專題38中點(diǎn)弧模型（原卷版）-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)（上冊(cè)下冊(cè)）?？碱}專練（北師大版）

專題38圓綜合之中點(diǎn)弧模型題型一中點(diǎn)弧與相似【以下【以下五個(gè)條件知一推四】點(diǎn)C是的中點(diǎn)AC＝BCOC⊥ABPC平分∠APB(即)點(diǎn)P是優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，則∠1＝∠2，∠PCB為公共角，子母型相似 【補(bǔ)充】⑥PE?PC＝PA?PB，注意：⑥不能反推出前五項(xiàng)題型二中點(diǎn)弧與旋轉(zhuǎn)【模型解讀】鄰邊相等+對(duì)角互補(bǔ)旋轉(zhuǎn)相似模型題型三中點(diǎn)弧+內(nèi)心可得等腰【模型講解】外接圓+內(nèi)心?得等腰如圖，圓O是△ABC外接圓圓心，I是三角形ABC的內(nèi)心，延長(zhǎng)AI交圓O于D，證DI＝DC＝BD【簡(jiǎn)證】∠1＝∠4＋∠5∠4＝∠3，∠2＝∠5∴∠1＝∠2＋∠3

題型四弧中點(diǎn)與垂徑定理知1推5知1推5AD平分∠CABD是的中點(diǎn)DO⊥CB題型五弧中點(diǎn)與垂徑模型（三等弧模型）【例題】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，C是的中點(diǎn)，弦CE⊥AB于點(diǎn)H，連結(jié)AD，分別交CE、BC于點(diǎn)P、Q，連結(jié)BD。(1)證CO∥BD(2)AD＝CE(3)證：P是線段AQ的中點(diǎn)(4)證：CP·CE＝AH·AB＝CQ·CB(5)tan∠DBC＝(6)若AD＝8，BD＝6，求AH的值(7)若⊙O的半徑為5，AQ＝，求弦CE的長(zhǎng)。

【簡(jiǎn)證】（1）（2）(3)先利用弧相等導(dǎo)角證AP＝CP，再通過(guò)Rt△ACQ中的互余關(guān)系，得到PQ＝CP，∴AP＝PQ＝CP（4）CP＝AP，CE＝AD?CP?CE＝AP?AD，△APH～△ABD?AP?AD＝AH?AB（5）（6）法一

（6）法二（7）找到對(duì)應(yīng)相似三角形是關(guān)鍵

【鞏固訓(xùn)練】一．中點(diǎn)弧與相似（共8小題）1．如圖，四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線、交于點(diǎn)，且，若，，則．2．如圖，已知是的直徑，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)的直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）點(diǎn)是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求的值．3．如圖，已知的半徑為2，為直徑，為弦．與交于點(diǎn)，將沿著翻折后，點(diǎn)與圓心重合，延長(zhǎng)至，使，連接．（1）求的長(zhǎng)；（2）求證：是的切線；（3）點(diǎn)為的中點(diǎn)，在延長(zhǎng)線上有一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)與、不重合）．問(wèn)是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．如圖，是的直徑，、為上位于異側(cè)的兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接交于點(diǎn)，連接、、．（1）證明：；（2）若，求的度數(shù)；（3）設(shè)交于點(diǎn)，若，是的中點(diǎn)，求的值．5．如圖，以的邊上一點(diǎn)為圓心的圓，經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，點(diǎn)為的下半圓弧的中點(diǎn)，連接交線段于點(diǎn)．，，．（1）求證：是的切線；（2）求的半徑；（3）設(shè)點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交弧于點(diǎn)與、不重合）．試問(wèn)是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是．請(qǐng)說(shuō)明理由．6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，，以為直徑的交軸于、兩點(diǎn)．（1）填空：請(qǐng)直接寫出的半徑、圓心的坐標(biāo)：；，；（2）如圖2，直線與，軸分別交于，兩點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)，，求證：直線是的切線．（3）在（2）的條件下，如圖3，點(diǎn)是優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括、兩點(diǎn)），連接、、，交于點(diǎn)．試問(wèn)，是否存在一個(gè)常數(shù)，始終滿足？如果存在，求出的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖，在中，，的垂直平分線分別與，及的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，，，且，是的外接圓，的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．（1）求證：；（2）試判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若，求的值．8．已知：如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，（1）求的值及拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過(guò)、、的三點(diǎn)的交軸于另一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的的切線分別交軸、軸于點(diǎn)、，求直線的解析式；（3）在條件（2）下，設(shè)為上的動(dòng)點(diǎn)不與、重合），連接交軸于點(diǎn)，問(wèn)是否存在一個(gè)常數(shù)，始終滿足？如果存在，請(qǐng)寫出求解過(guò)程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．二．中點(diǎn)弧與旋轉(zhuǎn)（共4小題）9．如圖，在中，是上的一點(diǎn)，，弦，弦平分交于點(diǎn)，連接，．（1）求半徑的長(zhǎng)；（2）求證：．10．如圖，已知四邊形為的內(nèi)接四邊形，平分，于點(diǎn)，，，則的值為A． B． C．2 D．11．在的內(nèi)接四邊形中，，，，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)是．12．如圖，已知是的弦，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，是弦上一動(dòng)點(diǎn)，且不與、重合，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)．（3）當(dāng)點(diǎn)在弦上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)寫出其變化范圍；如果不變，請(qǐng)求出其值．三．中點(diǎn)弧+內(nèi)心可得等腰（共6小題）13．如圖，內(nèi)心為，連接并延長(zhǎng)交的外接圓于，則線段與的關(guān)系是A． B． C． D．不確定14．如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線交的外接圓于．求證：．15．如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線與的外接圓交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，求的長(zhǎng)．16．如圖1，在中，，是的外接圓，過(guò)作，交于，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）如圖2，若點(diǎn)是的內(nèi)心，，求的長(zhǎng)．17．如圖，是的外接圓，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．18．如圖1，在中，，是的外接圓，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．（1）求證：；（2）求證：是的切線；（3）如圖2，若點(diǎn)是的內(nèi)心，，求的長(zhǎng)．四．弧中點(diǎn)與垂徑定理（共5小題）19．如圖，是的直徑，，是上的兩點(diǎn)，且平分，分別與，相交于點(diǎn)，，則下列結(jié)論不一定成立的是A． B． C． D．20．如圖，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，，求陰影部分的面積．21．如圖，是的直徑，，是上兩點(diǎn)，，．（1）如圖（1），若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)；（2）如圖（2），若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．22．如圖，是的直徑，為弦的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為5，，求的長(zhǎng)．23．如圖，為的直徑，，為圓上的兩點(diǎn)，，弦，相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．五．弧中點(diǎn)與垂徑模型（三等?。ü?小題）24．如圖，是的直徑，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為的弦，且，垂足為，連接交于點(diǎn)，連接，，．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)．25．如圖，已知是的直徑，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，切于點(diǎn)，是的弦，，垂足為．（1）求證：．（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若，，求的長(zhǎng)．26．如圖，內(nèi)接于半圓，為直徑，過(guò)點(diǎn)作直線，若．（1）求證：是半圓的切線．（2）設(shè)是弧的中點(diǎn)，連接交于，過(guò)作于，交于，求證：．（3）在（2）的條件下，若的面積為4.5，且，，試求的面積．27．如圖，為的直徑，是延長(zhǎng)線一點(diǎn)，切于點(diǎn)，是的弦，，垂足為．（1）求證：；（2）求證：；（3）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，若