6.3余角補角對頂角

6.3余角、補角、對頂角【推本溯源】余角的定義：如果兩個角的和為一個直角，那么這兩個角互為余角，簡稱互余，其中一個角是另一個角的余角。如圖：∠COD=90°，∠1+∠2=90°；∠1與∠2互余。補角的定義：如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角互為補角，簡稱互補，其中一個角是另一個角的補角。如圖：∠1+∠2=180°；∠1與∠2互補。2.填表∠130°n（0＜n＜90）∠1的余角60°∠1的補角120°3.余角的性質：同角（等角）的余角相等。幾何語言：∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°∴∠2=∠3補角的性質：同角（等角）的補角相等幾何語言：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°∴∠2=∠34.對頂角的定義：一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角。如圖：∠1與∠3，∠2與∠4互為對頂角。對頂角的性質：對頂角相等。幾何語言：∵∠1與∠3，∠2與∠4互為對頂角∴∠1=∠3，∠2=∠4【解惑】例1：一個角的余角是，那么它的度數是___________．【答案】【分析】根據余角的定義計算即可．【詳解】解：這個角的是，故答案為：．【點睛】此題主要考查了余角，解題的關鍵是明確兩個角互余，和為．例2：如果一個角的補角是，那么這個角的度數是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據補角的定義即可得到答案．【詳解】解：設這個角為，由補角的定義可得，∴，故選：D．【點睛】本題考查補角，熟練掌握補角的定義：互為補角的角相加等于是解題的關鍵．例3：如圖、相交于點，平分，若，則的度數是_________．【答案】50【分析】由角平分線可知，即可求出的大小，再由和為對頂角，即可直接求出的大?。驹斀狻拷猓浩椒?，，，，故答案為：50．【點睛】本題主要考查角平分線的性質和對頂角的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．例4：如圖所示的幾組角中，和是對頂角的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據對頂角的定義逐一判斷即可，對頂角：有公共的頂點，角的兩邊互為反向延長線．【詳解】解：根據對頂角的定義，只有A選項是對頂角，故選：A．【點睛】本題考查了對頂角的定義，熟練掌握對頂角的定義是解題的關鍵．例5：如圖，將一副三角尺按不同位置擺放，擺放方式中的圖形有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據每個圖中的三角尺的擺放位置，得出和的關系即可．【詳解】解：第1個圖中，，符合題意；第2個圖中，根據同角的余角相等，，符合題意；第3個圖中，根據三角尺的特點和擺放位置得：，，，符合題意；第4個圖中，根據圖形可知與是鄰補角，，不符合題意；綜上，的圖形有3個．故選：C．【點睛】本題考查了余角和補角，是基礎題，準確識圖是解題的關鍵．【摩拳擦掌】1．（2023春·湖北武漢·七年級?？茧A段練習）如圖，直線a，b相交，，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據圖形及可求出和的值，進而能得出的值．【詳解】解：由圖形可得：，．故選：B．【點睛】本題考查了鄰補角和對頂角的知識，比較簡單，注意在計算角度時不要出錯．2．（2023春·廣東珠海·七年級珠海市紫荊中學桃園校區(qū)?？计谥校┫铝懈鲌D中，，是對頂角的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據對頂角的定義逐項分析即可．【詳解】A、B中的兩個角雖有公共頂點，但它們的兩邊不是互為反向延長線，故不是對頂角，不合題意；D中的兩個角沒有公共的定點，不是對頂角，不合題意；C中的兩個角有公共頂點，其中一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，故是對頂角，符合題意．故選C．【點睛】本題考查了對頂角的定義，如果兩個角有公共頂點，其中一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，那么這兩個角是對頂角．一般地，兩條直線相交能形成兩對對頂角．3．（2023春·廣東茂名·七年級校聯(lián)考期中）如圖，直線和直線相交于點O，若，則的度數是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據對頂角相等可得，代入計算即可得．【詳解】解：由對頂角相等得：，∵，∴，解得，故選：B．【點睛】本題主要考查了對頂角相等，熟練掌握對頂角相等是解題關鍵．4．（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級哈爾濱市第四十七中學?？茧A段練習）與互補，與互余，則________．【答案】180【分析】首先根據題意可得，，兩式相減可得，然后再求出即可．【詳解】解：與互補，與互余，，，，，故答案為：180．【點睛】此題主要考查了余角和補角，關鍵是掌握互為余角的兩個角的和為90度，互為補角的兩個角的和為180度．5．（上海市普陀區(qū)20222023學年七年級下學期期中數學試題）如圖，直線與相交于點，平分，平分，，那么____________．

【答案】【分析】根據補角的定義及角平分線的定義，再根據余角的定義及角平分線的定義得到．【詳解】解：∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為．【點睛】本題考查了補角的定義，余角的定義，角平分線的定義，理解角平分線的定義是解題的關鍵．6．（2023春·廣東廣州·七年級仲元中學?？茧A段練習）如圖，已知直線，交于點，，那么的度數為___________．

【答案】/度【分析】根據鄰補角的定義即可求解．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了鄰補角，熟練掌握鄰補角互補是解題的關鍵．7．（2023春·陜西西安·七年級西安市鐵一中學?？茧A段練習）一副三角板如圖放置，當∠1與∠2互余時，∠1的度數是__________.

【答案】/度【分析】根據余角的定義和性質，得出，，即可求出．【詳解】解：∵∠1與∠2互余，∴，∵與互余，∴，∴，∵與互余，∴，∴．故答案為：．

【點睛】本題主要考查了余角的定義與性質，解題的關鍵是熟練掌握同角或等角的余角相等．8．（2021秋·廣東惠州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，，點在同一條直線上，則等于_______．

【答案】【分析】根據題意先求出的余角，再求出的補角即可解答．【詳解】解：∵，，∴，∴，故答案為．【點睛】本題考查了余角的定義，補角的定義，理解余角和補角的定義是解題的關鍵．9．（2023春·山西呂梁·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線相交于點，若，則的度數為______．

【答案】【分析】由鄰補角的性質：鄰補角互補，即可求解．【詳解】解：，，，故答案為：．【點睛】本題考查鄰補角，關鍵是掌握鄰補角的性質．10．（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級哈爾濱市第四十七中學校考階段練習）一個角的補角比這個角的2倍還多，求這個角余角的度數．【答案】【分析】設這個角為，寫出它的補角，根據題意寫出等量關系，解之即可得到這個角的度數，即可得解．【詳解】解：設這個角為，則其余角為，補角為，依題意有，解得．，答：這個角的余角的度數是．【點睛】本題考查了余角和補角，是基礎題，列出方程是解題的關鍵．11．（2023春·廣東珠?！て吣昙壷楹Ｊ凶锨G中學桃園校區(qū)校考期中）如圖，直線和直線相交于點，平分．

(1)寫出圖中的鄰補角是和；(2)若，求的度數．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據鄰補角的定義即可求解；（2）根據角平分線的性質，可知，，由此即可求解．【詳解】（1）

解：∵，∴的鄰補角是，故答案為：．（2）解：∵，平分，∴，則，∵，∴，∴的度數為．【點睛】本題主要考查鄰補角，角平分線綜合，掌握角平分線的性質，鄰補角的定義是解題的關鍵．12．（2022春·天津和平·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線與相交于點．

(1)若，求，的度數；(2)若，求，的度數（用含的式子表示）．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根據對頂角相等，平角為，即可作答；（2）根據對頂角相等有：，，結合，，即可求解．【詳解】（1）∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，（2）根據對頂角相等有：，，∵，，∴，，∴．【點睛】本題主要考查了對頂角相等，平角為等知識，掌握對頂角相等，是解答本題的關鍵．13．（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，和都是直角．

(1)如果，求的度數；(2)當變小時，則的度數______（填“變大”、“不變”或“變小”）；(3)在圖2中利用能夠畫直角的工具畫一個與相等的角．【答案】(1)(2)變大(3)見解析【分析】（1）根據直角的定義得到，由此可得，則；（2）仿照（1）的求解方法求出即可得到結論；（3）根據同角的余角相等仿照圖（1）畫圖即可．【詳解】（1）解：∵和都是直角，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵和都是直角，∴，∴，∴，∴當變小時，則的度數變大，故答案為：變大；（3）解：如圖2所示：．

【點睛】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，同角的余角相等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．【知不足】1．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，直線、相交于點，．下列說法不正確的是（

）

B．C．D．【答案】B【分析】根據對頂角相等，平角的性質，鄰補角互補，即可判斷出正確．【詳解】解：對頂角相等，，A正確且不是的角平分線，，B錯誤；，，，（對頂角相等），，C正確；平角等于，，D正確；故選：B．【點睛】本題考查了鄰補角、對頂角相等，平角的定義等知識；解題的關鍵是掌握鄰補角、對頂角相等．2．（2023春·河南開封·七年級?？计谥校┤鐖D所示，點O在直線上，已知，，則的度數為（）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】C【分析】由鄰補角的性質求出的度數，由垂直的定義即可求出的度數．【詳解】解：，．故選：C．【點睛】本題考查垂線，求角的度數，關鍵是掌握垂直的定義，鄰補角的性質．3．（2023·福建寧德·統(tǒng)考模擬預測）將一副三角板按如圖所示的位置擺放，若，則______°．

【答案】33【分析】根據題意，結合已知條件，即可求出的值．【詳解】根據題意得，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了兩個角的互補關系，熟練掌握補角的定義是解題的關鍵．4．（2023秋·廣東梅州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，射線，交于點，射線平分，若，則的度數為______．

【答案】【分析】利用對頂角的定義得出，進而利用角平分線的性質得出的度數．【詳解】解：（對頂角相等），，，射線平分，．故答案為：．【點睛】此題主要考查了角平分線的定義以及對頂角的性質，得出度數是解題關鍵．5．（2023春·河北保定·七年級保定十三中?？计谥校┤鐖D，，射線在的內部，且．射線在的內部，平分．（1）的度數為________；（2）若與互余，則的度數為________；（3）若，則的度數為________．【答案】/度/度/度【分析】（1）結合題意根據角的計算可得，帶入求解即可；（2）結合角平分線的定義可得即，結合與互余，可求解；（3）結合題意和（1）求得，由角平分線的定義可得，由可求解．【詳解】解：（1），，，，，故答案為：；（2）平分，，，與互余，，即，，故答案為：；（3），，，，平分，，，故答案為：．【點睛】本題考查了與角平分線有關的角的計算；解題的關鍵是熟練掌握相關概念正確計算．6．（2023春·福建龍巖·七年級校聯(lián)考期中）如圖，直線交于點O，，若，則______°．【答案】96【分析】對頂角相等，得到，根據，求出的度數，進而求出的度數，互補關系，求出即可．【詳解】解：∵∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：96．【點睛】本題考查求角的度數．正確的識圖，確定角之間的和，差，倍數關系，是解題的關鍵．7．（2023春·貴州銅仁·七年級統(tǒng)考期中）已知，在內部，．

(1)如圖1，若，求的度數；(2)如圖2，若平分，請說明：；(3)如圖3，若在的外部分別作，的余角，，求的度數．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）由，，得到，而，即可求出的度數；（2）由角平分線定義，得到，而，即可證明；（3）由余角的定義，得到，而，，即可求出的度數，從而得出結論．【詳解】（1）解：，，，，；（2）平分，，，，，，，，；（3），，，，，，，．【點睛】本題考查余角和補角，角平分線定義，關鍵是應用角平分線定義，角的和差表示出有關的角．8．（2020秋·廣東江門·七年級期末）如圖，是直線上一點，，求的度數．

【答案】【分析】根據鄰補角的定義列式即可求出．【詳解】解：是直線，是平角，，，，，．【點睛】本題考查了鄰補角的定義，是基礎題，根據鄰補角的定義列式求出是解題的關鍵．9．（2023春·全國·七年級專題練習）綜合與探究閱讀材料：如圖是七年級上冊課本135頁的探究，將紙片折疊使與重合，是折痕，此時與重合，所以，射線是的平分線．(1)知識初探：如圖1，已知是銳角內部的一條射線，將折疊，使射線和射線重合，為折痕，將折疊，使射線和射線重合，為折痕，若，，求的度數．(2)類比探究：如圖2，在長方形紙片中，點E，F分別在邊，上，連接，將折疊，使點A落在點G處，平分，若，求的度數（用含的式子表示）．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據折疊可知，是的平分線，是的平分線，得到，，即可求出的度數；（2）由折疊可知，，設，根據角平分線的定義，得到，再利用平角的性質，求得，即為的度數．【詳解】（1）解：由折疊可知，是的平分線，是的平分線，，；（2）解：由折疊可知，是的平分線，，設，，，平分，，，，．【點睛】本題考查了折疊的性質，角平分線的定義等知識，正確理解題意，熟練掌握折疊的性質是解題關鍵．【一覽眾山小】1．（2022春·六年級單元測試）如圖，直線與相交于點，．

(1)如圖，若平分，求的度數；(2)如圖，若，且平分，求的度數．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據角平分線的定義，得到，再利用平角進行求解，即可求出的度數；（2）根據平角和角平分線的定義，求得，再根據，求得，，進而得到，即可求出的度數．【詳解】（1）解：，平分，，；（2）解：，，平分，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了角平分線的定義，平角的性質，理解題意，找準角度之間的數量關系是解題關鍵．2．（2023春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期中）以直線上一點O為端點作射線，使，將一個直角角板的直角頂點放在O處，即．

(1)如圖1，若直角三角板的一邊放在射線上，則；(2)如圖2，將直角三角板繞點O順時針轉動到某個位置，①若恰好平分，則；②若在內部，請直接寫出與有怎樣的數量關系；(3)將直角三角板繞點O順時針轉動(與重合時為停止)的過程中，恰好有，求此時的度數．【答案】(1)(2)①；②(3)的度數為或【分析】（1）利用余角的定義可求解；（2）由平角的定義及角平分線的定義求解的度數，進而可求解；由，，結合的度數可求解；（3）可分兩種情況：當在的內部時，當在的外部時，根據角的和差可求解．【詳解】（1）由題意得：，，，故答案為；（2），，，平分，，，，故答案為；，，，，，，即與數量關系為：．（3）當在的內部時，

，而，，，，，又，，；當在的外部時，

，而，，，，，又，，，綜上所述：的度數為或．【點睛】本題主要考查余角的定義，角的和差，角平分線的定義等知識的綜合運用，分類討論是解題的關鍵．3．（2023春·四川瀘州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線相交于點O，且，若平分(1)求的度數；(2)若，求的度數【答案】(1)(2)【分析】（1）根據對頂角相等求出，利用角平分線定義求出的度數，再根據鄰補角定義求出的度數；（2）求出，的度數，即可得到的度數．【詳解】（1）解：∵直線相交于點O，且，∴，∵平分，∴，∴（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴．【點睛】此題考查了對頂角相等，角平分線的定義，鄰補角的定義，正確掌握各知識點并理解圖形中各角度的關系是解題的關鍵．4．（2023春·山東濱州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，O為直線與直線的交點，平分，．(1)當，求的度數；(2)當，請?zhí)骄颗c有怎樣的數量關系．【答案】(1)(2)【分析】（1）由平角的意義可求出，由平分線的意義可得，進一步可得出；（2）由平角的意義可求出，由平分線的意義可得，進一步可得出【詳解】（1）∵且∴∵是的平分線，∴∵，∴又∴,（2）∵且∴∵是的平分線，∴∵，∴又∴,∴【點睛】本題考查了對頂角、鄰補角以及角平分線的定義、角的計算；弄清各個角之間的關系，熟練掌握角的計算是解題的關鍵5.（2022秋·七年級單元測試）如圖①，將一副直角三角板的直角頂點疊放在一起．(1)若，則________；若，則________；由此猜想：與存在的關系是________；(2)如圖②，若將兩個同樣的直角三角板的銳角的頂點重合在一起，求的值：(3)將一副直角三角板按如圖③擺放，三角板在的內部，作的平分線，作的平分線若三角板在內部固定點，任意變換位置，則的度數是否發(fā)生變化若變化，說明理由；若不變，求的度數．【答案】(1)，，互補(2)(3)的度數不發(fā)生變化，，理由見解析【分析】（1）由，可以得出，從而，由，可以得出，從而即可得出答案；由于，從而（2）由，得，又由，，從而得出答案；（3）由，得，而，從而，又，故．【詳解】（1）解：，，，，，，，，，，，，，．故答案為，，互補．（2），，，，，；（3）的度數不發(fā)生變化．平分，平分，，，，即，，，，，又，．【點睛】本題主要考查角的有關計算及角平分線的性質，互為余角，互為補角的性質，熟練運用性質和合理的推理是解題的關鍵．6．（2023春·七年級課時練習）已知，過點O作．(1)若，求的度數；(2)若，射線平分，射線平分，求的度數；(3)若，射線平分，射線平分，求的度數．【答案】(1)或(2)(3)或【分析】（1）分類討論：即當射線在射線同側或兩側，進行角度的計算，即可解答；（2）分類討論：即當射線在射線同側或兩側，根據角平分線的定義，進行角度的計算，即可解答；（3）分類討論：即當射線在射線同側或兩側，根據角平分線的定義，進行角度的計算，即可解答?！驹斀狻浚?）解：∵，∴．當射線在射線同側時，如圖①，．當射線在射線兩側時，如圖②，．綜上可知，的度數為或．（2）解：當射線在射線同側時，如圖③，∵射線平分，射線平分，∴，，∴．當射線在射線兩側時，如圖④，∵射線平分，射線平分，∴，，∴．綜上可知，的度數為．（3）解：當時，分兩種情況考慮：當射線在射線同側時，如圖⑤．∵射線平分，射線平分，∴，，∴．當射線在射線兩側時，如圖⑥．∵射線平分，射線平分，∴，，∴．綜上可知，的度數為或．【點睛】本題考查了垂直，角平分線的定義以及角的計算，按照題意畫出圖形是解題的關鍵．7．（2023春·甘肅武威·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線，相交于點，平分．(1)若，求的度數；(2)若，求的度數．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據補角的定義可以求出，再根據角平分線的性質即可求解．（2）根據平角的定義和題中角的比可求出，再根據對頂角相等即可求解．【詳解】（1）解：，，平分，；（2）解：平分，，，，，，解得：，．【點睛】本題考查角的度數計算，熟練掌握平角、補角定義、角平分線的性質是解決本題的關鍵．8．（2023春·廣東東莞·七年級東莞市東莞中學?？计谥校┤鐖D，直線，相交于點，平分．(1)寫出圖中的所有補角；(2)若，求的度數；(3)若，求的度數．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據對頂角、鄰補角的意義，結合圖形即可得出答案；（2）根據角平分線的意義和對頂角的性質，即可得出答案；（3）根據平角、按比例分配，角平分線的意義、對頂角性質可得答案．【詳解】（1）∵平分．∴，∵，∴的補角有，（2）平分，，，，，（3）：：，，，，平分，，又，．【點睛】本題考查對頂角、鄰補角、角平分線、平角的意義和性質，通過圖形具體理解這些角的意義是正確計算的前提．9．（2023春·廣東深圳·七年級北大附中深圳南山分校?？计谥校┤鐖D，直線與EF相交于點O，，將一直角三角尺（含和）的直角頂點與O重合，平分．(1)求的度數；(2)圖中互余的角有對；(3)將三角尺以每秒的速度繞點O順時針旋轉，同時直線以每秒的速度繞點O順時針旋轉，設運動時間為．①當t為何值時，直線平分．②當時，直線平分．【答案】(1)(2)5(3)①或；②或【分析】（1）根據，平分，可得，再根據，即可得到的度數；（2）根據余角的定義求解即可；（3）①分兩種情況進行討論：當平分；當