖可證明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形．例1．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市統(tǒng)考一模）如圖，已知是的直徑，與相切于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，是弧的中點(diǎn)，現(xiàn)有如下幾個(gè)結(jié)論：，，，，其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)例2．（2023·浙江金華·校聯(lián)考二模）如圖，是的直徑，C是上一點(diǎn)，點(diǎn)D是弧的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，已知，的半徑為2，則的長(zhǎng)為．例3．（2023·河南信陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，的半徑是3，求的長(zhǎng)．例4．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，是的一條弦，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，，交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)已知，求的值．

模型4、與托勒密定理相關(guān)的中點(diǎn)模型圖1圖21）同側(cè)型:條件：如圖5，A為弧BC中點(diǎn)，D為圓上等腰三角形底邊下方一點(diǎn)，結(jié)論：BD+CD=2AD×cosθ；特別地：1）當(dāng)三角形為等邊三角形時(shí)（即θ=60°）；結(jié)論：BD+CD=AD2）當(dāng)三角形為等腰直角三角形時(shí)（即θ=90°）；結(jié)論：BD+CD=AD3）當(dāng)三角形為120°的等腰直角三角形時(shí)（即θ=120°）；結(jié)論：BD+CD=AD2）異側(cè)型:條件：如圖5，A為弧BC中點(diǎn)，D為圓上等腰三角形底邊下方一點(diǎn)，結(jié)論：BD-CD=2AD×cosθ；特別地：1）當(dāng)三角形為等邊三角形時(shí)（即θ=60°）；結(jié)論：BD-CD=AD2）當(dāng)三角形為等腰直角三角形時(shí)（即θ=90°）；結(jié)論：BD-CD=AD3）當(dāng)三角形為120°的等腰直角三角形時(shí)（即θ=120°）；結(jié)論：BD-CD=AD例1．（2023·浙江·九年級(jí)期中）如圖，為圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線，且點(diǎn)D為的中點(diǎn)；(1)如圖1，若、直接寫出與的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2、若、平分，，求的長(zhǎng)度．例2．（2023·云南紅河·統(tǒng)考二模）如圖，在中，為的直徑，過(guò)點(diǎn)C作射線，，點(diǎn)B為弧的中點(diǎn)，連接，，．點(diǎn)P為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），連接，，，．(1)若，判斷射線與的位置關(guān)系；(2)求證：．

例3．（2023·山西陽(yáng)泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).任務(wù)：（1）上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別指什么？依據(jù)1：

依據(jù)2：（2）當(dāng)圓內(nèi)接四邊形ABCD是矩形時(shí)，托勒密定理就是我們非常熟知的一個(gè)定理：（請(qǐng)寫出定理名稱）.（3）如圖（3），四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)，求AC的長(zhǎng).課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考三模）如圖，，是的兩條直徑，點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)，連接，．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2023·重慶·三模）如圖，是半徑為6的的直徑，是弦，是弧的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江溫州·校考二模）如圖，點(diǎn)A，B在以為直徑的半圓上，B是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．4．（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)E，C在上，點(diǎn)A是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接．若，則的度數(shù)（

）A． B． C． D．5．（2023·安徽滁州·?？既＃┤鐖D，圓內(nèi)接四邊形的邊過(guò)圓心O，過(guò)點(diǎn)C的切線與邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，若點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．6．（2023·重慶·?？级＃┤鐖D，在中，是圓的直徑，過(guò)點(diǎn)B作的切線，連接交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為弧中點(diǎn)，連接，若，，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C． D．7．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形中，，，，點(diǎn)C為弧的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．8．（2023·江蘇鹽城·景山中學(xué)?？既＃┤鐖D，四邊形內(nèi)接于，A為中點(diǎn)，，則等于（）

A． B． C． D．9．（2023·河南三門峽·統(tǒng)考二模）如圖，在扇形中，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)分別為線段上的點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，圖中陰影部分的面積為．

10．（2022·廣東東莞·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，A，B，C，D是圓上的四個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，如果，那么．

11．（2023·安徽安慶·?？级＃┮阎?，如圖，點(diǎn)是優(yōu)弧的中點(diǎn)，，，則的半徑是．

12．（2023·黑龍江哈爾濱·?？级＃┤鐖D，是的內(nèi)接三角形，點(diǎn)D是弧的中點(diǎn)，已知，，則度．13．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為直徑，為弦，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（1）若，則的長(zhǎng)是（結(jié)果保留）；（2）若，則．

14．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考三模）如圖，是的直徑，是中點(diǎn)，若，則．15．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)D，M分別是弦，弧的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)是．

16．（2023春·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，是的切線，為切點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，連接，．過(guò)圓心作的平行線，分別交的延長(zhǎng)線、及于點(diǎn)．(1)求證：是的中點(diǎn)；(2)求證：；(3)若是的中點(diǎn)，的半徑為6，求陰影部分的面積．

17．（2023春·廣東東莞·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，是的直徑，是半圓上的一點(diǎn)，平分，垂足為，交于，連接．(1)求出：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)；(3)若是弧的中點(diǎn)，的半徑為，求圖中陰影部分的面積．18．（2023·河南周口·?？既＃┤鐖D，為的直徑，點(diǎn)C、D為上兩點(diǎn)，且點(diǎn)D為的中點(diǎn)，連接．過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求