專題訓(xùn)練11因式分解的常見(jiàn)技巧（原卷版）

專題訓(xùn)練十一：因式分解的常見(jiàn)技巧專題訓(xùn)練十一：因式分解的常見(jiàn)技巧◆◆◆◆類型一：運(yùn)用提公因式法分解因式●●【典例一】（2022春?鶴城區(qū)期末）把下列多項(xiàng)式因式分解：（1）﹣8m2+16m﹣8．（2）x（x﹣3）﹣2（3﹣x）．◆變式1：（2022春?濟(jì)陽(yáng)區(qū)期中）把下列各式進(jìn)行因式分解：（1）x2+xy；（2）﹣4b2+2ab；（3）3ax﹣12bx+3x；（4）6ab3﹣2a2b2+4a3b．◆變式2：（2022春?寧遠(yuǎn)縣月考）因式分解：18（a﹣b）2﹣12（b﹣a）；◆變式3：分解因式：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）◆變式4：因式分解：3（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2．◆◆◆◆類型二：運(yùn)用公式法分解因式●●【典例二】分解因式（1）（a2+1）2﹣4a2（2）9（a+b）2﹣25（a﹣b）2．●●【典例三】（2022春?永定區(qū)期中）因式分解：（1）4x2﹣2x+14；（2）（m2+n2）2﹣4m2n◆變式5：（2022秋?農(nóng)安縣期中）下列多項(xiàng)式不能用平方差公式分解因式的是（）A．1﹣a2 B．x2﹣25 C．a(chǎn)2b2﹣m2n2 D．﹣a2﹣9b2◆變式6：（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期中）下列多項(xiàng)式中可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解的（）A．x2+x+1 B．x2﹣2x﹣1 C．x2+2x+4 D．x2﹣x+◆變式7：分解因式:（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2．◆變式8：（2022春?常州期中）因式分解：（1）m4﹣1；（2）a4﹣8a2b2+16b4．◆變式9：（2022春?鐘樓區(qū)期中）因式分解：（1）7x2﹣63；（2）（a+b）2+6（a+b）+9；（3）16﹣（2a+3b）2；（4）（x2﹣4x）2+8（x2﹣4x）+16．◆◆◆◆類型三：先提公因式后再運(yùn)用公式法分解因式●●【典例四】分解因式：（1）a2b﹣b3（2）a2（x+y）﹣x﹣y◆變式10：（2022春?丹陽(yáng)市期末）分解因式：（1）a3﹣2a2b+ab2；（2）a2（1﹣b）+b2（b﹣1）．◆變式11：分解因式：（a﹣b）（a2﹣ab+b2）+ab（b﹣a）◆變式12：（2021秋?科爾沁區(qū)期中）分解因式（1）a2（x﹣1）+b2（1﹣x）；（2）（x2﹣5）2+8（5﹣x2）+16．◆變式13：（2022春?漣源市校級(jí)期末）因式分解：（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．◆◆◆◆類型四：先去（添）括號(hào)后分解因式●●【典例五】（2021秋?高青縣期末）將下列多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：（1）（a﹣b）（a﹣4b）+ab（2）（x﹣1）2+2（x﹣5）．◆變式14：分解因式：（1）9x2﹣（6xy﹣y2）；（4）（x﹣1）（x﹣3）+1．◆變式15：分解因式：（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1．◆◆◆◆類型五：運(yùn)用分組分解法分解因式●●【典例六】閱讀：將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．例如：①am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）②x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）試用上述方法分解因式（1）mx﹣2ny﹣nx+2my；（2）4x2﹣4x﹣y2+1．◆變式16：把下列多項(xiàng)式分解因式：（1）a2+4ab+4b2﹣ac﹣2bc．（2）ax2+bx2+bx+ax+cx2+cx．（3）a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx．◆變式17：（2021春?左權(quán)縣月考）閱讀下列材料：提取公因式法和公式法是初中階段最常用分解因式的方法，但有些多項(xiàng)式只單純用上述方法就無(wú)法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我們細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前三項(xiàng)符合完全平方公式，進(jìn)行變形后可以與第四項(xiàng)結(jié)合再運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解，過(guò)程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．這種分解因式的方法叫“分組分解法”，利用這種分組的思想方法解決下列問(wèn)題：（1）分解因式：x2﹣9y2﹣2x+6y；（2）有人說(shuō)，無(wú)論x，y取何實(shí)數(shù)，代數(shù)式去x2+y2﹣10x+8y+45的值總是正數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由．◆◆◆◆類型六：運(yùn)用十字相乘法分解因式●●【典例七】閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形，由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）；利用這個(gè)式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式，例如：將式子x2﹣x﹣6分解因式．這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)﹣6＝2×（﹣3），一次項(xiàng)系數(shù)﹣1＝2+（﹣3），這個(gè)過(guò)程可用十字相乘的形式形象地表示：先一次項(xiàng)系數(shù)，分別寫(xiě)在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫(xiě)在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)．如圖所示．這種分解二次三項(xiàng)式的方法叫“十字相乘法”，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察，分析理解后，解答下列問(wèn)題．（1）分解因式：①x2﹣11x+18；②x3+2x2﹣3x；③b4﹣b2﹣12．（2）若x2+px﹣8可分解為兩個(gè)一次因式的積，試求出整數(shù)p的所有可能的值．◆變式18：將下列各式分解因式：（1）x2﹣5x+6；（2）10x2+x﹣21；（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12．◆變式19：（2022秋?楊浦區(qū)期中）分解因式：（x2﹣1）2﹣x2﹣5．◆◆◆◆類型七：因式分解的應(yīng)用●●【典例八】（2021秋?鄖西縣期末）先閱讀下列材料，再解答下列問(wèn)題：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，令x+y＝A，則原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再將“A”還原，得原式＝（x+y+1）2．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）因式分解：1+2（2x﹣3y）+（2x﹣3y）2．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；◆變式20：已知x+2y＝3，x﹣2y＝5，求x2﹣4y2﹣8的值．◆變式21：如圖，邊長(zhǎng)為a，b的長(zhǎng)方形，它的周長(zhǎng)為14，面積為10，求下列各式的值．（1）a2b+ab2（2）a2+b2+2ab．◆變式22：利用因式分解計(jì)算：（1?122）（1?132）（1?1◆變式23：閱讀下列文字與例題：將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．例如：（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）參考上面的方法解決下列問(wèn)題：（1）a2+2ab+ac+bc+b2＝；（2）△ABC三邊a、b、c滿足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判斷△ABC的形狀．專題突破練專題突破練1．因式分解：6x3y﹣12xy2+3xy＝．2．（2022春?城陽(yáng)區(qū)期中）分解因式：a4﹣81b4＝．3．（2022?武進(jìn)區(qū)校級(jí)一模）分解因式：x4﹣8x2y2+16y4＝．4．（2022秋?東平縣校級(jí)月考）若a+b＝1，x﹣y＝2，則a2+2ab+b2﹣x+y＝．5．（2022春?雅安期末）已知x＝y(tǒng)+3，則代數(shù)式x2﹣2xy+y2﹣20的值．6．因式分解：（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）（2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）7．先分解因式，再求值：2（x﹣5）2﹣6（5﹣x），其中x＝7．8．（2022秋?文登區(qū)期中）因式分解：（1）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；（3）64x2y2﹣（x2+16y2）2；（4）（x2﹣x）（x2﹣x﹣8）+12．9．分解因式：x4﹣5x2+4．10．已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求x2﹣6xy+9y2的值．11．（2021秋?古冶區(qū)期末）觀察下列因式分解的過(guò)程：x2+2ax﹣3a2＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2（先加入a2，再減去a2）＝（x+a）2﹣4a2（運(yùn)用完全平方公式）＝（x+a+2a）（x+a﹣2a）（運(yùn)用平方差公示）＝（x+3a）（x﹣a）．像上面這樣通過(guò)加減項(xiàng)配出完全平方式，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做配方法．請(qǐng)你用配方法分解因式：x2﹣4xy+3y2．12．（2021秋?泰山區(qū)期中）先閱讀下列材料，再解答下列問(wèn)題：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，設(shè)x+y＝m，則原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．再將x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法．請(qǐng)你寫(xiě)出下列因式分解的結(jié)果：（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝；（2）因式分解：25（a﹣1）2﹣10（a﹣1）+1＝；（3）因式分解：（y2﹣4y）（y2﹣4y+8）+16＝．13．（2022春?甘州區(qū)校級(jí)期末）已知a、b、c是△ABC的三邊的長(zhǎng)，且滿足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，試判斷此三角形的形狀．14．（2022秋?萊西市期中）[閱讀材料]下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4進(jìn)行因式分解的過(guò)程．設(shè)x2﹣4x＝y(tǒng)，原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y(tǒng)2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）請(qǐng)問(wèn)：（1）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否正確？若不正確，請(qǐng)直接寫(xiě)出因式分解的最后結(jié)果．（2）請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式（a2﹣2a）（a2﹣2a+2）+1進(jìn)行因式分解．15．（2021春?秦都區(qū)月考）先閱讀下面的材料，再解決問(wèn)題：要把多項(xiàng)式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它的前兩項(xiàng)分成一組，并提出a；把它的后兩項(xiàng)分成一組，并提出b，從而得至a（m+n）+b（m+n）．這時(shí)，由于a（m+n）+b（m+n），又有因式（m+n），于是可提公因式（m+n），從而得到（m+n）（a+b）．因此有am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．這種因式分解的方法叫做分組分解法．請(qǐng)用上面材料中提供的方法解決問(wèn)題：（1）將多項(xiàng)式ab﹣ac+b2﹣bc分解因式；（2）若△ABC的三邊a、b、c滿足條件：a4﹣b4+a2c2+b2c2＝0，試判斷△ABC的形狀．16．先閱讀下列因式分解的過(guò)程，再回答所提出的問(wèn)題：例1：1+ax+ax（1+ax）＝（1+ax）（1+ax）＝（1+ax）2；例2：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2＝（1+ax）（1+ax）+ax（1+ax）2＝（1+ax）2+ax（1+ax）2＝（1+ax）2（1+ax）＝（1+ax）3（1）分解因式：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n＝；（2）分解因式：x﹣1﹣x（x﹣1）+x（x﹣1）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004（答題要求：請(qǐng)將第（1）問(wèn)的答案填寫(xiě)在題中的橫線上）17．（2022秋?安溪縣期中）對(duì)于形如x2+2ax+a2可用“配方法”將它分解成（x+a）2的形式，如在二次三項(xiàng)式x2+2ax﹣3a2中先加上一項(xiàng)a2，使