第2講圖形的變化（二）（旋轉(zhuǎn)與中心對稱）（題型精講）（原卷版）

第2講圖形的變化（二）（旋轉(zhuǎn)與中心對稱）（精講）目錄第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象題型二：旋轉(zhuǎn)三要素角度1：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點角度2：旋轉(zhuǎn)中心的個數(shù)題型三：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)角度1：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解角度2：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明線段（角）相等題型四：畫（設(shè)計）旋轉(zhuǎn)圖形題型五：旋轉(zhuǎn)對稱圖形角度1：旋轉(zhuǎn)對稱圖形的識別角度2：求旋轉(zhuǎn)對稱圖形的旋轉(zhuǎn)角度題型六：坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)問題角度1：求繞原點旋轉(zhuǎn)的點的坐標(biāo)角度2：求繞某點（非原點）旋轉(zhuǎn)的點的坐標(biāo)角度3：求繞原點旋轉(zhuǎn)一定角度的點的坐標(biāo)題型七：旋轉(zhuǎn)綜合題角度1：線段問題角度2：面積問題角度3：角度問題題型八：中心對稱題型九：中心對稱的性質(zhì)角度1：畫已知圖形關(guān)于某點對稱的圖形角度2：畫兩個圖形的對稱中心角度3：根據(jù)中心對稱的性質(zhì)求面積，線段，角度題型十：中心對稱圖形角度1：中心對稱圖形的識別角度2：判斷中心對稱圖形的對稱中心角度3：補全圖形使之成為中心對稱圖形題型十一：關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)角度1：求關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)角度2：已知兩點關(guān)于原點對稱求參數(shù)角度3：判斷兩個點是否關(guān)于原點對稱題型十二：說出一個圖形到另一個圖形的運動過程題型十三：按圖形的變換要求畫出另一圖形第四部分：中考真題感悟第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶知識點一：旋轉(zhuǎn)1、定義：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點旋轉(zhuǎn)一定的角度，這樣的圖形運動稱為圖形的旋轉(zhuǎn)，這個定點稱為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角2、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角都等于旋轉(zhuǎn)角③旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等3、圖示：知識點二：中心對稱1、定義：如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與另一個圖形重合，那么我們就說，這兩個圖形成中心對稱。2、說明：①中心對稱是指兩個全等圖形之間的相互位置關(guān)系，這兩個圖形關(guān)于一點對稱，這個點是對稱中心；②成中心對稱的兩個圖形中，其中一個上所有點關(guān)于對稱中心的對稱點都在另一個圖形上，反之，另一個圖形上所有點的對稱點，又都在這個圖形上3、圖示：4、性質(zhì)：①關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。②關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。③關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或者在同一直線上）且相等。知識點三：中心對稱圖形1、定義：如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合，那么我們就說，這個圖形成中心對稱圖形。2、說明：①中心對稱圖形是指一個圖形本身成中心對稱；②中心對稱圖形上所有點關(guān)于對稱中心的對稱點都在這個圖形本身上3、圖示：第二部分：課前自我評估測試1．（2023秋·遼寧鞍山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)65°得到，若，則的度數(shù)是（

）A．30° B．35° C．40° D．45°2．（2023秋·貴州安順·九年級統(tǒng)考期末）以下是回收、綠色包裝、節(jié)水、低碳四個標(biāo)志，其中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（2023秋·河北張家口·八年級張家口市第一中學(xué)?？计谀┫铝袌D標(biāo)中，既是中心對稱又是軸對稱的圖標(biāo)是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·山東泰安·八年級校考期末）點P關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為，那么點P關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．5．（2023秋·湖南常德·九年級校聯(lián)考期末）如圖，直線與軸、軸分別交于，兩點，把繞點按逆時針旋轉(zhuǎn)后得到，則點的坐標(biāo)是_______．6．（2023秋·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到，若，則___________．第三部分：典型例題剖析題型一：生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象典型例題例題1．（2023春·八年級單元測試）如圖，由所給圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)不能得到的是（

）A． B． C． D．例題2．（2022秋·浙江·九年級期中）如圖是經(jīng)典微信表情，下列選項是由該圖經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的是（

）A． B． C． D．同類題型歸類練1．（2023秋·山西朔州·九年級統(tǒng)考期末）在如圖所示的人眼成像的示意圖中，可能沒有蘊含的初中數(shù)學(xué)知識是（

）A．位似圖形 B．相似三角形的判定 C．旋轉(zhuǎn) D．平行線的性質(zhì)2．（2022秋·九年級課時練習(xí)）4張撲克牌如圖（1）所示放在桌子上，小敏把其中兩張旋轉(zhuǎn)180°后得到如圖（2）所示，那么她所旋轉(zhuǎn)的牌從左起是（

）A．第一張、第二張B．第二張、第三張C．第三張、第四張D．第四張、第一張題型二：旋轉(zhuǎn)三要素角度1：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點典型例題例題1．（2023秋·湖南長沙·九年級?？奸_學(xué)考試）在如圖4×4的正方形網(wǎng)格中，繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到，則其旋轉(zhuǎn)中心可能是（）A．點A B．點B C．點C D．點D例題2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，為等邊三角形內(nèi)部一點，旋轉(zhuǎn)后能與重合．(1)旋轉(zhuǎn)中心是______，旋轉(zhuǎn)角是______度．(2)連接，是什么三角形？并說明你的理由．角度2：旋轉(zhuǎn)中心的個數(shù)典型例題例題1．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，如果將正方形甲旋轉(zhuǎn)到正方形乙的位置，可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例題2．（2022春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在4×4的網(wǎng)格紙中，的三個頂點都在格點上，現(xiàn)要在這張網(wǎng)格紙的四個格點，，，中找一點作為旋轉(zhuǎn)中心．將繞著這個中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)前后的兩個三角形成中心對稱，且旋轉(zhuǎn)后的三角形的三個頂點都在這張4×4的網(wǎng)格紙的格點上，那么滿足條件的旋轉(zhuǎn)中心有（）A．點，點 B．點，點 C．點，點 D．點，點題型二同類題型歸類練1．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，正方形旋轉(zhuǎn)后能與正方形重合，那么點，，，中，可以作為旋轉(zhuǎn)中心的有______個．2．（2023秋·山東泰安·八年級?？计谀┤鐖D，已知點，，，，連接，．將線段繞著某一點旋轉(zhuǎn)一定角度，使其與線段重合（點A與點C重合，點B與點D重合），則這個旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為__________．3．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，和都是等邊三角形.（1）沿著______所在的直線翻折能與重合；（2）如果旋轉(zhuǎn)后能與重合，則在圖形所在的平面上可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點是______；（3）請說出2中一種旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)______.4．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與重合，且點C恰好是的中點，（注：三角形內(nèi)角和為180°）(1)旋轉(zhuǎn)中心是點____________，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為_____________；(2)求出的度數(shù)和的長．題型三：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)角度1：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解典型例題例題1．（2023秋·重慶江津·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，若且于點，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．例題2．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖，繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)后得，如果點、、在一直線上，且，那么、兩點間的距離是_________．角度2：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明線段（角）相等典型例題例題1．（2023秋·廣東廣州·九年級廣州市番禺區(qū)鐘村中學(xué)校考期末）如圖，在中，，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后得到的（點B的對應(yīng)點是點，點C的對應(yīng)點是點），連接．若，則的大小是______．例題2．（2023秋·廣東廣州·九年級廣州白云廣雅實驗學(xué)校?？计谀┤鐖D，在等腰直角中，，是由繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接、．(1)求證：；(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為40°時，求的度數(shù)．題型三同類題型歸類練1．（2023秋·重慶潼南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，若點D在線段的延長線上，則的大小是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·遼寧鞍山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，將繞直角頂點順時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，，分別是，的中點，已知，，求線段的長_________．3．（2022秋·天津紅橋·九年級?？计谀┤鐖D，已知，D是上一點，E是延長線上一點，將繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)，恰好能與重合．若，則旋轉(zhuǎn)角為________．4．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，連接BD，CE．求證：△ADB∽△AEC．5．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？计谥校┤鐖D，是正方形內(nèi)的一點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．(1)如圖①，求證；(2)如圖②，延長交直線于點，交于點，求證；題型四：畫（設(shè)計）旋轉(zhuǎn)圖形典型例題例題1．（2022春·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期中）下列圖標(biāo)中，由一個基本圖形通過平移設(shè)計得到的是（）A． B． C． D．例題2．（2023秋·廣東廣州·九年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中的三個頂點坐標(biāo)分別為．(1)畫出關(guān)于原點成中心對稱的，并寫出點的坐標(biāo)；(2)畫出將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)所得的，并寫出點的坐標(biāo)．例題3．（2023秋·廣東廣州·九年級廣州市番禺區(qū)鐘村中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，三個頂點都在格點上，點，，的坐標(biāo)分別為，，．解答下列問題：(1)畫出關(guān)于原點對稱的，并寫出點的坐標(biāo)；(2)畫出繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的．同類題型歸類練1．（2022秋·山東淄博·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是一個裝飾物品連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個呈現(xiàn)出來的圖形是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）風(fēng)力發(fā)電是一種綠色可持續(xù)的能源獲取方式，我國近年來在西部地區(qū)大力發(fā)展風(fēng)電產(chǎn)業(yè)，如圖的風(fēng)力發(fā)電轉(zhuǎn)子葉片圖案繞中心旋轉(zhuǎn)n°后能與原來的圖案重合，那么n的值可能是（）A．60 B．90 C．120 D．1503．（2023秋·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點都在格點上．(1)畫出繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)后的．(2)求線段在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的圖形面積．4．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）規(guī)定：在平面內(nèi)，如果一個圖形繞一個定點旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°＜α≤180°）后能與自身重合，那么就稱這個圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，轉(zhuǎn)動的這個角度α稱為這個圖形的一個旋轉(zhuǎn)角．例如：正方形繞著兩條對角線的交點O旋轉(zhuǎn)90°或180°后，能與自身重合（如圖1），所以正方形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，且有兩個旋轉(zhuǎn)角．根據(jù)以上規(guī)定，回答問題：（1）下列圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是________；A．矩形

B．正五邊形

C．菱形

D．正六邊形（2）下列圖形中，是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，且有一個旋轉(zhuǎn)角是60度的有：________（填序號）；

（3）下列三個命題：①中心對稱圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形；②等腰三角形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形；③圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，其中真命題的個數(shù)有（

）個；A．0

B．1

C．2

D．3（4）如圖2的旋轉(zhuǎn)對稱圖形由等腰直角三角形和圓構(gòu)成，旋轉(zhuǎn)角有45°，90°，135°，180°，將圖形補充完整．題型五：旋轉(zhuǎn)對稱圖形角度1：旋轉(zhuǎn)對稱圖形的識別典型例題例題1．（2022秋·安徽六安·九年級?？茧A段練習(xí)）下列圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形的是（）A． B．C． D．例題2．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）下列圖形中，是旋轉(zhuǎn)對稱圖形的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個角度2：求旋轉(zhuǎn)對稱圖形的旋轉(zhuǎn)角度典型例題例題1．（2023春·八年級單元測試）圖中的五角星圖案，繞著它的中心旋轉(zhuǎn)后，能與自身重合，則的值至少是（

）A．144 B．120 C．72 D．60例題2．（2022秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）如圖，將邊長為的正六邊形在直線上由圖1的位置按順時針方向向右作無滑動滾動，當(dāng)?shù)谝淮螡L動到圖2位置時，頂點所經(jīng)過的路徑的長為（）A． B．C． D．例題3．（2022春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）一副三角板如圖1擺放，，，，點在上，點A在上，且平分，現(xiàn)將三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)點落在射線上時停止旋轉(zhuǎn)）．(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為______時，；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，與的交點記為，如圖2，若中有兩個內(nèi)角相等，求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；(3)當(dāng)邊與邊、有交點時，如圖3，連接，設(shè)，，，試求．題型五同類題型歸類練1．（2023秋·北京·九年級清華附中?？计谥校┤鐖D，香港特別行政區(qū)標(biāo)志紫荊花圖案繞中心旋轉(zhuǎn)°后能與原來的圖案互相重合，則的最小值為（

）A．45 B．60 C．72 D．1442．（2022秋·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期中）把一個平面圖形繞著平面上一個定點旋轉(zhuǎn)α度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角．生活中的旋轉(zhuǎn)對稱圖形有很多，善于捕捉生活中的這些美麗的圖形，積累素材，可以為今后設(shè)計圖案打下基礎(chǔ)，下列正多邊形，繞其中心旋轉(zhuǎn)一定角度后與自身重合，其中旋轉(zhuǎn)角度最小的是（）A． B． C． D．3．（2022秋·江西南昌·九年級統(tǒng)考期中）如圖，將其繞著某點旋轉(zhuǎn)，能與自身重合，則______．4．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)部有兩個大小相同的長方形AEFG、HMCN，HM與EF相交于點P，HN與GF相交于點Q，AG=CM=x，AE=CN=y．（1）用含有x、y的代數(shù)式表示長方形AEFG與長方形HMCN重疊部分的面積S四邊形HPFQ，并求出x應(yīng)滿足的條件；（2）當(dāng)AG=AE，EF=2PE時，①AG的長為_______；②四邊形AEFG旋轉(zhuǎn)后能與四邊形HMCN重合，請指出該圖形所在平面內(nèi)能夠作為旋轉(zhuǎn)中心的所有點，并分別說明如何旋轉(zhuǎn)的．題型六：坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)問題角度1：求繞原點旋轉(zhuǎn)的點的坐標(biāo)典型例題例題1．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到點，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·山西晉中·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，的位置如圖所示，其中，，．(1)將向左平移6個單位長度，點，，的對應(yīng)點分別為點，，，畫出平移后得到的；(2)將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)90°，點，，的對應(yīng)點分別為點，，，畫出旋轉(zhuǎn)后得到的，并直接寫出點，，的坐標(biāo)．角度2：求繞某點（非原點）旋轉(zhuǎn)的點的坐標(biāo)典型例題例題1．（2023秋·河南信陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，的頂點均在小正方形的格點上，請完成下列問題：(1)如果關(guān)于原點的中心對稱圖形是，請寫出點，，的坐標(biāo)；(2)如果繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到了，請寫出點，的坐標(biāo)．例題2．（2023秋·廣東珠?！ぞ拍昙壭？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中的位置如圖所示：(1)畫出關(guān)于原點對稱的；(2)將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，畫出旋轉(zhuǎn)后的．角度3：求繞原點旋轉(zhuǎn)一定角度的點的坐標(biāo)典型例題例題1．（2023秋·河南鄭州·九年級鄭州市第七十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知菱形的頂點，，若菱形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)，則第2022秒時，菱形的對角線交點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點，點，把繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，得，其中，點，分別為點，旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，記旋轉(zhuǎn)角為．(1)如圖，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；(2)當(dāng)軸時，求點的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．題型六同類題型歸類練1．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知點，點O為坐標(biāo)原點，連接，將線段按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段，則點的坐標(biāo)______．2．（2022秋·浙江金華·九年級?？计谥校┤鐖D所示，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，把繞點A旋轉(zhuǎn)后得到，則點的坐標(biāo)是_________．3．（2022秋·河南安陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形的頂點，，對角線交于點H，將正方形以原點O為旋轉(zhuǎn)中心，作以下變換：第一次逆時針旋轉(zhuǎn)，第二次再順時針旋轉(zhuǎn)，第三次繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，第四次依然順時針旋轉(zhuǎn)，……，重復(fù)這樣的過程，當(dāng)旋轉(zhuǎn)30次后，點H的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．4．（2023秋·廣東廣州·九年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點均在格點上，，，，將繞坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)得到．(1)畫出；(2)求線段掃過的面積．（結(jié)果保留）5．（2022秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，．(1)畫出向右平移5個單位長度得到的圖形，并直接寫出，的坐標(biāo)；(2)畫出繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的圖形，并寫出，的坐標(biāo)．題型七：旋轉(zhuǎn)綜合題角度1：線段問題典型例題例題1．（2023秋·上海徐匯·八年級校聯(lián)考期末）在中，，，，如圖所示.如果將繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，其中點、的對應(yīng)點分別為點、，聯(lián)結(jié)，那么的長等于_______________.例題2．（2023秋·廣東廣州·八年級校考期末）如圖．在矩形中，，．點在線段上運動（含、兩點），連接，以點為中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，則線段的最小值為________．角度2：面積問題典型例題例題1．（2023·江西·九年級專題練習(xí)）如圖，將邊長為的正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)30°，那么圖中陰影部分的面積為()A．3 B． C． D．例題2．（2023秋·湖南長沙·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個頂點的坐標(biāo)分別是．(1)作出關(guān)于點O對稱的圖形；(2)以點O為旋轉(zhuǎn)中心，將順時針旋轉(zhuǎn)，得到，在坐標(biāo)系中畫出．(3)若將向左平移4個單位，求掃過的面積．例題3．（2022秋·河南安陽·九年級統(tǒng)考期中）（1）如圖1，在正方形中，點，分別在邊，上，若，則，，之間的數(shù)量關(guān)系為________________；（提示：以點為旋轉(zhuǎn)中心，將順時針旋轉(zhuǎn)90°）解決問題：（2）如圖2，若把（1）中的正方形改為等腰直角三角形，，，是底邊上任意兩點，且滿足，試探究，，之間的關(guān)系；拓展應(yīng)用：（3）如圖3，若把（1）中的正方形改為菱形，，菱形的邊長為，，分別為邊，上任意兩點，且滿足，請直接寫出四邊形的面積．角度3：角度問題典型例題例題1．（2023秋·山東泰安·八年級校考期末）如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)角100°，得到，若點恰好在的延長線上，則等于_______度．例題2．（2022春·陜西西安·八年級西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，平行四邊形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)32°，得到平行四邊形，點恰好落在邊上，和交于點，則的度數(shù)是_____．例題3．（2022秋·吉林長春·八年級?？计谀咎岢鰡栴}】在一次數(shù)學(xué)探究活動中，李老師給出了一道題．如圖①，點是等邊內(nèi)的一點，連接、、．當(dāng)，，時，求的度數(shù)．【解決問題】小明在解決此題時，將點繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到點，連接、、，并結(jié)合已知條件證得．請利用小明的作法及結(jié)論求的度數(shù)．【方法應(yīng)用】如圖②，點是正方形內(nèi)一點，連接、、．若，，，則______________°．題型七同類題型歸類練1．（2022秋·福建福州·九年級?？计谀┤鐖D，，，直線與交于點H，在繞C點旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最大值是（

）A．1 B． C．2 D．2．（2022秋·貴州黔東南·九年級校聯(lián)考期中）如圖，點是等邊三角形內(nèi)一點，若，，，則（）A． B． C． D．3．（2022秋·江西宜春·九年級?？计谥校┤鐖D，將邊長為的正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)30°到的位置，則陰影部分的面積是___________．4．（2022秋·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形中，，將矩形繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形．當(dāng)點恰好落在邊上時，旋轉(zhuǎn)角為a，連接，若，求旋轉(zhuǎn)角a的大小及的長．5．（2022秋·北京大興·九年級統(tǒng)考期中）在正方形ABCD中，，點E在邊AB上，且，將線段DE繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段DF，連接(1)如圖1，若點F恰好落在邊BC的延長線上，判斷的形狀，并說明理由；(2)若點F落在直線BC上，請直接寫出的面積.6．（2022秋·河北邯鄲·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖①所示，將一個邊長為2的正方形和一個長為2、寬為1的長方形拼在一起，構(gòu)成一個大的長方形．現(xiàn)將小長方形繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至長方形，旋轉(zhuǎn)角為．(1)當(dāng)點恰好落在邊上時，求旋轉(zhuǎn)角的值；(2)如圖②，G為中點，且，求證：；(3)小長方形繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，與能否全等？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角的值；若不能，說明理由．題型八：中心對稱典型例題例題1．（2022秋·湖北恩施·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，與關(guān)于點成中心對稱，則下列結(jié)論中不成立的是（

）A．點與點是對稱點 B．C． D．例題2．（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級濟(jì)寧市第十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，將繞點旋轉(zhuǎn)180°得到，設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．同類題型歸類練1．（2022秋·山西大同·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，畫關(guān)于點O成中心對稱的圖形時，由于緊張對稱中心選錯，畫出的圖形是，請你找出此時的對稱中心是（）A． B． C． D．2．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，和關(guān)于點E成中心對稱，則點E坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·九年級單元測試）如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，E是CD上一點，點D與點C關(guān)于點E中心對稱，連接AE并延長，與BC延長線交于點F．(1)填空：E是線段CD的，點A與點F關(guān)于點成中心對稱，若AB＝AD+BC，則△ABF是三角形．(2)四邊形ABCD的面積為12，求△ABF的面積．題型九：中心對稱的性質(zhì)角度1：畫已知圖形關(guān)于某點對稱的圖形典型例題例題1．（2023秋·福建廈門·九年級廈門市華僑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知：在坐標(biāo)平面內(nèi)，三個頂點的坐標(biāo)分別為，，（正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長是1個單位長度）．(1)作出繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到的；(2)作出關(guān)于原點成中心對稱的．例題2．（2023秋·湖南湘西·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，的位置如圖所示．（每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形）(1)畫出△ABC關(guān)于原點對稱的；(2)將繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后得到的，并直接寫出此過程中點運動的路徑長度．（結(jié)果保留）角度2：畫兩個圖形的對稱中心典型例題例題1．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，與關(guān)于點中心對稱，但點不慎被涂掉了，請你幫排版工人找到對稱中心的位置．例題2．（2022·寧夏銀川·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，和關(guān)于點成中心對稱．(1)在圖中標(biāo)出點，寫出點的坐標(biāo)；(2)點是邊上一點，經(jīng)過平移后點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，請畫出上述平移后的，并寫出點的坐標(biāo)；(3)若和關(guān)于點成位似三角形，寫出點的坐標(biāo)．角度3：根據(jù)中心對稱的性質(zhì)求面積，線段，角度典型例題例題1．（2023秋·湖北武漢·九年級武漢一初慧泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，與關(guān)于點成中心對稱，，，，則的長是______．例題2．（2022秋·福建福州·九年級?？计谥校┤鐖D，與關(guān)于點成中心對稱，已知，，，則的長為_____．例題3．（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）用四塊相同的大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成如圖所示的圖案，大正方形地磚邊長為，小正方形地磚邊長為．依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形，則正方形的面積為__________．（用含，的代數(shù)式表示）例題4．（2022秋·廣東廣州·九年級廣州市第七十五中學(xué)?？计谀┤鐖D，正方形網(wǎng)格中，每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，的三個頂點都在格點上，結(jié)合所給的平面直角坐標(biāo)系解答下列問題：(1)以坐標(biāo)原點為對稱中心，畫出與成中心對稱的；(2)求的面積．題型九同類題型歸類練1．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，與關(guān)于點D成中心對稱，連接AB，以下結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·廣西河池·九年級統(tǒng)考期中）如圖所示的兩個三角形是以點A為對稱中心的中心對稱圖形，若，，，則的長度為_____．3．（2022秋·上海徐匯·七年級上海市徐匯中學(xué)校聯(lián)考期末）在邊長為1的正方形網(wǎng)格中：(1)畫出關(guān)于點的中心對稱圖形．(2)與的重疊部分的面積為4．（2022秋·廣東廣州·九年級中山大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，三個頂點的坐標(biāo)分別為，，．(1)在平面直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)為，請在平面直角坐標(biāo)系中畫出關(guān)于點P成中心對稱的新圖形．(2)請直接寫出以O(shè)為位似中心，與位似比為時頂點的坐標(biāo)．5．（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級濟(jì)寧市第十五中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，，請按下列要求畫圖：(1)將先向右平移4個單位長度、再向下平移1個單位長度，得到，畫出；(2)畫出與關(guān)于原點O成中心對稱的，并直接寫出點的坐標(biāo)．題型十：中心對稱圖形角度1：中心對稱圖形的識別典型例題例題1．（2023秋·九年級統(tǒng)考期末）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．例題2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）下列汽車標(biāo)志中，可以看作是中心對稱圖形的是A．B．C．D．角度2：判斷中心對稱圖形的對稱中心典型例題例題1．（2022春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，兩個“心”形有一個公共點，且點在同一條直線上，，下列說法中：①這兩個“心”形關(guān)于點成中心對稱；②點是以點為對稱中心的一對對稱點；③這兩個“心”形成軸對稱，對稱軸是過點且與直線垂直的直線和直線；④若把這兩個“心”形看作一個整體，則它又是一個中心對稱圖形，正確的有__________．（只填你認(rèn)為正確的說法的序號）例題2．（2022秋·甘肅平?jīng)觥ぞ拍昙壭？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，若與關(guān)于點成中心對稱，則對稱中心點的坐標(biāo)是______．角度3：補全圖形使之成為中心對稱圖形典型例題例題1．（2023秋·廣東肇慶·九年級校考階段練習(xí)）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，、、三點坐標(biāo)分別為，，，（1）畫出關(guān)于原點成中心對稱的中心對稱圖形；（2）寫出、、三點的坐標(biāo)．例題2．（2022秋·山西大同·九年級統(tǒng)考期中）已知：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個頂點的坐標(biāo)分別為（正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長是1個單位長度）．(1)是繞點________________逆時針旋轉(zhuǎn)________________度得到的，的坐標(biāo)是________________；(2)小亮想以為基本圖案，設(shè)計一副美麗的圖案：①以點C為旋轉(zhuǎn)中心，將順時針旋轉(zhuǎn)得到；②以點C為對稱中心，畫出與關(guān)于點C對稱的．請你替小亮在圖中畫出和．題型十同類題型歸類練1．（2022秋·福建福州·九年級閩清天儒中學(xué)校考階段練習(xí)）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·九年級單元測試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的頂點都在格點上，△MNP與△M1N1P1是關(guān)于某一點中心對稱，則對稱中心的坐標(biāo)為_____.3．（2022秋·廣西柳州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小方格都是邊長為1的正方形的三個頂點都在格點上，結(jié)合所給的平面直角坐標(biāo)系解答下列問題(1)的面積為；(2)以坐標(biāo)原點為對稱中心，畫出與成中心對稱的圖形．并寫出坐標(biāo).4．（2022秋·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．(1)寫出△ABC三個頂點的坐標(biāo)；(2)畫出△ABC關(guān)于點C的中心對稱圖形；(3)求出△ABC的面積．5．（2022秋·黑龍江七臺河·九年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，．（1）將向右平移個單位長度，畫出平移后的；（2）畫出關(guān)于軸對稱的；（3）將繞原點旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的；（4）在，，中，哪些是成軸對稱的，對稱軸是什么？哪些是成中心對稱的，對稱中心的坐標(biāo)是什么？題型十一：關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)角度1：求關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)典型例題例題1．（2023秋·福建福州·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為()A． B． C． D．例題2．（2023秋·湖北武漢·九年級?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是______．例題3．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）三個能夠重合的正六邊形的位置如圖．已知B點的坐標(biāo)是，則點的坐標(biāo)是___________．角度2：已知兩點關(guān)于原點對稱求參數(shù)典型例題例題1．（2023秋·河北張家口·九年級統(tǒng)考期末）已知點和關(guān)于原點對稱，則的值為（）A．1 B．0 C． D．例題2．（2023秋·山東臨沂·九年級?？计谀┤酎c與點關(guān)于原點成中心對稱，則的值是（）A．1 B．3 C．5 D．7例題3．（2023春·八年級單元測試）在平面直角坐標(biāo)系中，點與點關(guān)于原點對稱，且點在第三象限，則的取值范圍是______．【答案】【詳解】解：因為在平面直角坐標(biāo)系中，點與點關(guān)于原點對稱，且點在第三象限，例題4．（2023秋·廣東廣州·九年級廣州市天河區(qū)匯景實驗學(xué)校?？计谀┤酎c與點關(guān)于原點成中心對稱，則＝___．角度3：判斷兩個點是否關(guān)于原點對稱典型例題例題1．（2022秋·福建福州·九年級?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，有，，，四點，其中關(guān)于原點對稱的兩點為（）A．點和點 B．點和點 C．點和點 D．點和點例題2．（2022春·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知兩點，若，則點與（

）A．關(guān)于軸對稱 B．關(guān)于軸對稱 C．關(guān)于原點對稱 D．以上均不對題型十一同類題型歸類練1．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）直角坐標(biāo)系中，點A(﹣2，1)與點B(2，﹣1)關(guān)于（）A．x軸軸對稱 B．y軸軸對稱C．原點中心對稱 D．以上都不對2．（2022秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，有A（2，1）、B（1，2）、C（2，1）、D（2，1）四點．其中，關(guān)于原點對稱的兩點為（

）A．點A和點B B．點B和點C C．點C和點D D．點D和點A3．（2022秋·天津河北·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若點與點關(guān)于原點對稱，則點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2022秋·天津濱海新·九年級校考期中）若點與關(guān)于原點對稱，則的值為（

）A． B．4 C． D．85．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，線段與線段關(guān)于點對稱，若點、、，則點的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．6．（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級統(tǒng)考期中）若點和點關(guān)于原點對稱，則______．題型十二：說出一個圖形到另一個圖形的運動過程典型例題例題1．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）在平面內(nèi)，由圖1經(jīng)過兩次圖形變換后得到圖2，下列說法錯誤的是（

）A．只需經(jīng)過兩次軸對稱變換B．只需經(jīng)過兩次中心對稱變換C．先經(jīng)過軸對稱變換，再進(jìn)行中心對稱變換D．先經(jīng)過中心對稱變換，再進(jìn)行軸對稱變換同類題型歸類練1．（2021秋