第16講相似基本模型專題探究之一線三等角（難度較大）（原卷版）

第16講相似基本模型專題探究之一線三等角【知識(shí)點(diǎn)睛】常見(jiàn)基本類型：同側(cè)型（通常以等腰三角形或者等邊三角形為背景）異側(cè)型模型性質(zhì)應(yīng)用：一般地：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E一般地：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到底邊的中點(diǎn)時(shí)，CF有最大值模型構(gòu)造：圖中已存在“一線三等角”，則直接應(yīng)用模型結(jié)論解題.圖中存在“一線兩等角”，補(bǔ)上“一等角”，構(gòu)造模型解題.圖中某直線上只存在1個(gè)角，補(bǔ)上“兩等角”，構(gòu)造模型解題.如果直線上只有1個(gè)角，要補(bǔ)成“一線三等角”時(shí)，該角通常是特殊角（30°、45°、60°）特征：構(gòu)造特殊角的等角時(shí)，一般是在“定線”上做含特殊角的直角三角形。“一線三等角”得到的相似，通常用外邊的兩等角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例求解長(zhǎng)度.構(gòu)造步驟：找角——通常找“特殊角”。如：30°、45°、60°等；特別地：當(dāng)tanα=1/2、1/3等特定值時(shí)，α也可以是特殊角；定線——通常以“水平線”或者“豎直線”為“一線三等角”中的“一線”；特殊角度時(shí)也可以是45°等傾斜直線；構(gòu)相似——通常以“特殊角”為“中間角”，過(guò)“中間角”的兩邊與“一線”的交點(diǎn)構(gòu)造兩個(gè)含特殊角的Rt△；例：如右圖，當(dāng)∠ABP=45°時(shí)，∵∠ABP在y軸上，∴在y軸上分別構(gòu)造兩個(gè)等腰直角三角形△AOE，△PHG，則在y軸上存在∠AEB=∠ABP=∠PBG=45°，∴△AEB∽△BGP∴模型特例——K型圖（三垂定理）性質(zhì)：性質(zhì)：普通”K型圖”可得左右兩個(gè)△相似，即△1∽△2【當(dāng)AB=BC時(shí)，△1≌△2】中點(diǎn)型”K型圖”亦可得三個(gè)△兩兩相似，即當(dāng)BD=BE時(shí)，△1∽△2∽△3以上性質(zhì)反之亦成立，即也可用于證明中點(diǎn)或角相等或線垂直。應(yīng)用：當(dāng)一個(gè)直角放在一條直線上時(shí)，通常要構(gòu)造“K型圖”解題當(dāng)一個(gè)直角放在平面直角坐標(biāo)系中時(shí)，亦常構(gòu)造“K型圖”解題由“K型圖”得到的相似比，基本都可以轉(zhuǎn)化成“特定角”的正切值來(lái)計(jì)算“K型圖”常和“A字圖”或“8字圖”類的平行相似結(jié)合在一起求長(zhǎng)度“K型圖”常見(jiàn)構(gòu)造方法：過(guò)直角訂單分別作水平或豎直的直線，再過(guò)直角兩邊頂點(diǎn)分別作直線的垂線。如圖：【類題講練】類型一圖形中已經(jīng)存在一線三等角，直接應(yīng)用模型1．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，D，E分別是BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與B，C不重合），且2∠ADE+∠BAC＝180°，若BE＝4，則CD的長(zhǎng)為．2．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE，交BC于點(diǎn)F，連接AF，則AF的最小值是（）A．5 B． C． D．33．如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD邊BC上一點(diǎn)，沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)F處．設(shè)＝x（x＞1），（1）若點(diǎn)F恰為CD邊的中點(diǎn)，則x＝．（2）設(shè)＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中．邊長(zhǎng)為4的等邊△OAB的邊OA在x軸上，C、D、E分別是AB、OB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足BD＝2AC，DE∥AB，連接CD、CE，當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為時(shí)，△CDE與△ACE相似．5．如圖，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，∠DEF＝30°，且點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)．將∠DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，射線DE與線段AB相交于點(diǎn)P，射線EF與射線CA相交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA上時(shí)，①求證：△BPE∽△CEQ；②線段BE，BP，CQ之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）當(dāng)△APQ為等腰三角形時(shí)，求的值．類型二直線上只存在“一線二等角”，補(bǔ)上“一等角”，變成“一線三等角”；或者直線上存在一個(gè)特殊角，利用特殊角構(gòu)造“一線三等角”，再利用其性質(zhì)解題6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4．矩形DEFG的頂點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AC、AB上，若tan∠DEC＝，則矩形DEFG面積的最大值＝．7．如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE，將△AED沿著DE折疊，A點(diǎn)落在F處，若EF∥AC，則AE的長(zhǎng)度是．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（12，0），點(diǎn)B（0，4），點(diǎn)P是直線y＝﹣x﹣1上一點(diǎn)，且∠ABP＝45°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．9．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y＝x上一點(diǎn)P（1，1），C為y軸上一點(diǎn)，連接PC，線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段PD，過(guò)點(diǎn)D作直線AB⊥x軸，垂足為B，直線AB與直線y＝x交于點(diǎn)A，且BD＝3AD，連接CD，直線CD與直線y＝x交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．10．如圖，正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸上，對(duì)角線相交于點(diǎn)E，AB＝2．若反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)D，E兩點(diǎn)，則k的值是．11．如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，過(guò)CB的中點(diǎn)D作DE⊥AD，交AB于點(diǎn)E，則EB的長(zhǎng)為．12．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC為直徑的半⊙O與邊AD相切于點(diǎn)E．（1）求證：∠BCE＝∠DCE；（2）若，求DE的長(zhǎng)．13．已知，如圖，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，點(diǎn)E是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，將矩形ABCD沿直線AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處．（1）若點(diǎn)F恰好落在CD邊上，如圖1，求線段BE的長(zhǎng)；（2）若BE＝1，如圖2，直接寫(xiě)出點(diǎn)F到BC邊的距離；（3）若△CEF為直角三角形，直接寫(xiě)出CE所有值．14．如圖①，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝，AD＝6，BC＝7，點(diǎn)P是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BP，作∠BPF＝∠ADC，設(shè)射線PF交線段BC于E，交射線DC于F．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）如果射線PF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（即點(diǎn)E、F與點(diǎn)C重合，如圖②所示），求AP的長(zhǎng)；（3）設(shè)AP＝x，DF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域．15．閱讀材料：小胖同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題，如圖1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝2，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝，求CD的長(zhǎng)；小胖經(jīng)過(guò)思考后，在CD上取點(diǎn)F使得∠DEF＝∠ADB（如圖2），進(jìn)而得到∠EFD＝45°，試圖構(gòu)建“一線三等角”圖形解決問(wèn)題，于是他繼續(xù)分析，又意外發(fā)現(xiàn)△CEF∽△CDE．（1）請(qǐng)按照小胖的思路完成這個(gè)題目的解答過(guò)程．（2）參考小胖的解題思路解決下面的問(wèn)題：如圖3，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，∠EAD+∠EBD＝90°，求BE：ED．【課后練習(xí)】16．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（4，0），點(diǎn)B為y軸上一點(diǎn)，連接AB，tan∠BAO＝2，點(diǎn)C，D為OB，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為射線CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)△AEB為直角三角形時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）A．（4，4）或（2+2，4） B．（4，4）或（2﹣2，4） C．（12，4）或（2+2，4） D．（12，4）或（2﹣2，4）17．如圖，矩形ABCD中，AD＝6，CD＝7，E為AD上一點(diǎn)，且AE＝2，點(diǎn)F、H分別在邊AB、CD上，四邊形EFGH為矩形，則當(dāng)△HGC為直角三角形時(shí)，AF的值是．18．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC上的點(diǎn)，∠BED+∠C＝90°，△BED與△FED關(guān)于DE對(duì)稱，則DE的長(zhǎng)為