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文檔簡介
人教版七年級(上)第五章
一元一次方程綜合專題講解專題目錄專題一:方程中與字母系數(shù)有關(guān)的問題專題二:一元一次方程的應(yīng)用專題一:方程中與字母系數(shù)有關(guān)的問題類型一:利用方程定義求字母參數(shù)例1
已知關(guān)于
x
的方程
ax-1=x為一元一次方程,則
|a-1|的值一定為
(
)A.正數(shù)
B.非負(fù)數(shù)C.零
D.不能確定A判斷方程是否為一元一次方程:③
等號兩邊都是整式.②
未知數(shù)的次數(shù)是1;①
只含有一個(gè)未知數(shù);1.已知關(guān)于
x
的方程
(m2-4)x2-(m+2)x-3=0
是一元一次方程,則
m=_______·22.(武漢武昌區(qū)期末)若
(a-1)x|a|-3=0
是關(guān)于
x
的一元一次方程,求
-4a2-2[a-(2a2-a+2)]
的值.解:根據(jù)一元一次方程的定義,得原式=4-4a=4-4×(-1)=4+4=8.把
a=-1代入,=4-4a.=-4a2-2a+4a2-2a+4=-4a2-2(a-2a2+a-2)-4a2-2[a-(2a2-a+2)]得
a-1≠0
且|a|=1,解得
a=-1.類型二:利用方程的解求字母參數(shù)例2若關(guān)于
x
的方程
2x-(2a-1)x+3=0
的解是
x=3,則
a=
(
)
A.
1
B.
0
C.
2
D.
3CD例3已知關(guān)于
x
的方程
5x+3k=21
與
5x+3=0
的解相同,則
k
的值是
(
)A.-10
B.7
C.
-9
D.
83.已知關(guān)于
x
的方程
的解比方程
5(x-1)-1=4(x-1)+1
的解大
2
.(1)
求第二個(gè)方程的解;(2)
求
m
的值.解:(1)
將第二個(gè)方程去括號,得
5x-5-1=4x-4+1解得
x=3.(2)
將
x=3+2=5
代入第一個(gè)方程得解得
m=22.類型三:求含字母參數(shù)的方程的解例4
(漢陽區(qū)期末)已知關(guān)于
x
的一元一次方程
x+1=2x+a
的解為
x=-1,那么關(guān)于
y
的一元一次方程
(y+2)+1=2(y+2)+a的解是
(
)
A.
y
=-1
B.
y
=1
C.
y
=-3 D.
y
=3C4.已知|n+2|+(5m-3)2=0,求關(guān)于
x
的方程10mx+4=3x+n的解.解:由|n+2|+(5m-3)2=0得n+2=0,5m-3=0.n=-2,將
m、n
的值代入方程得6x+4=3x-2.解方程得x=-2.故關(guān)于
x
的方程的解是
x=-2.專題二:一元一次方程的應(yīng)用類型一:行程問題ABC甲乙路程=速度×?xí)r間①
相遇問題:s甲+s乙=s總v甲t甲+v甲t甲=s總ABC甲乙②
追及問題:s甲-s乙=s差(v甲-v乙)t追=s差例1
(甘肅)《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問題,其譯文為:今有野鴨從南海起飛,7
天到北海;大雁從北海起飛,9
天到南海,現(xiàn)野鴨從南海、大雁從北海同時(shí)起飛,問經(jīng)過多少天相遇
?
設(shè)經(jīng)過
x
天相遇,根據(jù)題意可列方程為
(
)A例2
(連云港)元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中,記載了這樣一道題:良馬日行二百四十里,駑馬日行一百五十里,駑馬先行一十一日,問良馬幾何日追及之?其大意是:快馬每天行
240
里,慢馬每天行
150
里,慢馬先行
12
天,快馬幾天可追上慢馬?若設(shè)快馬
x
天可追上慢馬,由題意得
(
)
C.240(x-12)=150xD
D.240x=150(x+12)例3(荔灣區(qū)期末)爸爸與小明在足球場上進(jìn)行耐力訓(xùn)練,他們在400米的環(huán)形跑道上從同一起點(diǎn)沿同一方向同時(shí)出發(fā)進(jìn)行繞圈跑,爸爸跑完一圈時(shí),小明才跑完半圈,4分鐘時(shí)爸爸第一次追上小明.請問:(1)小明與爸爸的速度各是多少?(2)再過多少分鐘后,爸爸在第二次追上小明前兩人相距50米?(1)如右圖所示,分析:s爸爸-s小明=跑道長度解:(1)
設(shè)小明的速度為
x
米/分鐘,則爸爸的速度為
2x
米/分鐘,答:小明的速度為
100
米/分,爸爸的速度為
200
米/分.則
2x=200.解得:x=100,根據(jù)題意得
4(2x-x)=400,開始(2)第二次相遇前:分析:①
s爸爸-s小明=50.②
s爸爸-s小明=350.50m第一次相遇50m第一次相遇(2)
設(shè)再經(jīng)過
y
分鐘后,爸爸在第二次追上小明前兩人相距
50
米.①爸爸第一次追上小明后,在第二次相遇前,爸爸又比小明多跑了50
米,根據(jù)題意得
200y-100y=50,解得
y=0.5.50m第一次相遇答:再過0.5或3.5分鐘后,爸爸在第二次追上小明前兩人相距
50
米.②爸爸第一次追上小明后,在第二次相遇前,爸爸又比小明多跑了
350
米.根據(jù)題意得
200y-100y=350,解得
y=3.5.50m第一次相遇例4
為推進(jìn)我國“碳達(dá)峰、碳中和”雙碳目標(biāo)的實(shí)現(xiàn),各地大力推廣分布式光伏發(fā)電項(xiàng)目.某公司計(jì)劃建設(shè)一座光伏發(fā)電站,若由甲工程隊(duì)單獨(dú)施工需要3周,每周耗資8萬元,若由乙工程隊(duì)單獨(dú)施工需要6周,每周耗資3萬元.(1)若甲、乙兩工程隊(duì)合作施工,需要幾周完成?共耗資多少萬元?
(2)若需要最遲4周完成工程,請你設(shè)計(jì)一種方案,既要保證按時(shí)完成任務(wù),又要最大限度節(jié)省資金并求出該種方案需要耗資多少萬元.(時(shí)間按整周計(jì)算)類型二:工程問題解:(1)設(shè)甲、乙兩工程隊(duì)合作施工,需要
x
周完成.根據(jù)題意,得解得
x=2.
所以(8+3)×2=22(萬元).
答:甲、乙兩工程隊(duì)合作施工,需要
2
周完成,共耗資22萬元.(2)
設(shè)先由甲、乙兩工程隊(duì)合作施工
y周,剩下的由乙單獨(dú)完成.根據(jù)題意,得解得
y=1.所以
4-1=3.所以
(8+3)×1+3×3=20(萬元).答:先由甲和乙兩工程隊(duì)合作施工1
周,剩下的由乙單獨(dú)施工3周最節(jié)省資金.例5(吉林)《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問題,其譯文為:有人合伙買羊,每人出
5
錢,還缺
45
錢;每人出
7
錢,還缺
3
錢,問合伙人數(shù)是多少?為解決此問題,設(shè)合伙人數(shù)為
x
人,可列方程為_________________.5x+45=7x+3類型三:盈虧問題(補(bǔ)充)1.(南充)《孫子算經(jīng)》記載:“今有木,不知長短,引繩度之,余繩四尺五寸;屈繩量之,不足一尺,木長幾何?”(尺、寸是長度單位,1尺=10寸).意思是,現(xiàn)有一根長木,不知道其長短,用一根繩子去度量長木,繩子還剩余
4.5
尺;將繩子對折再度量長木,長木還剩余
1
尺.問長木長多少?設(shè)長木長為
x
尺,則可列方程為
(
)A例6國家速滑館“冰絲帶”,是某年北京會北京賽區(qū)標(biāo)志性、唯一新建的冰上競賽場館.某大學(xué)冬奧志愿者負(fù)責(zé)本場館的對外聯(lián)絡(luò)和文化展示服務(wù)工作,負(fù)責(zé)對外聯(lián)絡(luò)服務(wù)工作的有
17
人,負(fù)責(zé)文化展示服務(wù)工作的有
10
人,現(xiàn)在另調(diào)
20
人去兩服務(wù)處支援,使得在對外聯(lián)絡(luò)服務(wù)工作的人數(shù)比在文化展示服務(wù)的人數(shù)的
2
倍多
5
人,問應(yīng)調(diào)往對外聯(lián)絡(luò)、文化展示兩服務(wù)處各多少人?類型四:調(diào)配、配套問題(補(bǔ)充)答:應(yīng)調(diào)往對外聯(lián)絡(luò)服務(wù)處
16
人,文化展示服務(wù)處
4
人.解:設(shè)應(yīng)調(diào)往對外聯(lián)絡(luò)服務(wù)處
x
人,則調(diào)往文化展示服務(wù)處
(20-x)
人.依題意,得
17+x-2[10+(20-x
)]=5,解得
x=16,20-x=20-16=4.2.某校正在開展“創(chuàng)建和諧校園”活動,七年級(2)班
45
名同學(xué)被平均分配到甲、乙、丙三處打掃環(huán)境衛(wèi)生.甲處的同學(xué)最先完成打掃任務(wù),班級衛(wèi)生委員根據(jù)實(shí)際情況及時(shí)把甲處的同學(xué)全部調(diào)到乙丙兩處支援,調(diào)動后乙處的人數(shù)恰好為丙處人數(shù)的
1.5
倍,問從甲處調(diào)往乙、丙兩處各多少人?答:從甲處調(diào)往乙處
12
人,從甲處調(diào)往丙處
3
人.解:45÷3=15(人).設(shè)從甲處調(diào)往乙處
x
人,則從甲處調(diào)往丙處
(15-x)
人.依題意,得:15+x=1.5×(15+15-x),解得:x=12.所以
15-x=3.例7
(河南洛陽)一個(gè)三位數(shù),百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)大
1,個(gè)位上的數(shù)字比十位上數(shù)字的
3
倍少2.若將三個(gè)數(shù)字順序顛倒后,所得的三位數(shù)與原三位數(shù)的和是
1
171,求這個(gè)三位數(shù).等量關(guān)系:所得三位數(shù)+原三位數(shù)=1171.類型五:數(shù)字問題解:設(shè)十位上的數(shù)字為
x,則個(gè)位上的數(shù)字為(3x-2),百位上的數(shù)字為(x
+1).答:原三位數(shù)是
437.解得:x=3.100(x+1)+10x+(3x-2)+100(3x-2)+10x+(x+1)=1171.3.(湖北)將連續(xù)的偶數(shù)
2,4,6,8,…,排成如圖,并用一個(gè)十字形框架框住其中的五個(gè)數(shù),請你仔細(xì)觀察十字形框架中的數(shù)字的規(guī)律,并回答下列問題.(1)十字框中的五個(gè)數(shù)的和等于_____;80(2)若將十字框上下左右移動,可框柱另外的五個(gè)數(shù),設(shè)中間的數(shù)為
x
,用代數(shù)式表示十字框中的五個(gè)數(shù)的和是_____;(3)框中的五個(gè)數(shù)字之和能等于2024嗎,為什么?
解:(2)設(shè)中間的數(shù)為
x,則它的其他四個(gè)數(shù)分別表示為
x-10、x-2、x+2、x+10.他們的和為:x+x-10+x-2+x+2+x+10=5x.(3)因?yàn)榭蛑械奈鍌€(gè)數(shù)字之和是5的倍數(shù),
所以框中的五個(gè)數(shù)字之和能不能等于2024.例8
北京速滑項(xiàng)目某場次門票價(jià)格為
110
元/人,若購買團(tuán)體票有如下優(yōu)惠:購票人數(shù)不超過50人的部分超過50人,但不超過100人的部分超過100人的部分優(yōu)惠方案無優(yōu)惠每張票價(jià)優(yōu)惠20%每張票價(jià)優(yōu)惠50%類型五:分段收費(fèi)問題某中學(xué)初一年級一班和二班全體學(xué)生準(zhǔn)備去觀看該場比賽,如果兩個(gè)班作為一個(gè)團(tuán)體去購票,則應(yīng)付票款
10
175
元.請列一元一次方程解決下列問題:(1)
已知兩個(gè)班總?cè)藬?shù)超過
100
人,求兩個(gè)班總?cè)藬?shù):(2)
在(1)條件下,若一班人數(shù)多于
50
人,二班人數(shù)不足
50人,但至少
25
人,如果兩個(gè)班單獨(dú)購票,一共應(yīng)付票款11
374
元,求兩個(gè)班分別有多少人?解:(1)
設(shè)兩個(gè)班的總?cè)藬?shù)為
x
人,依題意得:50×110+50×110×(1-20%)+(x-100)×110×(1-50%)
=10
175,解得:x
=105.答:兩個(gè)班總?cè)藬?shù)為
105
人.答:一班有
58
人,二班有
47
人.(2)
設(shè)一班有
y
人,則二班有(105-y)人,依題意得:50×110+(y-50)×110×(1-20%)+(105-
y)×110=11
374,解得:y=58,則二班的人數(shù)為:105-58=47(人),4.某地出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:上車后,車輛行駛不超過
3
千米時(shí),收費(fèi)為起步價(jià)10元;超過
3
千米的部分收費(fèi)為3元/千米.如果小明某次乘坐出租車后,支付了
24.1元車費(fèi),那么他上車后車輛行駛了多少千米?解:設(shè)他上車后車輛行駛了
x
千米.根據(jù)題意得10+3(x-3)=24.1x
=7.7答:他上車后車輛行駛了7.7千米.例9
(泰山區(qū)期末)某校七年級準(zhǔn)備觀看電影,由各班班長負(fù)責(zé)買票,每班人數(shù)都多于
40
人,票價(jià)每張
30
元,一班班長問售票員買團(tuán)體票是否可以優(yōu)惠,售票員說:40
人以上的團(tuán)體票有兩種優(yōu)惠方案可選擇:方案一:全體人員可打
8
折;方案二:若打
9
折,有
5
人可以免票.(1)
若二班有
42
名學(xué)生,則他該選擇哪個(gè)方案?(2)
一班班長思考一會兒說,我們班無論選擇哪種方案要付的錢是一樣的,你知道一班有多少人嗎?類型六:方案選擇問題解:(1)由題意可得,答:一班有
45
人.解得
x=45.x×30×0.8=(x-5)×0.9×30.(2)設(shè)一班有
x
人,根據(jù)題意得,所以若二班有
42
名學(xué)生,則他該選選擇方案二.因?yàn)?/p>
1008
>
999.方案二的花費(fèi)為:(42-5)×0.9×30=999(元)
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